开普勒三定律的数学证明摘 要：本文依次对开普勒第二，第三和第一定律进行详细的数学证明，并用物理学中角动量守恒的方法对开普勒第二定律进行证明。

关键字：开普勒定律；角动量守恒Mathematical Proofs of Kepler ’s LawDu Yonghao(Civil Engineering Department of Southeast University, Nanjing 211189, China)Abstract: My paper particularly derives Kepler ’s Second Law, Third Law and First Law in mathematical methods in order. Law of Conservation of Angular Momentum is also applied to derive Kepler ’s Second Law.Key words: Kepler ’s Law; Law of Conservation of Angular Momentum1 前言开普勒第一定律，也称椭圆定律、轨道定律：每一个行星都沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点中。

开普勒第二定律，也称面积定律：在相等的时间内，太阳和运动中的行星的连线（向量半径）所扫过的面积都是相等的。

这一定律实际揭示了行星绕太阳公转的角动量守恒。

开普勒第三定律，也称调和定律、周期定律：各个行星绕太阳的椭圆轨道的半长轴的立方和它们公转周期的平方成正比[1]。

2 开普勒第二定律证明数学方法令()t r 为行星在t 时刻的位失，令()t t r∆+为行星在()t t ∆+时刻的位失。

面积A ∆为在t 时刻与()t t ∆+时刻间行星位失扫过的面积，即()t r 与()()t r t t r r -∆+=∆所围成的三角形面积，如图1，得：()r t r A ∆⨯≈∆21所以：()trt r t A ∆∆⨯≈∆∆21 令0→∆t，得： ()()t r t r dt dA '⨯=21()1 图1[2]行星与太阳之间的万有引力是作用在行星上的唯一的力，引力大小为)2t GMm ，其中m 为行星的质量。

根据牛顿第二定律()ma F =得：)()()()t r m t a m t r t GMm ''==-3两边同时除以m 得：())()t t GM t r 3-='' ()2所以：()()()()()()()())())()()0033=⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯='⨯'+''⨯='⨯t r t r t GM t t GM t t r t r t r t r t r t r dtd ρρ()3 可知向量()()t r t r '⨯)()t r t '⨯也是一个常数。

所以dtdA为一常数。

物理方法行星在太阳的引力作用下绕日运动，所以行星受到的引力对太阳的力矩为零，即行星对太阳的角动量L 守恒（为常矢量）。

根据角动量守恒，L 的大小为：θsin mrv r m L ==== 为常数（其中θ为r 与v 的夹角）设在足够小的时间dt 内，太阳到行星的位矢r 扫过的的角度很小，于是在dt 时间内位矢r 扫过的三角形面积为：dtrv dS dtθsin 2121d =⨯=所以位矢扫过的面积的速度为：θsin 21rv dt dS u ==所以得：mu L 2=根据角动量守恒定律L 为常量，所以mLu 2=为常量。

所以行星运动单位时间内扫过的面积为定值。

3 开普勒第三定律证明将太阳置为原点（太阳在行星椭圆轨道的一个焦点上），椭圆长轴在x 轴上，如图2。

根据椭圆的性质可知a CF C F 2=+'，又因为CF C F ='，所以a CF C F =='且a BF B F 2=+'。

根据勾股定理：222c b a +=，()()2222c h B F +=' 如图3因为h a BF a B F -=-='22，所以：()()()2222224422h ah a h a B F c h +-=-='=+化简得：ah a c -=22又因为222c b a +=，所以：ahb ah ac b a =-==-22222 ()4FB 与x 轴夹角为2/π，根据开普勒第一定律得：()()()20212/cos 112/⎪⎭⎫⎝⎛=++==dt dA GM e e r r h ππ因为ah b =2，221⎪⎭⎫ ⎝⎛=dt dA GM h所以：()()()322232222224/2///a GM GM dt dA dt dA a ah dt dA a dt dA ab T ππππ===⎪⎭⎫ ⎝⎛= ()5 所以开普勒第三定律指出周期的立方和行星与太阳间距的平方成正比。

4 开普勒第一定律证明令()t r 为t 时刻行星的位失，()()t r t r =为行星和图2[2]图3[2]图4[2]太阳的距离，所以()()()t t r θ,为t 时刻行星的极坐标。

令()()r θθsin cos /1+==()()θθcos sin 1+-=，得： 21u u θ'=' 12u u θ'-='所以：()()()()()211sin cos cos sin r r jr i r j r i r dtu r d dt r d v θθθθθθθ'+'='+'+'+'-===()()()2122u r r u r r dtv d a θθθ''+''+'-''==()6 因为行星受万有引力方向与其位置方向相反。

所以：()0222=''+''-='-''θθθr r r GMr r ()7令'⨯=D ，得：r D θ'=2将0=t代入v r D 00=,当()00r r =时，且)00v =成立，可证：t 为任意值时都有 002v r r ='θ ()8令r q '=，根据()7()8：()()232020232422rGM r v r dr dq q r GMr r r GM r r -=-'=-+'=''θθ 两边同时对r 进行积分得：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22020021112r r v r r GM q ()9令r p /1=，代入()9得：()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛'20220022202012p p v p p GM dt dp v r θ22.02022020022.0202202002⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛v GM p p v GM p p d dp v GM p p v GM p p d dp θθ ()10对()10分离变量并积分得：θ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---2020020201//cos v GM p p v GM p p 202020202002020220020201111//cos v GM r v GMr r v GM r r v GM r r v GM p p v GM p p --=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=θ 11cos 1cos cos 2002202020022020020+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=GM v r GMv r v GM v GM r r r v GMv GM r r r θθθ最后，我们得到r 关于θ的函数：()θcos 110e e r r ++=所以1200-=GMvr e 为行星绕太阳椭圆轨道的离心率。

参考文献[1] 李敏君, 邱荒逸. 用矢量法证明开普勒三定律[ J]. 高师理科学刊, 2000, 20 (4 ): 49- 52. [2] [美]Dale Varberg, Edwin J. Purcell, Steven E. Rigdon. 微积分[ M]. 北京: 机械工业出版社, 588.。