4、设 x0, x1, , xn 为 n+1 个互异节点， l j (x)( j 0,1, ,n) 为这组节点上的 n 次 Lagrange
插值基函数，试证：
n
(1)
x
k j
l
j
(
x)
xk
j0
(k 0,1, , n)
n
(2) ( xj x)k l j (x) 0
j0
(k 1, , n)
(3)设P(x)是任意一个最高次系数为 1的n+1次多项式，则
（ 2） （ 2） 取 a=1，对矩阵 A 进行 Cholesky 分解，并用平方根法求解上述方程组， 计算过程保留 2 位小数。
7、 用追赶法解下列方程组
2 1 0 0 x1
0
1 2 1 0 x2
1
0 1 2 1 x3
0
0 0 1 2 x4 2.5
8、 已知
6 13 17
A 13 29 38
17 38 50
1、分别用 Gauss 消去法、 列主元素法和全主元素法解下列方程组， 2 x1 x2 2 x3 6 4 x1 3x2 x3 11 6 x1 x2 5x3 13
计算过程保留 3 位小数。
2、 用三角分解法求解题 1 中的方程组。
3、 用紧凑格式解下列方程组，并写出 L,U 矩阵。
1 2 3 4 x1
1、设下列各数均为经过四舍五入后得到的近似值，试求各数的绝对误差限和相对误差限。 a 3580,b 0.00476,c 2958 10 2, d 0.1430 10 8
2、 已知 a 1.2031,b 0.978 是经过四舍五入后得到的近似值，问 a b, a b 有几位有效
数字？ 3、 计算球的体积，为使其相对误差限为 1%，测量半径 R 时，相对误差最大为多少？
l31 l32 1
ln1 l n2 ln3
1 lnn 1 1
5、 用三角分解法求下列矩阵的逆矩阵。
11 1 21 0 1 10
6、 设有方程组 Ax=b ，其中 A
210 12a 0a2
x ( x1, x2, x3 )T ,b (3,3,1) T
（ 1） （ 1） 求出 A 能进行 Cholesky 分解，即 A=LL T（其中 L 为下三角矩阵）的 a 取值范围。
6、已知函数表为
1
2
3
4
xi
3
5
9
15
y f ( xi )
分别用 Newton 向前、向后插值公式计算 f(1.5) ， f(3.7) 的近似值。
7、设 f (x) x7 5x5 1 ，求差商
(1)f [20 ,21, ,2 7 ]
(2) f [2 0 ,21, ,2 k ]
(k 8)
8、设 f (x) 是一个 n 次多项式，
2、已知函数表为
0． 527
xi
0． 727
0． 807
0． 927
0． 01075 0． 01219 0． 01188 0． 01426
yi
用二次插值计算 y(0.7) 的近似值。
3、已知函数表为
1
3
4
6
xi
-7
5
8
14
y f ( xi )
试求其 3 阶 Lagrange 插值多项式，并以此计算 f(2) 的近似值。
求 cond( A)1 及 cond( A) ，并说明方程组 Ax=b 是否病态。
9、 已知方程组
x1 0.99x2 1 0.99x1 0.98x2 1 的解为 x1 100, x2 100
(1) 计算系数矩阵的条件数。
(2) 取 x1* (1,0)T , x2* (100.5, 99.5)T ，分别计算残量 ri b
f (x)
n k
ak x (an
k0
0) 试证：
n m 1次多项式， m n 1
f [ x0 , x1, , xm , x] an 0
,m n 1 ,m n 1
9、设 f ( x) 3xex 2e2x 节点 x0 1, x1 1.05 ，求的 3 次 Hermite 插值多项式及 f(1.03)
的近似值，并估计误差。
Ax*i (i
1,2) 。
10、 求解超定方程组
的最小二乘解。
2x1 4x2 11 3x1 5x2 3 x1 2x2 6 2x1 x2 7
1、已知函数表为
-1
0
1
xi
yi 2xi
0．5 1
2
（ 1） （ 1） 利用线性插值计算 20.3 的近似值并估计误差。 （ 2） （ 2） 利用二次插值计算 20.3 的近似值并估计误差。
2
1 4 9 16 x2 10
1 8 24 64 x3 44
1 16 81 256 x4 90
1
0
1
4、 若 Lk
lk 1k 1
Байду номын сангаасlk 2k
0
0
(k 1,2, , n 1)
l nk
1
1
0
求证： (1)
L
1 k
2I
Lk
1
l k 1k 1
l k 2k
1
0
0
l nk
1
1
l21 1
0
(2)
L1
1L
1 2
Ln1 1
n
P( x) P( xj )l j ( x)
j0
n 1( x)
n
(x xj)
j0
5、已知函数表为
1． 615 1．634 1． 702 1． 828
xi
2． 41450 2．46259 2． 65271 3． 03035
y f ( xi )
试求其 3 阶 Newton 插值多项式，并以此计算 f(1.682) 的近似值。