专题：因式定理与因式分解1、余数定理与因式定理通常：)(x f =0111a x a x a x a n n n n ++++-- ， )(a f 表示这个多项式在a x =时的值。

如果我们用一次多项式c x -作除式去除多项式)(x f ，那么余式是一个数。

设这时商式为多项式)(x g ，余式（余数）为r ，则有：r x g c x x f +-=)()()(即：被除式等于除式乘以商式再加余式 在上式中令c x =，便得到：r r c f =+=0)(因此：我们有：)(x f 除以c x -，所得余数为)(c f 。

这个结论我们称余数定理如果余数为0，那么)(x f 就被c x -整除，也就是c x -是)(x f 的因式。

反过来，如果c x -是)(x f 的因式，那么)(x f 就被c x -整除，余数为0。

因此，我们有： 如果)(c f =0，那么c x -是)(x f 的因式。

反之，如果c x -是)(x f 的因式，那么)(c f =0。

这个结论通常称为因式定理及其逆定理。

需要掌握的基本技能：长除法计算：3(27)(2)x x x +-÷- 解：32232322226202722224676125x x x x x x x x x x x x x x ++-++-----+所以，3227(2)(26)5x x x x x +-=-+++注：若被除式多项式缺少了某些项，可以用0补足。

例1 分解因式：6116)(23+++=x x x x f 因为0)1(=-f ，根据上面的结论 1)1(+=--x x 就是)(x f 的一次因式。

知道这个因式，运用多项式除法就可以将商式求出来，再进一步分解。

当然，我们也可以不用除法，直接去分组分解。

这里的分组是“有目标的”，因为每组都有因式1+x 。

即：6116)(23+++=x x x x f =)66()55()(223+++++x x x x x =)65)(1(2+++x x x =)3)(2)(1(+++x x x例2 分解因式：3552)(23-+-=x x x x f因为)23(f =0，可知23-x 是)(x f 的一次因式。

避免分数运算，把23-x 乘以2得32-x ，32-x 仍然是)(x f 的一次因式。

现在可以用长除法，也可以用分组分解法，使得每组都有因式32-x ：3552)(23-+-=x x x x f =)1)(32(2+--x x x这里有人会问，例1、例2中如何就首先发现0)1(=-f ，)23(f =0了呢？ 下面讨论这个问题。

2、有理根的求法如果c x -是)(x f 的因式，则0)(=c f ，那么就是说c x =是0)(=x f 的根；反之，在c 是0)(=x f 的根时，c x -就是)(x f 的因式。

问题是如何求出0)(=x f 的根？ 我们假定)(x f =0111a x a x a x a n n n n ++++-- 是整系数多项式，又设有理数q p c =是)(x f =0的根，这里qp 是既约分数（即q p ,为互质整数）。

由于0)(=c f ，则有 ++--11)()(n n n n qp a q p a +0)(01=+a q p a 两边同乘n q 得：001111=++++---n n n n n n q a pq a q p a p a 上式p 能整除左边前n 项，q 能整除左边后n 项，又因q p ,互质，因此： p 能整除0a ，即p 是0a 的约数；q 能整除n a ，即q 是n a 的约数。

因此，可得：整系数多项式)(x f =0111a x a x a x a n n n n ++++-- =0的有理根qp x =的分子p 是常数项0a 的约数；q 是首项系数n a 的约数。

找到了0)(=x f 的有理根q p x =，那么就找到了)(x f 的一次因式q p x -. 例3 分解因式 2323-++x x x 解：0a =-2的因数有2,1±±，n a 的正因数有+1，+3（我们可以如此取）。

所以)(x f =0的有理根只可能是32,312,1±±±±. 经检验可得：0)32(==f 所以32-x 是)(x f 的因式，从而23-x 也是)(x f 的因式，可得： 2323-++x x x =)23()23()23(222-+-+-x x x x x =)1)(23(2++-x x x3、字母系数上述多项式都是常数系数。

若遇字母系数多项式呢？例4 分解因式abc x ca bc ab x c b a x -+++++-)()(23 解：常数项abc -的因数为.,,,,,,abc ca bc ab c b a ±±±±±±±把a x =代入，可得abc x ca bc ab x c b a x -+++++-)()(23=0所以a x -是原式的因式，同理c x b x --,也是原式的因式，所以：abc x ca bc ab x c b a x -+++++-)()(23=))()((c x b x a x ---小结：因式定理只是提供了一个寻找多项式的一次因式的方法。

达到了降次的目的。

如果一个整系数多项式没有有理根，那么它也就没有整系数的一次因式，这时我们可以用待定系数法来考察它有无其他因式。

4、二次因式（待定系数法）例5 分解因式：32234+-++x x x x解：原式的有理根只可能是3,1±±，但这4个数都不能使原式的值为0，所以原式没有有理根，因而没有有理系数一次因式。

我们设想：原式可以分为两个整系数的二次因式的乘积，于是设： 32234+-++x x x x =))((22d cx x b ax x ++++ （其中d c b a ,,,是整数）比较两边x x x ,,23的系数及常数项，得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+=++=+3121bd ad bc ac d b c a （一般来说，这样的方程不容易解！但别忘了d c b a ,,,是整数！）从3=bd 入手，可得⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==3131d b d b 或，或⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==1313d b d b 或； 将3,1==d b 代入可解得：2,1=-=c a因此：32234+-++x x x x =)32)(1(22+++-x x x x根据因式分解的唯一性，其他几组不必再试了。

思考：136--x x 能否分解为两个整系数的三次因式的积？（可用待定系数法）下面看两个综合题例6 若3235x hx x k +-+恰好能被3x +整除，被1x +除余数为4，求,h k ，并将多项式3235x hx x k +-+进行因式分解。

解：记32()35f x x hx x k =+-+，则 (3)0(1)4f f -=⎧⎨-=⎩代入得9662h k h k +=⎧⎨+=⎩解得8,6h k ==-所以32()3856f x x x x =+--由于()f x 必有因式3x +，设其商式为2ax bx c ++则 23232()(3)()(3)(3)33856f x x ax bx c ax b a x c b x c x x x =+++=+++++=+--比较系数可以得到3383536a b a c b c =⎧⎪+=⎪⎨+=-⎪⎪=-⎩解得312a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩即2()(3)(32)(3)(1)(32)f x x x x x x x =+--=+-+例7 设c b a ,,是三个不同的实数，)(x P 是实系数多项式。

已知（1）)(x P 除以（a x -）得余数a ；（2）)(x P 除以（b x -）得余数b ；（3）)(x P 除以（c x -）得余数c ；求多项式)(x P 除以))()((c x b x a x ---所得的余式。

（意大利数奥题）解：根据余数定理，)(x P 被（a x -）除，余数为)(a P ，所以)(a P =a . 从而x x P -)(，在a x =时，值为0。

同理，在b x =、c 时，值也为0。

所以x x P c x b x a x ----)())()((，即)(x P 除以))()((c x b x a x ---，余式为x .5、因式定理在轮换式分解中的运用对称式 如果把多项式中任何两个字母互换，所得的式子与原多项式恒等，这样的多项式叫做关于这些字母的对称式。

如z y x ++，222z y x ++，zx yz xy ++，333z y x ++，y z x z x y z y z x y x 222222+++++，xyz ，┅┅轮换式 一个含有多个字母的多项式中，如果将所有字母顺次轮换后，所得到的多项式恒等，则称原多项式是关于这些字母的轮换式。

如：z y x ++，222z y x ++，zx yz xy ++，333z y x ++，x z z y y x 222++，222zx yz xy ++，xyz ，┅┅显然，关于z y x ,,的对称式一定是轮换式。

但是，关于z y x ,,的轮换式不一定是对称式。

如：x z z y y x 222++。

对于次数低于3的轮换式都是对称式。

两个轮换式（或对称式）的和、差、积、商（假定整除）仍然是轮换式（或对称式）。

关于x ，y 的齐次对称式的一般形式是：一次对称式：()y x l +； 二次对称式：()mxy y x l ++22； 三次对称式：()().33y x mxy y x l +++； 关于x ，y ，z 的齐次轮换式的一般形式是： 一次齐次轮换标准式：()z y x l ++； 二次齐次轮换标准式：()()zx yz xy m z y x l +++++222； 三次齐次轮换标准式：()()()()[]nxyz y x z x z y z y x m z y xl +++++++++222333；……（其中，l ，m ，n 均为常数）.例8 分解因式：()()()y x z x z y z y x -+-+-333.解：()()()y x z x z y z y x -+-+-333是关于z y x ,,的轮换式如果把它看成x 为主元的多项式，当y x =时，原式()()()0333=-+-+-=y y z y z y z y y .则原式有因式y x -。

同样原式还有因式z y -，x z -.所以()()()x z z y y x ---是原式的因式。