高等数学证明题练习一
1.设lim n→∞x n=a>0,利用极限定义证明lim n→∞x n+1/x n=1.
2.设函数f(x)在x=a处连续，且lim x→a f(x)/(x−a)=A,证明：
f(x)在点x=a处可导.
3.设函数f(x)在区间[a,b]上积分，且F(x)=∫x
f(t)d t.证明：
(a)函数F(x)为连续函数；
(b)当f(x)在点x处连续时，F(x)在点x处必定可导，且F′(x)=
f(x).
4.设F(x,y)=f(y−x)/(2x)及F(1,y)=y2/2−y+
5.设x0>0,x n=
F(x n−1,2x n−1),n=1,2,···.证明：
(a)对任意k,有lim x→0
y=kx→0
f(x,y)=0;
(b)lim x→0
y→0
f(x,y)=0.
5.(a)设f(x,y)是区域D:x2+y2≤t2上的连续函数.证明
lim t→0+
1
πt2
∫∫
D
f(x,y)d x d y=f(0,0);
(b)设f(x,y)是定义在区域D:0≤x≤1,0≤y≤1上的二元函数，
f(0,0)=0,且在点(0,0)处f(x,y)可微分.证明
lim x→0+∫x2
d t
∫√t
x
f(t,u)d u
1−e−x24
=−
∂f
∂y
(0,0)
;
(c)设函数f(x,y)在单位圆域上有连续的偏导数，且在边界上的值
恒为零.证明
lim ε→0+−1
2π
∫∫
D
xf′
x
+yf′
y
x2+y2
d x d y=f(0,0),
1
2其中D为圆环域ε2≤x2+y2≤1.
6.设数列{na n}收敛，且级数∑∞
n=1
n(a n−a n−1)收敛，证明级数
∑∞
n=1
a n也收敛.
7.设齐次方程y′=φ(y/x)的积分曲线是C a,从原点出发，任意引一条
射线，过射线上每点作经过该点的积分曲线的切线，试证这些切线彼此平行.。