3、随机误差项主要包括哪些因素的影响？
•（1）在解释变量中被忽略的因素的影响； •（2）变量观测值的观测误差的影响； •（3）模型关系的设定误差的影响； •（4）其它随机因素的影响。
4. 单方程线性回归模型的一般形式
单方程线性回归模型的一般形式为：
Yi 0 1X1i 2 X2i … k Xki i
i~N(0, 2 )
i=1,2, …,n
重要提示
• 几乎没有哪个实际问题能够同时满足所有基本假设； • 通过模型理论方法的发展，可以克服违背基本假设
带来的问题； • 违背基本假设问题的处理构成了单方程线性模型的
理论方法的主要内容： 异方差问题（违背同方差假设）
序列相关问题（违背序列不相关假设） 共线性问题（违背解释变量不相关假设） 随机解释变量（违背解释变量确定性假设）
线性回归模型
• §1 回归分析概述 • §2 线性回归模型的参数估计 • §3 线性回归模型的统计检验 • §4 回 归 预 测 • §5 极大似然估计 • §6 有约束回归
§1 回归分析概述
一、线性回归模型的特征 二、线性回归模型的普遍性 三、线性回归模型的基本假设
1、线性回归模型的特征
• 一个例子
C = + Y+
(2.2.2)
其中： 是一个随机误差项，是其他影响因素的
“综合体”。
• 线性回归模型的特征：
⑴ 通过引入随机误差项，将变量之间的关系用一个 线性随机方程来描述，并用随机数学的方法来估计 方程中的参数；
⑵ 在线性回归模型中，被解释变量的特征由解释变 量与随机误差项共同决定。
2、模型的理论方程中为什么必须包含随机 误差项？
s = a + b X1 + c X2
c<0
• 变量置换仅用于变量非线性幂函数 Q = AKL
Q：产出量，K：投入的资本；L：投入的劳动 方程两边取对数： ln Q = ln A + ln K + ln L
(3)级数展开
例如，不变替代弹性CES生产函数：
线性回归模型在上述意义上的基本假设
对单方程线性回归模型的一般形式为：
Yi 0 1 X 1i 2 X 2i … k X ki i
（1）解释变量X1，X2，…，Xk 是确定性变 量，不是随机变量；解释变量之间互不相关。
（2）随机误差项具有０均值和同方差。即
E(i)=0 Var (i)=2
变量置换得到
Z 0 1 X 1 2 X 2 3 X 3
结论：
• 实际中的许多问题，都可以最终化为线性问题， 所以，线性回归模型有其普遍意义。
• 即使对于无法采取任何变换方法使之变成线性 的非线性模型，目前使用得较多的参数估计方 法——非线性最小二乘法，其原理仍然是以线性 估计方法为基础。
凯恩斯绝对收入假设消费理论：消费（C）是由收 入（Y）唯一决定的，是收入的线性函数：
C = + Y 但实际上上述等式不能准确实现。
(2.2.1)
• 原因 ⑴消费除受收入影响外，还受其他因素的影响； ⑵线性关系只是一个近似描述； ⑶收入变量观测值的近似性：收入数据本身并不绝 对准确地反映收入水平。
• 因此，一个更符合实际的数学描述为：
• 线性模型理论方法在计量经济学模型理论方法的 基础。
Back ：
三、线性回归模型的基本假设
• 对于线性回归模型，模型估计的任务是用回归 分析的方法估计模型的参数。最常用的估计方 法是普通最小二乘法。为保证参数估计量具有 良好的性质，通常对模型提出若干基本假设。 如果实际模型满足这些基本假设，普通最小二 乘法就是一种适用的估计方法；如果实际模型 不满足这些基本假设，普通最小二乘法就不再 适用，而要发展其它方法来估计模型。
QA (1K2L) 1
方程两边取对数后，得到：
L n Q L n A 1L n (1 K 2 L )
对 Ln(1K 2L)
在ρ=0处展开台劳级数，取关于ρ的线性项，即 得到一个线性近似式。
ln Y ln A 1 m ln K 2 m ln L 2 1m 12 ( ln (K L ) ) 2
从 数 学 角 度 看 ，引 入 随 机 误 差 项 ，将 变 量 之 间 的 关 系 用 一 个 线 性 随 机 方 程 来 描 述 ，才 能 用随机数学的方法来估计方程中的参数。
从 经 济 学 角 度 看 ，客 观 经 济 现 象 是 十 分 复 杂 的 ，是 很 难 用 有 限 个 变 量 、某 一 种 确 定 的 形 式来描述的，这就是设置随机误差项的原因。
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§2 线性回归模型的参数估计
模型描述
• 假定变量yt与k 个变量xjt, j = 1, … , k ，
存在线性关系。多元线性回归模型表示为：
y t 0 1 X 1 t 2 X 2 t k X K u t t
• 其中yt是被解释变量（因变量），xjt 是解释变 量（自变量），ut是随机误差项，i, i = 0, 1, … , k 是回归参数（通常未知）。这说明xjt, j = 1, … , k, 是yt的重要解释变量。 ut代表众 多影响yt变化的微小因素。
1.线性的含义
对变量而言 对参数而言
Y i 0 1 X 1i 2 X 2i
Y i01X1i2X2 2i
2.将非线性模型转化为线性模型的数学 处理方法
⑴变量置换
例如，描述税收与税率关系的拉弗曲线：抛物线
s = a + b r + c r2
c<0
s：税收； r：税率
设X1 = r，X2 = r2， 则原方程变换为
i=1,2, …,n i=1,2, …,n
（3）随机误差项在不同样本点之间是独立的 ，不存在序列相关。即
Cov(i, j)=0 i≠j i,j= 1,2, …,n
（4）随机误差项与解释变量之间不相关。即 Cov(Xji, i)=0 j=1,2, …,k i=1,2, …,n
（5）随机误差项服从０均值、同方差的正态 分布。即
i=1,2,…n
(2.1.3)
其中，Y 称被解释变量，X1, X2, …Xk 称解释变量，k 为解
释变量的数目，μ为随机误差项，i 为观测值下标，n 为样本
容量，0 , 1, 2 , …k 为待估参数。
二、线性回归模型的普遍性
线性回归模型是计量经济学模型的主要形 式，许多实际经济活动中经济变量间的复杂 关系都可以通过一些简单的数学处理，使之 化为数学上的线性关系。