最小生成树不一定唯一
第二节 树
(1)最小生成树的求法 破圈法:每一步任找一个圈，划去权值为最大的边，直到图中 没圈为止，即得最小树
V2 6 1 V1 5 2 V3 V4 7 3 4 V6 5 树的求法 避圈法:每一步从未选的边中，选一条权值最小的边，使已选 出的边不构成圈直至不能进行为止，即得最小树
第二节 树
避圈法求解：
最优改造路线如上图红线所示， 最短路径为：1400
第二节 树
求下面两个连通图的最小生成树：
第二节 树
第二节 树
某地有10个村庄，它们之间的交通道路如下图所示， 图中边旁权为道路长度(单位：百米)，现在要沿道架设电线， 实现村村通电话工程，问应如何架设电线才能使总长度最短？
1
4
1
4
2
3
2
3
第一节 图与网络
顶点、弧、有向图、无向图、链、道路、环、连通图、连通子 图、次的基本概念
3 1 1 4 环 道路 无向图 顶点 弧 连通子图 有向图 链 连通图 次 4
2
2 3
3
环 连接 a点与b 连通图 一个图 弧是由一对有序 道路 如果链中 任何一个不连通图 链有一序列弧，如 次 : 以 a点为 由顶点集和弧 点的一条链，如 由顶点集和 中任意两点间至 的顶点组成，表 都可以分为若干个 每一个弧的终点 果每一个弧与前一 顶点的边的条 果a与b是同一个 少有一个链相连， 连通子图，每一个 示了两个顶点之 是下面一个弧的 个弧恰有一个公共 组成的图称为 边组成的图 数称为顶点的 子图称为原图的一 点时，称此链为 则称此图为连通 顶点，则称这一序 间可能运动的方 起点，则这个链 有向图 称为无向图 个分图。 环。 列弧为一个链。 图。 次 向 称为一个道路。
教学要求：
掌握图论基础，掌握最短路问题，最大流问题和最 小费用流问题等网络优化模型及其基本算法。
会应用模型和方法解决一些管理中的基本问题
第一节 图与网络


目录
图与网络 树 最短路问题 最大流问题 最小费用流问题
第一节 图与网络
一、图的概念及分类 图是由作为研究对象的有限个集合和表达这些顶点之间关系的 m条线的集合组成的, 记顶点集合为V={v1,v2,……vn}，线集合为L={l1,l2,….lm} 图则记为G=(V，L)，线又分为弧和边，顶点也称为结点 弧是由一对有序的顶点组成，表示两个顶点之间可能运动的方向 取消弧的方向就变成了边，边是只要任两点之间有连线，两个 方向均可使用，弧可作为城市道路的单行道，边则是双行道
V2 6 1 V1 5 2 V3 V4 7 3 4 V6 5 V5 4
第二节 树
练习： 用破圈法或避圈法求下图的最小生成树，并指出其权重和
V5 5 2 7 8 V7
V2 5 6 V1 4 4 4
5 4 V3 3 3 3
6 V6
V8
V4
第二节 树
避圈法：
V2 5 6 V1 4 5 4 V3 3 3 3 V4 V7 V5 5 2 7 8
V2 e1 e3 V1 e2 e5 V3 V4 e4 e7 e8 V6 e6 V5 e8
第二节 树
三、最小生成树：
设有一连通图G=(V，L)，对于每一条边e=(vi,vj),有一个权wij ，一棵生成树所有树枝上权的总和，称为这个生成树的权， 具有最小权的生成树称为最小生成树，简称最小树
2 4 1 3 3 3 5 2 2 6 3 4 2
5 D 1 2 C E 5 3 F 3 G 2 H 2 4 2
B 2 A 2 3 2
I 2 J
3
第二节 树
解：本题实质是最小树问题，利用避圈法可求得最短路线， 如下图粗线所示：
1
4 5 1
2
3 2
第一节 图与网络
二、网络
点或边带有某种数量指标的图叫网 络图，简称网络。 与点或边有关的某些数量指标，我 们经常称之为权，权可以代表如距离、 费用、容量等。
2 4 1 3 3 3 5 2 2 6 3 4
左图可以看作：
从发电厂（节点1）向某城市（节点6） 输送电力，必须通过中转站（节点2，3， 4，5）转送，边上数字代表两节点间的 距离。电力公司希望选择合适的中转站， 使从电厂到城市的传输路线最短。 一个输油管道网。节点1表示管道的 起点，节点6表示管道的终点，节点2到 5表示中转站，旁边的数字表示该段管道 能通过的最大输送量。应怎样安排输油 线路，使从节点1到节点6的总输送量最 大？ 一张城市分布图。现在要在各城市之 间架设电话线，应如何架设，使各城市 之间既能通话，又使总的架设路线最短？
6 V6
4
4
V8
最小生成树如上图红线所示， 最小权重为：4+3+3+3+4+5+2=24
第二节 树
破圈法：
V2 5 6 V1 4 5 4 V3 3 3 3 V4 V7 V5 5 2 7 8
6 V6
4
4
V8
最小生成树如上图所示， 最小权重为：4+3+3+3+4+5+2=24
第二节 树
练习： 下图是6个城市的交通图，为将部分道路改造成高速公路，使 各个城市均能通达，又要使高速公路的总长度最小，应如何做 使总长度最小,总长度是多少?
第二节 树
求连通图部分树的方法 (1)破圈法：在G中任取一个圈，去掉圈中的任何一条边，对 余下的图重复这一步，直到无圈为止，最后得到一棵部分树
第二节 树
求连通图部分树的方法 (2)避圈法：在G中任取一条边e1，找一条与e1不构成圈的边 e2，然后再找一条与{e1,e2}不构成圈的边e3、、、直到无边 可选为止
如果G=(V ，E) 的部分图 G1=(V ， E1) 是树，则称 G1=(V1 ， E1)，G=(V ， E) ，并且 V1 G1为G的 如果 V1 V， E1 E则称G1,为 G的部分图； 一个部分树。 V， E1 {(u, v) E | u V1 , v V1} 则称G1为G的生成子图；
2
第二节 树
一、树：连通且不含环的无向图
树的性质： 任意两顶点之间必有一条且仅有一条链。 去掉任一条边，则树成为不连通图。 不相邻的两个顶点间添上一条边，恰好得到一个环。 如果树有n个结点，则边的数目刚好为n-1
第二节 树
二、部分图、生成子图、部分树
部分图 生成子图 部分树
设G=(V，E)和G1=(V1，E1)