回归分析的初步应用（教案）
——探究非线性回归模型
一、教材分析
1. 教材的地位与作用：
“回归分析的初步应用”是人民教育出版社A版《数学选修2-3》统计案例一章的内容，是《必修3》“线性回归分析”的延伸。
根据高中课程标准，这里准备安排4个课时，本次说课的内容为第3课时。
虽然线性回归分析具有广泛的应用，但是大量实际问题的两个变量不一定都呈线性相关关系，所以有必要探究如何建立非线性回归模型，进行更有效的数据处理。
2. 教学重点、难点：
教学重点：探究用线性回归模型研究非线性回归模型。
教学难点：如何选择不同的模型建模，以及如何将非线性回归模型转化为线性回归模型。
二、学情分析
教学对象是高二的学生，通过前面的学习，具有一定的线性回归分析、相关指数和残差分析的知识，这为探究非线性模型奠定了良好的基础，但由于学生较少接触数学建模的思想，思路不够开阔，为模型间的转化带来了一定的困难。
三、教学目标
知识与技能目标：能根据散点图的特点选择回归模型，通过函数变换，借助线性回归模型研究非线性回归模型。
过程与方法目标：经历非线性回归模型的探索过程，掌握建立非线性模型的基本步骤，体会统计方法的特点。
情感、态度与价值观：以探究问题为中心，感受研究非线性回归模型的必要意义，体验数学的文化内涵，形成学习数学的积极态度。
四、教学方法
1. 教法分析
主要采用“引导发现，合作探究”的教学方法，通过组织学生观察、分析、计算、交流、归纳，让学生在探究学习的过程中经历知识形成的全过程。
利用多媒体辅助教学，优化了教学过程，大大提高了课堂教学效率。
2.学法分析
重点指导学生通过观察思考、类比联想，形成“自主探究、合作交流”的学习形式，培养学生从“学会知识”到“会学知识”。
五、教学过程
（一）知识回顾
首先以07年广东的一道高考题引入新课：
下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准
煤）的几组对照数据：
（1）请画出上表数据的散点图；
=+；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程ˆy bx a
（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预
测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？
师：回忆并叙述建立线性回归模型的基本步骤？
生：选取变量、画散点图、选择模型、估计参数、分析与预测。
[设计意图]：为建立非线性回归模型作准备。
（二）创设情境
为了激发学生的学习兴趣，先让学生观看一段有关棉铃虫的视频。
★【播放视频】★
生：观看视频。
师：根据背景介绍，指出棉铃虫的繁殖受温度的影响。
为有效防治虫害，科学家收集到以下一组数据，
那么科学家得到这些数据后，是怎样处理的呢？下面我们来做一次探索，进而提出问题。
（三）提出问题
一只棉铃虫的产卵数y 和温度x有关，科学家收集了以下7组观测数据：
ο时棉铃虫的产卵数目。
试建立y与x之间的回归方程；并预测温度为31C
[设计意图]：使学生感受到数学并不只是一些抽象的文字和符号，它来源于生活，又应用于生活。
学生明白学习数学有什么用，自然会增加学习数学的兴趣。
师：利用信息技术画出散点图，
并提出问题——适合建立线性回归模型么？
并利用多媒体进行演示散点与直线的拟合情况。
生：经过观察，不难看出样本点并没有分布在某个带状区域内，因此两个变量不呈线性相关关系，所
以利用线性回归方程建模无法真实反映两个变量之间的内在关系。
师：那么可以用什么函数来拟合呢？引导学生再次观察散点图，并和学过的函数图像进行比较，鼓励学生继续探索。
[设计意图]：通过观察、类比、联想、知识的迁移和应用等方式，培养学生的观察能力和分析能力，使学生体会知识之间的有机联系。
生：可能会给出各种各样的猜想，比如二次函数、指数型函数甚至幂函数。
师：课堂上主要引导学生探究二次函数和指数函数模型的建立过程，而对于其他的方案，留给学生课后继续探索。
师：两个变量是线性关系时可以利用公式估计出两个参数，当模型不是线性回归模型时，如何估计模型中的参数呢？
生：经过思考发现，如果能将非线性模型转化为线性模型，问题就可以得到解决。
师：经过怎样的变换可以实现转化呢？
在这里学生遇到了难点，通过几个问题的设置，分散难度，以突破难点。
方案1：二次函数模型 2
ˆy
ax bx c =++ 师：是否可以将2
ˆy
ax bx c =++简化为c ax y +=2^
呢？引导学生分析一次项对函数图像的影响。
生：发现一次项只是影响函数的对称性，并不影响函数图像的形状，因此可将方程简化为c ax y +=2
^。
师：通过什么变换可以将c ax y +=2
^
转化为c at y +=^
呢？
生：通过比较两个表达式，发现可以利用平方变换2
x t =实现转化，得到2
ˆˆy
ax bx c y at c =++→=+，（2
x t =）
方案2：指数函数模型 x
c a
c y 21^
=
师：在实现方案1中模型转化的基础上，提出方案2。
指出为了方便计算，通常取以10或以e 为底，课堂上选取以e 为底，进而提出选用不同的底会对结果产生影响么？留给学生课后思考验证。
师：如何将x
c e
c y 21^
=转化为a bx y +=^
？引导学生回忆对数的运算性质以及指对数的关系。
生：找到利用对数变换^
ln y z =可以实现转化，得到a bx z a c y x
c +=→=21^
，（^
ln y z =，1ln c a =，
2c b =）
[设计意图]：在此过程中，学生再次体会“转化”的思想。
经过变换后，这两个模型都转化为线性回归模型。
师：如何估计这两个线性回归模型的参数呢？引导学生分组讨论，启发学生把原变量的观测数据转化为新变量的数据。
由于计算量较大，把学生分成两组，分别完成两个模型的数据转化，以节约时间。
生：经过计算，得到新的数据和散点图，进而估计参数，得到两个模型的线性回归方程。
方案1：二次函数模型 2
x t =
线性回归方程：54.202367.0^
-=t y 方案2：指数函数模型 ^
ln y z =
线性回归方程：843.3272.0-=x z
师：在此基础上，引导学生将它们还原为^
y 与x 的两个非线性模型。
生：将两个线性回归模型还原为非线性回归模型，并进行预测。
方案1：二次函数模型 2
x t =
非线性回归方程：54.202367.02
^
-=x y 当C x
︒
=31时，150^
≈y 方案2：指数函数模型 ^
ln y z = 非线性回归方程：843
.3272.0^
-=x e
y
当C x ︒=31时，98^
≈y
[设计意图]： 通过两个方案的探索，使学生体会，可以先通过观察散点图，选择合适的模型；知道有些非线性模型可以利用函数变换转化为线性回归模型来估计参数，从而突破难点，同时培养学生的观察能力和探索创新精神。
生：经过观察，发现两者预测结果差距很大。
师：哪个模型能更好的刻画产卵数y 和温度x 之间的关系呢？
生：经过思考和讨论，提出可以用残差平方和或相关指数进行不同模型的比较，进而利用信息技术得出结果。
残差平方和越小或相关指数越大，则说明模型的拟合效果越好。
生：经过比较，发现指数函数模型拟合效果更好。
师：利用相关指数不仅可以比较几个模型的拟合效果，而且对于只有一个模型时，也可以利用相关指数判断模型的好坏。
[设计意图]：通过引导学生进行不同模型的比较，让学生体会统计方法的特点：建立模型没有现成的答案可循，要根据观测数据的特点来选择回归模型。
得到回归模型并不是最终的目的，如果建立的回归模型有效，我们就可以用它进行预测。
模型的拟合效果越好，用来进行预测的准确度就会越高。
鼓励学生在数学建模的过程中，不断探索，寻求更好的拟合效果。
（五）梳理反思
归纳总结建立非线性回归模型的基本步骤：
（1）选模：做出散点图，根据图像特点选择合适的模型；
（2）转化：利用函数变换将非线性模型转化为线性回归模型；
（3）求参：估计线性回归模型的参数；
（4）还原：将函数变换带回线性回归方程，还原为非线性模型；
（5）分析：利用相关指数等分析模型的好坏。
（六）布置作业
1、（巩固型、个人独立完成）P105-3
2、（延伸型、小组讨论完成）试建立其他的回归模型，并和方案1、2的拟合效果进行比较。
六、设计说明
1. 板书设计
2. 在本节课的教学过程中，我始终坚持学生的主体地位，采用“引导发现，合作探究”的教学方法，培养学生“自主探究，合作交流”的数学学习方式。
师生共同体验探索的快乐，感受交流的喜悦。