整式乘除与因式分解一．知识点 （重点） 1．幂的运算性质：a m ·a n ＝a m ＋n （m 、n 为正整数） 同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 2．()nm a ＝ a mn （m 、n 为正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘．3．()n n n b a ab = （n 为正整数） 积的乘方等于各因式乘方的积． 练习：（1）y x x 2325⋅ （2）)4(32b ab -⋅- （3）a ab 23⋅（4）222z y yz ⋅ （5）)4()2(232xy y x -⋅ （6）22253)(631ac c b a b a -⋅⋅ 4．nm a a ÷＝ a m －n （a ≠0，m 、n 都是正整数，且m ＞n ）同底数幂相除，底数不变，指数相减． 例：（1）x 8÷x 2 （2）a 4÷a （3）（a b ）5÷（a b ）2（4）（-a ）7÷（-a ）5 （5） (-b ) 5÷(-b )25．零指数幂的概念：a 0＝1 （a ≠0）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l ． 例：若1)32(0=-b a 成立，则b a ,满足什么条件？ 6．负指数幂的概念：a －p ＝pa 1（a ≠0，p 是正整数）任何一个不等于零的数的－p （p 是正整数）指数幂，等于这个数的p 指数幂的倒数．也可表示为：ppn m m n ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-（m ≠0，n ≠0，p 为正整数）单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．例：（1）223123abc abc b a ⋅⋅ （2）4233)2()21(n m n m -⋅-8．单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．例：（1）)35(222b a ab ab + （2）ab ab ab 21)232(2⋅-（3）)32()5(-22n m n n m -+⋅ （4）xyz z xy z y x ⋅++)(23229．多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．例：（1）)6.0(1x x --）（ （2）))(2(y x y x -+ （3）2)2n m +-（ 练习：1．计算2x 3·(－2xy)(－12xy) 3的结果是2．(3×10 8)×(－4×10 4)＝3．若n 为正整数，且x 2n ＝3，则(3x 3n ) 2的值为 4．如果(a n b ·ab m ) 3＝a 9b 15，那么mn 的值是5．－[－a 2(2a 3－a)]＝6．(－4x 2＋6x －8)·(－12x 2)＝ 7．2n(－1＋3mn 2)＝8．若k(2k －5)＋2k(1－k)＝32，则k ＝ 9．(－3x 2)＋(2x －3y)(2x －5y)－3y(4x －5y)＝10．在(ax 2＋bx －3)(x 2－12x ＋8)的结果中不含x 3和x 项，则a ＝ ，b ＝11．一个长方体的长为(a ＋4)cm ，宽为(a －3)cm ，高为(a ＋5)cm ，则它的表面积为，体积为。

12．一个长方形的长是10cm ，宽比长少6cm ，则它的面积是，若将长方形的长和都扩大了2cm ，则面积增大了。

单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．例：（1）28x 4y 2÷7x 3y （2）-5a 5b 3c ÷15a 4b （3）（2x 2y ）3·（-7xy 2）÷14x 4y 3 11．多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．例： 练习：1．计算：（1）223247173y x z y x ÷-； （2）()⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷-2232232y x y x ；（3）()()26416b a b a -÷-． （4）()()322324n n xy y x -÷（5）()()39102104⨯-÷⨯ 2．计算：（1）33233212116⎪⎭⎫⎝⎛-⋅÷xy y x y x ；（2）32232512152⎪⎭⎫⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛xy y x y x（3）22221524125⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n n n n b a b a b a 3．计算：（1）()()[]()()[]234564y x x y y x y x +⋅-÷+-；（2）()()[]()()[]235616b a b a b a b a -+÷-+．4.若 (ax 3my 12)÷(3x 3y 2n )=4x 6y 8 , 则 a = , m = ,= ;12．乘法公式：①平方差公式：（a ＋b ）（a －b ）＝a 2－b 2 ②完全平方公式：（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2xy xy y x 6)63()1(2÷-)5()15105()2(3223ab ab b a b a -÷--（a －b ）2＝a 2－2ab ＋b 2例1： （1）(7+6x)(7−6x)； （2）(3y ＋ x)(x−3y)； （3）(−m ＋2n)(−m−2n)．例2： (1) (x+6)2(2) (y-5)2(3) (-2x+5)2练习：1、()()4352aa -⋅-=_______。

3222323()2()()x x yx y xy ⎡⎤-⋅-⎣⎦＝______________。

2、2323433428126b a b a b a b a =-+（_____________________）3、222____9(_____)x y x ++=+；2235(7)x x x +-=+（______________）4、已知15x x +=，那么331x x +=_______；21x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=_______。

5、若22916x mxy y ++是一个完全平方式，那么m 的值是__________。

6、多项式2,12,2223--+++x x x x x x 的公因式是_____________________。

7、因式分解：=+2783x __________________________。

8、因式分解：=++224124n mn m ____________________________。

9、计算：=⨯-⨯-⨯8002.08004.08131.0_____________________。

10、A y x y x y x ⋅-=+--)(22，则A =_____________________13．因式分解（难点） 因式分解的定义．把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．掌握其定义应注意以下几点：（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；（2）因式分解必须是恒等变形；（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止． 弄清因式分解与整式乘法的内在的关系．因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．二、熟练掌握因式分解的常用方法． 1、提公因式法例：（1）323812a b ab c + （2）35247535x y x y -2、公式法运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用； 常用的公式：①平方差公式： a 2－b 2＝ （a ＋b ）（a －b ） ②完全平方公式：a 2＋2ab ＋b 2＝（a ＋b ）2 a 2－2ab ＋b 2＝（a －b ）2例：（1）2220.25a b c - （2）29()6()1a b b a -+-+（3）42222244a x a x y x y -+ （4）22()12()36x y x y z z +-++ 练习：1、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。

2、22)(n x m x x -=++则m =____n =____3、232y x 与y x 612的公因式是＿4、若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。

5、在多项式4224222294,4,,t s y x b a n m +-+--+中，可以用平方差公式分解因式的有________________________ ，其结果是 _____________________。

6、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m=_______。

7、_____))(2(2(_____)2++=++x x x x8、已知,01200520042=+++++x x x x 则.________2006=x9、若25)(162++-M b a 是完全平方式M=________。

10、()22)3(__6+=++x x x ， ()22)3(9___-=++x x 11、若229y k x ++是完全平方式，则k=_______。

12、若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。

13、若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_____。

14、若6,422=+=+y x y x 则=xy ___。

15、方程042=+x x ，的解是________。

中考考点解读：整式的乘除是初中数学的基础,是中考的一个重点内容.其考点主要涉及以下几个方面： 考点1、幂的有关运算例1．（2009年湘西）在下列运算中，计算正确的是（ ） （A ）326a a a ⋅= （B ）235()a a =（C ）824a a a ÷=（D ）2224()ab a b =分析:幂的运算包括同底数幂的乘法运算、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法运算.幂的运算是整式乘除运算的基础,准确解决幂的有关运算的关键是熟练理解各种运算的法则.解：根据同底数幂的乘法运算法则知52323a a a a ==⋅+，所以（A ）错；根据幂的乘方运算法则知63232)(a aa ==⨯，所以（B ）错；根据同底数幂的除法法则知62828a a a a ==÷-，所以（C ）错；故选（D ）.例2.（2009年齐齐哈尔）已知102m=，103n=，则3210m n+=____________．分析:本题主要考查幂的运算性质的灵活应用，可先逆用同底数幂的乘法法则m n m n a a a +⋅=,将指数相加化为幂相乘的形式, 再逆用幂的乘方的法则()m n mn a a =,将指数相乘转化为幂的乘方的形式,然后代入求值即可.解： 3210m n+=3232321010(10)102372m n m n ⨯=⨯=⨯=（）. 考点2、整式的乘法运算例3．（2009年贺州）计算：31(2)(1)4a a -⋅- = ．分析:本题主要考查单项式与多项式的乘法运算.计算时，按照法则将其转化为单项式与单项式的乘法运算,注意符号的变化.解：)141()2(3-⋅-a a ＝1)2(41)2(3⋅--⋅-a a a ＝a a 2214+-. 考点3、乘法公式例4. (2009年山西省)计算：()()()2312x x x +---分析:运用多项式的乘法法则以及乘法公式进行运算，然后合并同类项. 解： ()()()2312x x x +---=2269(22)x x x x x ++---+=226922x x x x x ++-++-=97x +.例5. (2009年宁夏)已知：32a b +=，1ab =，化简(2)(2)a b --的结果是 ． 分析:本题主要考查多项式与多项式的乘法运算.首先按照法则进行计算,然后灵活变形，使其出现（a b +）与ab ，以便求值.解：(2)(2)a b --=422+--b a ab =4)(2++-b a ab =242321=+⨯-. 考点4、利用整式运算求代数式的值例6．（2009年长沙）先化简，再求值：22()()()2a b a b a b a +-++-，其中133a b ==-，．分析:本题是一道综合计算题,主要在于乘法公式的应用. 解：22()()()2a b a b a b a +-++- 2222222a b a ab b a =-+++- 2ab =当3a =，13b =-时，12233ab ⎛⎫=⨯⨯- ⎪⎝⎭2=-. 考点5、整式的除法运算例7. (2009年厦门)计算：[(2x －y )(2x ＋y )＋y (y －6x )]÷2x分析:本题的一道综合计算题,首先要先算中括号内的,注意乘法公式的使用,然后再进行整式的除法运算.解：[(2x －y )( 2x ＋y )＋y (y －6x )]÷2x＝(4x 2－y 2＋y 2－6xy )÷2x ＝(4x 2－6xy )÷2x＝2x －3y . 考点6、定义新运算例8.（2009年定西）在实数范围内定义运算“⊕”，其法则为：22a b a b ⊕=-，求方程（4⊕3）⊕24x =的解．分析:本题求解的关键是读懂新的运算法则，观察已知的等式22a b a b ⊕=-可知，在本题中“⊕”定义的是平方差运算，即用“⊕”前边的数的平方减去 “⊕”后边的数的平方.解：∵ 22a b a b ⊕=- ， ∴ 2222(43)(43)77x x x x ⊕⊕=-⊕=⊕=-．∴ 22724x -=． ∴ 225x =．∴ 5x =±． 考点7、乘法公式例3（1）(2009年白银市) 当31x y ==、时，代数式2()()x y x y y +-+的值是 ． （2）(2009年十堰市) 已知：a+b=3，ab=2，求a 2+b 2的值.解析：问题（1）主要是对乘法的平方差公式的考查.原式=x 2- y 2 +y 2= x 2 = 3 2=9.问题（2）考查了完全平方公式的变形应用，∵2222)(b ab a b a ++=+，∴52232)(2222=⨯-=-+=+ab b a b a .说明：乘法公式应用极为广泛，理解公式的本质，把握公式的特征，熟练灵活地使用乘法公式，可以使运算变得简单快捷，事半功倍.考点8、因式分解例4（1）(2009年本溪市) 分解因式：29xy x -= ． （2）(2009年锦州市) 分解因式：a 2b-2ab 2+b 3=____________________.解析：因式分解的一般步骤是：若多项式的各项有公因式，就先提公因式，然后观察剩下因式的特征，如果剩下的因式是二项式，则尝试运用平方差公式；如果剩下的因式是三项式，则尝试运用完全平方公式继续分解. （1）29xy x -= x (y 2-9)= (3)(3)x y y +-． （2）a 2b-2ab 2+b 3= b(a 2-2ab +b 2) =b(a-b)2．说明：分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.。