第二章 整式的乘法【知识点归纳】1.同底数幂相乘， 不变， 相加。

a n.a m = (m,n 是正整数)2.幂的乘方， 不变， 相乘。

(a n )m = (m,n 是正整数)3.积的乘方，等于把 ，再把所得的幂 。

(ab)n = (n 是正整数)4.单项式与单项式相乘，把它们的 、 分别相乘。

5.单项式与多项式相乘，先用单项式 ，再把所得的积 ，a （m+n ）=6.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘 ，再把所得的积 ，（a+b ）（m+n ）= 。

7.平方差公式，即两个数的 与这两个数的 的积等于这两个数的平方差（a+b ）（a-b ）=8.完全平方公式，即两数和（或差）的平方，等于它们的 ，加（或减）它们的积的 。

（a+b ）2= ,（a-b ）2= 。

9.公式的灵活变形：（a+b ）2+（a-b ）2= ，（a+b ）2-（a-b ）2= ， a 2+b 2=（a+b ）2- ，a 2+b 2=（a-b ）2+ ，（a+b ）2=（a-b ）2+ ， （a-b ）2=（a+b ）2- 。

【例1】若代数式22(26)(2351)x ax y bx x y +-+--+-的值与字母x 的取值无关，求代数式234a -+22212(3)4b a b --的值【例2】已知两个多项式A 和B ，43344323,321,n n n A nx x x x B x x x nx x +-+=+-+-=-++--试判断是否存在整数n ，使A B -是五次六项式？【例3】已知,,x y z 为自然数，且x y <，当1999,2000x y z x +=-=时，求x y z ++的所有值中最大的一个是多少？【例4】如果代数式535ax bx cx ++-当2x =-时的值为7,那么当2x =时,该式的值是 .【例5】已知a 为实数,且使323320a a a +++=,求199619971998(1)(1)(1)a a a +++++的值.【例6】（1）已知2x+2=a ，用含a 的代数式表示2x ；（2）已知x=3m +2，y=9m +3m ，试用含x 的代数式表示y ．【例7】我们知道多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释，如（2a+b ）（a+b ）=2a 2+3ab+b 2就能用图1或图2等图形的面积表示：（1）请你写出图3所表示的一个等式： ． （2）试画出一个图形，使它的面积能表示：（a+b ）（a+3b ）=a 2+4ab+3b 2．【例8】归纳与猜想：（1）计算：①（x﹣1）（x+1）= ；②（x﹣1）（x2+x+1）= ；③（x﹣1）（x3+x2+x+1）= ；（2）根据以上结果，写出下列各式的结果．①（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）= ；②（x﹣1）（x9+x8+x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1）= ；（3）（x﹣1）（x n﹣1+x n﹣2+x n﹣3+…+x2+x+1）= （n为整数）；（4）若（x﹣1）•m=x15﹣1，则m= ；（5）根据猜想的规律，计算：226+225+…+2+1．【例9】认真阅读材料，然后回答问题：我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：（a+b）1=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3，…下面我们依次对（a+b）n展开式的各项系数进一步研究发现，n取正整数时可以单独列成表中的形式：上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：（1）多项式（a+b）n的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数；（2）推断出多项式（a+b）n（n取正整数）的展开式的各项系数之和为S，（结果用含字母n的代数式表示）．课后作业：1、若0352=-+y x ，求y x 324⋅的值。

2、在()()y x y ax -+与3的积中，不含有xy 项，则a 必须为 。

3、已知()()22123--==+b a ab b a ，化简，的结果是 。

4、已知199819992000201x x x x x ++=++，则的值为 。

5、已知()3353x y y x y x -++-=-，则代数式的值等于 。

6、已知()9322=x，则x = 。

7、若y x x x 2254,32+==，则的值为 。

8、当2x =时，代数式31ax bx -+的值等于17-，那么当1x =-时，代数式31235ax bx --的值 .9、已知19992000a x =+，19992001b x =+，19992002c x =+，求多项式222a b c ab bc ca ++---的值为。

10、已知,,a b c 均不为0，且0a b c ++=，那么111111()()()a b c b c c a a b+++++的值是多少？“整体思想”在整式运算中的运用1、当代数式532++x x 的值为7时,求代数式2932-+x x 的值.2、已知2083-=x a ，1883-=x b ，1683-=x c ，求：代数式bc ac ab c b a ---++222的值。

3、已知012=-+a a ，求2007223++a a 的值.4、若a 2﹣2a+1=0．求代数式的值．5、先化简，再求值：(1))4)(2)(2(22y x y x y x +-+ ，其中x=-2,y=-3 (2) 21,2)()())((222==+++--+b a b a b a b a b a 其中第四讲 乘法公式（1）公式的逆用1、已知m 2+n 2-6m+10n+34=0，求m+n 的值2、已知0136422=+-++y x y x ，y x 、都是有理数，求y x 的值。

3、已知 2()16,4,a b ab +==求223a b +与2()a b -的值。

4、已知()5,3a b ab -==求2()a b +与223()a b +的值。

5、已知222450x y x y +--+=，求21(1)2x xy --的值。

6、0132=++x x ，求（1）221x x +（2）441xx +7、试说明不论x,y 取何值，代数式226415x y x y ++-+的值总是正数。

8、已知三角形ABC的三边长分别为a,b,c且a,b,c满足等式2222++=++，3()()a b c a b c请说明该三角形是什么三角形？9、计算（1）（x﹣y）（x+y）（x2+y2）（2）（a﹣2b+c）（a+2b﹣c）（3）（a﹣b+c﹣d）（c﹣a﹣d﹣b）；（4）（x+2y）（x﹣2y）（x4﹣8x2y2+16y4）．10、已，求下列各式的值：（1）；（2）．第五讲 乘法公式（2）例1 已知a-b=2,b-c=1,求代数式222a b c ab bc ac ++---的值。

例2 已知a 、b 、c 为有理数，且满足28,16,a b c ab =-=-求a.b.c 的值。

例3 已知2310,x x -+=试求下列各式的值： （1）221x x + （2）331x x + (3) 441x x+例4 已知x 、y 满足x 2十y 2十45＝2x 十y ，求代数式y x xy +的值．例5 已知a 、b 、c 均为正整数，且满足222c b a =+，又a 为质数． 证明：(1)b 与c 两数必为一奇一偶； (2)2(a+b+1)是完全平方数．1、 若23231,6751999x x x x x -=+-+求代数式的值为2、如果：=-==+-222)32,5,0168y x x y xy x 则（且3、计算：24816(21)(21)(21)(21)(21)1++++++=4、若942++mx x 是一个完全平方式，则m 的值为 。

5、当x = ，y = 时，多项式11249422-+-+y x y x 有最小值，此时这个最小值是 。

6、()()()()()121212121232842+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++的个位数字是 。

7、若()()[]1320122---=+++ab ab ab b b a ，则的值是 。

8、计算()()123123-++-y x y x 的结果为 。

9、若xx x 204412，则=+-的值为 。

10、多项式621143--++b a ab a m 是一个六次四项式，则=m 。

11、若代数式5021422++-+y x y x 的值为0，则=x ，=y 。

12、已知052422=+-+-b b a a , 求 b a 、的值13、已知a,b,c 是三角形的三边，且a 2+b 2+c 2=ab=bc+ca,试判断三角形的形状14、已知2242212,22322a a a a a a =++++求的值1．观察下列各式：(x 一1)(x+1)＝x 2一l ； (x 一1)(x 2+x+1)=x 3一1；(x 一1)(x 3十x 2+x+1)=x 4一1．根据前面的规律可得 (x 一1)(x n +x n-1+…+x+1)= ．2．已知052422=+-++b a b a ，则ba ba -+= ．3．计算：(1)19492一19502+19512一19522+…+19972一19982+19992 =(2)2199919991999199719991998222-+ ．4．如图是用四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于a 、b 的恒等式5．已知51=+aa ，则2241a a a ++= ． 6．已知5,3-=+=-c b b a ，则代数式ab a bc ac -+-2的值为( )． A ．一15 B ．一2 C ．一6 D ．67．乘积)200011)(199911()311)(211(2222---- 等于( )．A ．20001999B ．20002001C ．40001999D ．400020018．若4,222=+=-y x y x ，则20022002y x +的值是( )．A ．4B ．20022C ． 22002D ．420029．若01132=+-x x ，则441xx +的个位数字是( )．A ．1B ．3C ． 5D ．710．如图①，在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形(a>b)，把余下的部分剪拼成一个矩形(如图②)，通过计算两个图形(阴影部分)的面积，验证了一个等式，则这个等式是( )．A ．))((22b a b a b a -+=-B ．2222)(b ab a b a ++=+C ．2222)(b ab a b a +-=-D ．222))(2(b ab a b a b a -+=-+11．(1)设x+2z＝3y，试判断x2一9y2+4z2+4xz的值是不是定值?如果是定值，求出它的值；否则请说明理由．(2)已知x2一2x=2，将下式先化简，再求值：(x—1)2+(x+3)(x一3)+(x一3)(x一1)．12．一个自然数减去45后是一个完全平方数，这个自然数加上44后仍是一个完全平方数，试求这个自然数．13．观察：25⋅⋅⋅+24311=2+⋅2=⋅⋅3111452+⋅⋅3=⋅194156……(1)请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；(2)根据(1)，计算2000×2001×2002×2003+1的结果(用一个最简式子表示)．14．你能很快算出19952吗?为了解决这个问题，我们考察个位上的数字为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可写成l0n+5(n为自然数)，即求(10n+5)2的值，试分析 n=1，n=2，n＝3……这些简单情形，从中探索其规律，并归纳猜想出结论．(1)通过计算，探索规律．152 =225可写成100×1×(1+1)+25；252=625可写成100×2×(2+1)+25；352=1225可写成100× 3×(3+1)+25；452＝2025可写成100×4×(4+1)+25；……752＝5625可写成；852＝7225可写成．(2)从第(1)题的结果，归纳、猜想得(10n+5)2= ．(3)根据上面的归纳猜想，请算出19952＝．第三章因式分解【知识点归纳】1.把一个多项式表示成若干个的形式，称为把这个多项式因式分解。