2
构造直角三角形使用技巧
椎体的外接球
O
O1 A
O
O1 A
设椎体的高为h, 底面外接圆的半径为r,则有R r2 h R2
补形法的使用技巧
根据题中给出的线面位置关系，将其放到特殊的 几何体中，转化为直接法或构造直角三角形法。
课后小结
搞清有关几何元素与球的半径之间的关系
课后作业
任意直棱柱的外接球
圆柱的外接球
O R
B
C
设柱体的高为l, 底面外接圆的半径为r,则有R
r
2


l 2
2
构造直角三角形使用技巧
圆锥的外接球
正棱椎的外接球
O
O1 A
O
O1 A
设椎体的高为h, 底面外接圆的半径为r,则有R r2 h R2
构造直角三角形使用技巧
球心在几何体外部
设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则 l a2 b2 c2 2R
设正方体的边长为a,则有2R 3 a
二、构造直角三角形
2010 年理 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a， 顶点都在一个球面上，则该球的表面积为
OB OO12 O1B2
构造直角三角形使用技巧
三、补形法
例4：求棱长为a的正四面体P-ABC的 外接球的表面积。
将正四面体放到正方体中，
得正方体的棱长为 2 a, 2
且正四面体的外接球 即正方体的外接球，
所以R＝ 6 a. 4
三、补形法
变式：四面体ABCD，AB=CD= 2，AC=BD= 3，
AD=BC=1，求其外接球体积
将正四面体放到长方体中，
课后小结
学生对本节课的总结
直接法的使用技巧
设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则 l a2 b2 c2 2R
设正方体的边长为a,则有2R 3 a
构造直角三角形使用技巧
任意直棱柱的外接球
圆柱的外接球
O R
B
C
设柱体的高为l, 底面外接圆的半径为r,则有R
r
2


l 2
边长为a,b,c,则有：
a2 b2 1 c2 b2 2 a2 c2 3
a2 b2 c2 3
R

2
2
三、补形法
例5：已知三棱锥P-ABC中，三角形ABC为等边三角形， 且PA=8，PB=PC= 73，AB=3，则其外接球的体积为
补形法的使用技巧
根据题中给出的线面位置关系，将其放到特殊的 几何体中，转化为直接法或构造直角三角形法。
1.（球内接正四面体问题）一个四面体的所有棱长都为 2 ，四个顶点在同一球面上，
则此球的表面积为
2.（球内接长方体问题）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为 1，
2，3，则此球的表面积为
。
3．设 P, A, B,C 是球 O 面上的四点,且 PA, PB, PC 两两互相垂直,若 PA PB PC a ,
• 方法一：直接法 • 方法二：构造直角三角形 • 方法三：补形
一、直接法
2010 年文
(7) 设长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a,其顶点都在一个
球面上，则该球的表面积为
（A）3 a2
（B）6 a2 （C）12 a2
（D） 24 a2
O A
O1 B
A
C
O
Байду номын сангаасA1
C1
直接法的使用技巧
则球心 O 到截面 ABC 的距离是
.
4.（球内接正三棱锥问题）在正三棱锥 S ABC 中，侧棱 SC 侧面SAB ，侧棱 SC 2 ，
则此正三棱锥的外接球的表面积为
5.（球内接棱柱问题） 若一个底面边长为 3 ，棱长为 6 的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上， 2
则此球的体积为
．
设椎体的高为h, 底面外接圆的半径为r,则有R r2 h R2
三、补形法
例3：若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且 侧棱长均为a，则其外接球的表面积是_____
A C
P
O B
三、补形法
变式：已知球O的面上四点A、B、C、D，DA 平面 ABC，AB BC, DA AB BC a,则球O的体积等于
多面体外接球的半径的求法
有关多面体外接球的问题，是立体几何 的一个重点，也是高考考查的一个热点.研 究多面体的外接球问题，既要运用多面体 的知识，又要运用球的知识，并且还要特 别注意多面体的有关几何元素与球的半径 之间的关系，而多面体外接球半径的求法 在解题中往往会起到至关重要的作用.
多面体外接球的半径的求法