四、重点关注题目
1.证明：方程
40
42x t dt x 在区间（1,2）只有唯一实根。

2.设()f x 在[0,1]上连续，且()
1f x ，证明：方程0
2()1x x
f t dt 在（0,1）内只有一
个实根。

3.设()f x 在π0,
2
上连续，且
()1f x ，证明：方程
2
4
cos 1()0x t x
t f t dt
e dt 在
π0,
2
内有唯一实根。

4. 试证:当202
1x x 时,
1
21
2tan tan x x x x 5.
当0x 时,2
1arctan x
x 6.当0x
时，2(1)1x
x e x
7.证明：当10x
时，2
2ln(1
)ln (1)
2x x x
8.证明：当0x
时，(1)ln(1)arctan x x x 9.证明：当0
2
x y
时，
2
2
1tan tan 1cos cos y
x x y x
y
10. 当1x 时，试证：
111ln
1
2
2
x x x x .
11. 证明：1
1
11
1
1
2
2(1,1)
(1)
ln n n
n n a a a a a n n a
n
12.证明：当0x 时，ln(1)
1
x
x x
x 13.试证：当1,0n
b
a
时，)()
(1
1
b a na
b
a
b a nb n n
n
n .
14. 设(),()f x g x 在[,]a b 上连续，证明存在(,)a b 使得
()
()()
()b
a
f g t dt g f t dt .
15.设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()
()
0f a f b ，试证：
(,)a b ，使
得()
()0f kf 成立（k 为实常数）.
16.设函数)(x f 在闭区间]1,0[上连续，在开区间
)1,0(内可导，且
(1)1f ．证明：在
)1,0(内至少存在一点
，使得()
()20f f 成立．
18. 证明：ππ2200
sin cos n
n
xdx xdx . 19. 求证：
ππ0
π(sin )(sin )2
xf x dx
f x dx ，并计算
π2
sin 1cos x x
dx x。

20. 设20
sin n
n
I xdx ，试证2
1n
n
n I I n
，并计算6
260
sin I xdx .
21.设函数()f x 在区间[0,1]上连续，且
10
()0f x dx ，证明：
（1）1
[(1)()]0f x f x dx ；
（2）
(0,1)，使得(1
)
()
0f f .
23.设(),()f x g x 在[,]a a 上连续，()g x 为偶函数，()
()
2f x f x ，
证明：
()()d 2
()d a a a
f x
g x x
g x x .
24. 设()f x 在
0x
x 处导数存在，试证：()f x 在0x
x 处连续。

25. 设函数()f x 在区间(,)a b 内处处导数存在，且()0f x ，试证：()f x 在区间(,)a b 内
是增函数。

26. 设函数()f x 在区间(,)a b 内可导，且()0f x ，试证：()f x 在区间(,)a b 内是常值函
数。

27.已知函数()f x 在[,]a b 上连续，设()
(),[,]x a
F x f t dt x a b ，试证：()
()F x f x 。

28.数()f x 在[,]a b 上连续，且()
()F x f x ，证明：
()()()b a
f x dx F b F a 。