《数学物理方法》复习题一、单项选择题【 】1、函数()f z 以b 为中心的罗朗（Laurent ）展开的系数公式为11().2()k k f A C d i b γζζπζ+=-⎰ ()().!k k f b B C k =1().2k f C C d ib γζζπζ=-⎰ 1!().2()k k k f D C d ib γζζπζ+=-⎰【 】2、本征值问题()()0,(0)0,()0X x X x X X l λ''+===的本征函数是A ．cosn x l π B ．sin n x l π C ．(21)sin 2n x l π- D ．(21)cos 2n xlπ- 【 】3、点z =∞是函数cot z 的A. 解析点B. 孤立奇点C. 非孤立奇点D. 以上都不对【 】4、可以用分离变量法求解定解问题的必要条件是A. 泛定方程和初始条件为齐次B. 泛定方程和边界条件为齐次C. 初始条件和边界条件为齐次D. 泛定方程、初始条件和边界条件为齐次 【 】5、设函数()f z 在单连通区域D 内解析，C 为D 内的分段光滑曲线，端点为A 和B ，则积分()Cf z dz ⎰A. 与积分路径及端点坐标有关B. 与积分路径有关，但与端点坐标无关C. 与积分路径及端点坐标无关D. 与积分路径无关，但与端点坐标有关【 】6、 条件1z <所确定的是一个A ．单连通开区域 B. 复连通开区域 C. 单连通闭区域 D. 复连通闭区域 【 】7、条件210<-<z 所确定的是一个A ．单连通开区域 B. 复连通开区域 C. 单连通闭区域 D. 复连通闭区域 【 】8、积分2||1cos z z z dz ==⎰A ．1B ．12-C ．12D ．0 【 】9、函数1()1f z z=-在12z +>内展成1z +的级数为A ．102(1)n n n z ∞+=-+∑ B ．101n n z ∞+=∑ C ．10(1)2n n n z ∞+=+∑ D ．0nn z ∞=∑ 【 】10、点0z =是函数11()sin f z z -⎛⎫= ⎪⎝⎭的A. 解析点B. 孤立奇点C. 非孤立奇点D. 以上都不对二、填空1、 复数231i -的三角形式为，其指数形式为.2、 复数5cos5sinππi +的三角形式为，其指数形式为.3、 复数的实部u =，虚部v =，模r =，幅角θ=.4、 复数22i +-的实部=u ，虚部=v ，模=r ，幅角 =θ .5、 z 410+=的解为.6、 z a 440+= (a >0) 的解为.7、 014=--i z 的解为. 8、 i e z +=1的解为.9、 =i i .10、 积分dz z z cos ==⎰1.11、 积分⎰==++1222z z z dz. 12、 积分⎰==13cos z zdz z .13、 积分=⎰badz z z 2cos .14、 积分⎰==12cos z dz z z .15、 积分=⎰1sin zdz z .16、 幂级数n n nz ∑∞=121的收敛半径为.17、 幂级数∑∞=-1)1(n nn z 的收敛半径为.18、 0=z 为3cos 1)(z zz f -=的.（奇点的类型，极点的阶数） 19、 0=z 为3sin )(zzz f =的.（奇点的类型，极点的阶数）20、=-+-+iii i 524321 . 21、 =---)21()2(i i i . 22、(1)i i += .23、 积分dzz z z 216--==⎰.24、 幂级数121n z n n =∞∑的收敛半径为.25、 014=-z 的解为.26、 积分⎰==-+126z z z dz.27、 积分=⎰22sin πdz z z .28、 幂级数nn nz ∑∞=131的收敛半径为.29、 幂级数nn z n∑∞=11的收敛半径为 . 30、 函数zz f -=11)(在2|1|<+z 上展成)1(+z 的泰勒级数为 . 三、已知解析函数f z u x y iv x y ()(,)(,)=+的实部u x y (,)或虚部v x y (,)，求此解析函数。
1、u x y xy x (,)=-3232、v x y e x y (,)cos =3、u x y x y (,)()=-214、v x y e y x (,)sin =5、xy y x y x u +-=22),( 6、233),(xy x y x v -=四、设)()(2323lxy x i y nx my z f +++=解析函数，试确定n m l 、、的值。
五、证明下列函数在复平面上解析，并求其导数。
1、y ie y e z f xx sin cos )(+=2、y ie y e z f xx cos sin )(-=六、证明函数z z z f Re )(=在复平面上不解析。
七、求下列积分1、 计算2112z z z dz C -+-⎰，（C ：z =2）。
2、 计算dz z z C ⎰+1sin 24π，C 分别为：（1）、21=+i z ，（2）、21=-i z ，3、计算11z z dz z sin =⎰ 。
4、 算⎰-=i i zdzI ，（1）、沿路径C 1：z =1的左半圆周，（2）、沿路径C 2：z =1的右半圆周。
5、计算dz z e Cz⎰-2，C 分别为：（1）、z -=23，（2）、z +=23 。
6、 计算dz ze C z⎰5， C 为： 1=z7、 计算2|:|)3(,|1:|)2(,|1:|)1(,12112122==-=+-⎰z c z c z c dz z e c z8、 计算232|2:|,1=-+⎰i z c dz z e c iz9、 计算6|1:|,122=-+⎰z c dz z i c10、 计算2|:|,)1(2=-⎰z c dz z z e c iz八、将2)(+=z zz f 按1-z 的幂级数展开，并指明收敛范围。
九、将f z z z ()()()=--112在指定范围内展开成罗朗级数。
1、110<-<z ；2、120<-<z十、把f z z z ()()()=--123展为下列级数1、 将f z ()展为z 的泰勒级数，并给出收敛半径。
2、 将f z ()在23<<z 展为罗朗级数。
3、 将f z ()在3<<∞z 展为罗朗级数。
十一、把)2)(1(1)(--=z z z f 展为下列级数1、将f z ()展为z 的泰勒级数，并给出收敛半径。
2、将f z ()在21<<z 展为罗朗级数。
3、将f z ()在∞<<z 2展为罗朗级数。
十二、试用分离变数法求解定解问题.0,,0,0,0002=====-====t tt l x x xx tt u x uu u u a u ()0,0≥≤≤t l x十三、求解定解问题.)1(0)1(1)0,,002⎩⎨⎧≥<=>+∞<<∞-=-=x x u t x u a u t xx t （十四、试用分离变数法求解定解问题.,0,0,0002x uu u u a u t lx x xx t ====-===()00≤≤≥x l t ,十五、求解定解问题.0,0,,0,000002=====-====t t t lx x xx tt u uu uu u a u ()00≤≤≥x l t ,十六、求解定解问题.)(0)()0,,002⎩⎨⎧≥<=>+∞<<∞-=-=h x h x h Q u t x u a u t xx t （十七、求解定解问题.0,,0,00002====-===t l x x xx t u u u u u a u (),0≥≤≤t l x十八、求解定解问题.sin,sin,0,0,00002lxu lxu uuu a u t tt lx x xx tt ππ=====-====()0,0≥≤≤t l x十九、求解定解问题.sin,0,0,0002lxu uuu a u t lx x xx t π====-===()0,0≥≤≤t l x二十、试用分离变数法求解定解问题.0,,0,0,00002=====-====t tt lx xx xxx tt u x u u u u a u ()0,0≥≤≤t l x二十一、试用分离变数法求解定解问题.,0,0,0002x u u u u a u t lx xx xxx t ====-===()0,0≥≤≤t l x。