实验结果表明：空气自由膨胀前后温度相同。
过程分析：
取A+B内空气为闭口系统： 根据热力学第一定律
Q dU W
过程中
Q 0 dU 0
W 0
逻辑推理，过程中，气体的压力、比容变化了，只 有温度不变，所以理想气体内能是温度的单值函数。 即： u=f(T)
思考题： 图示，点2、3、4、5在同一 条等温线上， 比较△u12、△u13、△u14、 △u15 谁大谁小？
q
q u cv dT v T V
上式可见；定容比热等于在定容条件下，温度升高 1K时，比热力学能增加的数值。
对任意气体：
q u cv dT v T V
对理想气体：
u f T
有了以上关系式，Cp0.m和Cv0.m中只要通过实验测出一 个，另一个即可求出。
2、质量热容比（比热比）： 热容比γ： 迈耶公式：

c p0 cv 0
c p0 cv0 Rg
1
从上述两公式，可得出：
cv 0 1 Rg 1
c p0
Rg cv 0
Rg
即：
1
三、比热与温度的关系： 前面介绍了比热容的定义式：
1
2
dh c p 0 dT
h12 h2 h1 c p 0 dT
1
2
利用经验公式，积分计算。 计算方法： 利用平均比热法计算。 利用热力性质表计算。 利用定值比热计算。
1、利用经验公式，积分计算。
u12 u 2 u1
t2
t2
c
t1
v0
dT
a
t1
'
0
a1T a2T 2 a3T 3 dT
前述：
cv 0 du d i i R T Rg g dT dT 2 2
i2 c p 0 cv Rg Rg 2 i 定值摩尔热容： Cvm R 2
C pm
i2 R 2
凡原子数目相同的气体，定值摩尔热容是相同的 ，
u12
h12
t2
c
T v v T
u u 对任意气体： u f T、v du dT dv 2
将（2）代入（1）： 根据c的定义式： 定容过程：
c
u u q dT P dv T v v T dv u u P dT T v v T dT
二、比热与状态参数的关系：
由于热量与过程有关，而在热力设备中最常见的加热 方式是压力不变或容积不变，所以比热容分为定压比热 和定容比热。 定容比热cv 质量比热
定压比热cp
同理，还有摩尔定压和定容比热即容积定压和定容比热。
下面以质量比热为例进行分析。
1、定容比热cv0 根据热力学第一定律：
q du pdv1
3—1

理想气体的内能（热力学能）和焓
一、热力学能
1、内能是温度的单值函数
理想气体的内能仅仅是内动能，而无内位能。
∴内能是温度的单值函数。 u = f ( t )。 这个结论可通过焦耳实验证明： 两个由阀门连接的金属容器， 放置 于 一个有绝热壁的水槽中，两容器可以通过金 属壁和水实现热交换，实验前先在A中充 以 低压空气，而将B抽成真空。当整个装置 达 到稳定时先测量水（亦即空气）的温度，然 后打开阀门，让空气自由膨胀，充满两个容 器，当状态稳定时，再测一次温度，测出的 结果：温度不变。
du cv 0 dT
dh c p0 dT
由于理想气体的比热力学能和焓都是温度的单值函数， 所以，理想气体的比热也只是温度的单值函数。不同气 体比热与温度的关系可以通过实验确定。近似地表示为：
c p 0 a0 a1T a2T 2 a3T 3 cv 0 a0 a1T a2T 2 a3T 3
t2

h12 h2 h1
t2
c
t1
p0
dT
a
t1
0
a1T a2T 2 a3T 3 dT

2、利用平均比热法计算
u1.2 du cv 0 dt c t c t
t2 v0 2 1 t1
2 t2
2
t2
t1 v0 1
h1.2 dh c p 0 dt c p 0 t 2 c p 0 t1
三、定压比热与定容比热的关系：
1、迈耶公式： 迈耶公式
c p0
dh d u RgT cv0 Rg dT dT
R的物理意义：Rg为在定压过程中，温度升高1K时， 1kg工质对外输出的膨胀功。
即：
c p0 cv0 Rg
将上式两面同乘M：
C p0.m Cv0.m R 8.314510 J / mol .K
du cv 0 dT
说明：理想气体的定容比热为单位质量的物质在任何过 程中，温度升高1K时，比热力学能增加的数值。由于比 热力学能是状态参数，所以cv0也是仅仅和物质状态参 数有关的热力学参数。
2、定压比热cp0 根据热力学第一定律：
q dh vdp 1
平均比热是为了方便计算而虚拟的，而瞬时热容是真 实的。 注意：这里的δq是无摩擦准静过程中所接受的热量。
影响比热的因素：
1、物质的性质：
2、度量的单位：
质量比热－ 符号 c ； 单位：J/(kg.K) 容积比热－ 符号C； 单位：J/(m3.K) 摩尔比热－ 符号Cm ； 单位：J/(mol.K) 三者之间的 换算关系： C＝cρ0＝Cm/(22.4×10－3) J/(m3.K) 式中：ρ0 — 气体在标准状态下的密度。 或： Cm=22.4 ×10-3C=Mc J/(mol.K)
4、定值比热法： 不考虑比热随温度的变化关系，将比热作为常数处理。 在实际计算中，当温度变化范围不大或对计算要求不 十分精确时，常采用此方法。 根据分子运动的学说，理想气体的内能是按气体分子 运动的自由度平均分配的 ，当不考虑分子内部的振动时， 理想气体的内能与温度是线性关系，从而得出理想气体 内能表达式： i u Rg T i —为分子运动自由度。 2 单原子分子：三个移动自由度，i = 3； 双原子分子：三个移动自由度，两个转动自由度 ，i = 5； 三原子分子：三个移动自由度，三个转动自由度 ，i = 6； 考虑温度影响，加以修正，i = 7。
h dp h c v dT T p p T dT
q
cp
q h dT p T p
上式可见；定压比热等于在定压条件下，温度升高1K时， 比焓增加的数值。
h h dh dT dp 2 T p p T
对任意气体：
h f T、p
将（2）代入（1）： 根据c的定义式： 定压过程：
h h q v dp dT T p p T
其中，a0、a1、a2、a3 的值由实验确定，其值随气体的种类而异。
'
其值在附表2中可查。
c p0 cv0 Rg
四、热量的计算
q
t2
cdt
t1
只要知道c =f ( t ) ，通过积分， 就可以求出气体从t1升高到t2所 需热量。但积分较麻烦，可以 用平均比热计算。下面介绍平 均比热的概念。
q cdt 面积12 DE1 cm t1 t2 t1
t2
t1
t2
其中： cm
t2 t1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
—为气体温度从t1升 高到t2的平均比热。
q cdt 面积12DE1 ctt12 t2 t1
1
2
为了便于制表，再作以下推导：
q 面积12DE1 ＝面积A2D0 A 面积AIE0 A C0t2 t2－c0t1 t1
t2 t1 1 t1
3、利用热力性质表计算
附表3-附表8列出了几种气体在不同温度时的焓和内 能的数值。该表规定T=0K时，h=0，u=0。基准点的 选择是任意的，对△h、△u的计算无影响，但注意只 有规定0K为基准时，h和u才同时为零。
u12 u2 u1 h12 h2 h1
其中u1、u2、h1、h2可通过热力性质表查取。
变化1K所放出或吸进的热量。
q cv dT v
考虑：cp与cv谁大谁小？
cp＞cv
4、与工质所处的状态有关：
实验证明，实际气体的 比热 是温度和压力的函数， 即 c = f(t、p)，但对于理想气体，比热仅仅是温度的单 值函数，即 c = f(t)。
曲线AB反映了 c与 t 的变化关系，温度越 高，比热越大。
1 2
只要知道定容比热cv0随温度的变化关系，便可利用 上述公式计算理想气体比热力学能的变化。 思考：是否一定是定容过程，才可用上述公式进行计算？
二、焓
1、焓是温度的单值数： 由焓的定式： 即： 2、焓的计算： 对于定压加热过程：
h u pv u RgT h f (T )
q p c p dT q p dh vdp
dh q p dp 0
对理想气体，定压比热以cp0表示：
dh c p 0 dT h12 h2 h1 c p 0 dT
1 2
3—2
理想气体的比热
比热是物质的重要热力学性质之一，在热力学中， 主要是建立比热的概念，并应用比热的 实验数据作为 热量分析和计算的基础。 一、比热的概念（质量比热）