浅谈中学数学中的反证法摘要：反证法在数学中是一种非常重要的间接证明方法，它被称为“数学家最精良的武器之一”，又称为归谬法、背理法。
反证法不仅是一种论证方法，还是一种思维方式，对培养和提高学生的逻辑思维能力和创造性思维能力也有极其重要的作用，还能拓展学生的解题思路，从而使学生形成良好的数学思维。
反证法在中学数学中有着广泛的应用，如今学生在运用反证法解题中，基础一般的学生会受到思维能力的限制，如果能恰当的使用反证法，在一些有难度的题目上也许能够得到解决。
所以本文首先会叙述反证法的产生，具体阐述反证法的定义，即反证法的概念、分类、科学性，介绍反证法在中学数学中的应用并举例分析以及说明应用反证法要注意的问题。
关键词：反证法；中学数学；应用；On the Proof by Contradiction in Middle SchoolMathematicsAbstract：Proof by contradiction is a very important indirect proof method in mathematics, it is called "one of the most sophisticated weapons of mathematicians", also known as reduction to absurdity, unreasonable method. Proof by contradiction is not only an argumentation method, but also a way of thinking. It plays an extremely important role in cultivating and improving students' logical thinking ability and creative thinking ability. It can also expand students' thinking of solving problems, so that students can form good mathematical thinking. Anyway, the method has been widely used in middle school mathematics. Nowadays, when students solve problems with the method of proof by contradiction, the students with general foundation are limited by their thinking ability. If the method of proof by contradiction can be used properly, they may be able to solve some difficult problems. Therefore, this paper will first describe the source of proof by contradiction, specifically elaborate the definition of proof by contradiction, that is, the concept, classification and logical basis of proof by contradiction, introduce the application of proof by contradiction in middle school mathematics and explain the problems to be noticed in the application of proof by contradiction.Keywords：proof by contradiction; Middle school mathematics; Application;目录目录浅谈中学数学中的反证法 (1)1 引言 (1)2 反证法的产生 (1)2.1古希腊的反证法 (1)2.2 中国古代数学中的反证法 (2)3 反证法的定义与步骤 (2)3.1 反证法的定义 (2)3.2反证法的解题步骤 (2)4 反证法的分类与科学性 (4)4.1反证法的分类 (4)4.1.1归谬法例题 (4)4.1.2穷举法例题 (4)4.2反证法的科学性 (5)4.2.1反证法的理论依据 (5)4.2.2反证法的可信性 (5)4.3为什么要使用反证法 (6)5 反证法在中学数学中的应用 (6)5.1基本命题，即学科中的起始性命题 (6)5.2命题采取否定形式 (7)5.3有关个数的命题 (9)5.4结论涉及无限集或数目不确定的命题 (10)5.5不等式类型 (11)5.6几何类型题 (12)6 使用反证法解题过程中要注意的问题 (13)6.1反设要正确 (13)6.2 要明确推理特点 (13)6.3能灵活运用 (13)6.4 反证法与举反例不等同 (14)6.5熟悉矛盾的种类 (14)7 总结 (14)参考文献 (14)致谢 (15)浅谈中学数学中的反证法1 引言反证法是间接论证的方法之一，早在古希腊,一些数学家就用反证法解决了许多数学问题。
牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”，它在中学数学中有着不可替代的重要作用，一般来说，当学生遇到不容易或者不能从正面进行证明的题目时，则可以尝试运用反证法进行证明。
反证法弥补了直接证明的不足，完善了证明方法，运用反证法可以培养和提高学生的逆向思维能力和创造思维能力，把不可能转化为可能。
教师应要结合熟悉的生活实例和典型的数学例题，帮助并引导学生了解反证法继而使用反证法，然后运用反证法拓宽学生解决问题的思路。
不仅在中学数学中能运用反证法，生活中也能运用反证法解决问题。
如李某与朋友们外出游玩，看到路边的树上结满了果子，朋友们都去摘取果子，唯独李某站在原地一动不动，一朋友问他为什么不去摘取，李某说：“在路边的树上结满果子必然是苦的”，朋友摘取果子尝试，果然是苦的。
为什么李某在还未尝试果子前就知道是苦的？因为李某巧妙地使用了反证法，如果果子是甜的，路边树上的果子已被采摘。
像这样，为了说明某一个结论是正确的，但不从正面直接说明，而是说明它的反面是错误的，从而得出它本身是正确的。
我们知道，推理与证明是数学问题解题的基本思维过程，从上面的故事中，我们生活中可以使用推理与证明的思维方式进行思考问题。
2 反证法的产生2.1古希腊的反证法西方的数学在毕达哥拉斯学派的影响下，他们认为“万物皆数”（指整数），数学知识是可靠和准确的。
但随着第一次数学危机的发生，自根号二的发现，使希腊人重新审视了他们自己的数学，从此他们放弃了以数为基础的几何。
第一次数学危机使他们无法依靠图形和直观，因此，西方数学必须以证明为主来证明数学。
而他们要的是准确性的数学。
它的表现形式是：逻辑、演绎的体系。
可见它是指证明的数学与算的数学正好相反。
希腊人认为数值计算是几何证明之后的一个应用，他们更注重演绎与证明，指出“不要近似”，也就是要达到“明确的形式证明和公理的使用”［1］。
最开始运用到反证法的是古希腊最盛名的数学家欧几里德，在他的著作《几何原本》里就开始运用反证法了，如证明素数有无穷多个的结论，假设命题不真，则素数只有有限多个。
柏拉图认为数学应从绝对假设开始，并通过一系列的逻辑推理达到所需要的结论。
亚里士多德则努力把形式逻辑应用到数学中，开始研究数学概念，而且他并不同意毕达哥拉斯学派的“万物皆数”的观点，再者是承认公设，亚里士多德认为数学证明就是把原有的道理给画出来，问题就可以得到解决。
2.2 中国古代数学中的反证法在中国的古代数学里对推理演绎的证明不是那么重视，尽管人们发现一些逻辑规律，例如在魏晋时期的雄辩之风，大多数的反驳用到了归谬法，这里的归谬法就是举反例，刘徽受当时的影响，在他的《九章算术注》中，归谬论证法被多次使用，刘徽在证明某些公式是错误的时候，用的方法都是反驳，并且是成功的，符合逻辑规律的。
墨子也用过归谬法，例如：“学之益也，说在诽者。
”通过证明“学习是没有益处”为假，从而得到命题“学习是有益的”为真。
归谬法也是反证法中的一种方法，但因为中国逻辑学的不完善，在指出明确运用反证法的用法上是少之又少，与西方差别甚大。
3 反证法的定义与步骤3.1 反证法的定义反证法是“间接证明法”的一类，简而言之就是从反方向证明的证明方法。
最早法国数学家阿达玛对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾。
”这段话可以理解为先提出与结论相反（相排斥）的假设，然后推导出和已知证明的定理或公理、定义、题设、相矛盾的结果，这样就证明了与结论相反的假设不能成立，从而肯定了原来的结论必定成立，这种间接证明的方法叫反证法［2］。
3.2反证法的解题步骤用反证法证明一个命题的步骤大体上可以归纳为三个步骤:（1）反设——反设是用反证法解题的基础，反设是否准确对解题过程与结果起着决定性的影响。
第一步要找到题目中的已知条件和结论，接着是细心并准确找出与结论相反的假设，最后是对结论进行肯定或否定。
（2）归谬——归谬是重点，亦是难点。
利用题设和反设出发,经过严格地逻辑推理和论证,最终导出矛盾。
但许多学生不知道怎样去寻找矛盾.所以,教师在教学时,要让学生清楚:反设后条件都有什么;逻辑推理的方向;矛盾将如何产生.（3）结论——即根据反设以及归谬所得到的最终结果。
归谬是根据反设得到一个与命题原结论矛盾的理论，从而肯定命题的原结论。
完成这三步，用反证法解题就已经完成［3］。
例如：已知:如下图，设点A、B、C在同一直线上，求证：过A、B、C三点不能作圆.【反设】假设过A、B、C三点能作圆，这个假设作为下一步“归谬”的一个已知条件。
【归谬】由上述假设过A、B、C三点能作圆出发，设此圆圆心为O，则A、B、C三点中连任意两点的线段是圆O的弦，由垂径定理：O既在AB的中垂线OM 上，又在BC的中垂线ON上，从而过点O有两条直线OM与ON均与AC垂直，这个结论就与定理“同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾。
推理正确，所以假设错误。
【结论】故过同一直线上三点A、B、C不能作圆。
4 反证法的分类与科学性4.1反证法的分类反证法分为归谬法和穷举法。
用归谬法证题时，如果将要证明的命题的方面情况只有一种，那么只要把这种情况反驳倒了，便可以达到反证的目的。