2021年重庆八中中考数学一模试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．由落户重庆两江新区数字经济产业园的跨境电商服务平台签订的对日本的订单中，首批1200000只“重庆造”一次性防护口罩于5月15日运抵日本，数据1200000用科学记数法表示为（）．A．1.2×105B．1.2×106C．0.12×107D．12×1052．正方形的面积是4，则它的对角线长是（）A．2 B C．D．43．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．|a|＜4 B．abc＜0 C．b﹣c＞0 D．a+c＞04．若3a＝4b（a≠0，b≠0），则a ba＝（）A．47B．74C．37D．735．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD 的度数是( )A．20°B．30°C．45°D．60°6．下列命题是假命题的是（）A．位似比为1：2的两个位似图形的面积比为1：4B．点P（﹣2，﹣3）到x轴的距离是2C．n边形n≥3的内角和是180°n﹣360°D．2、3、4这组数据能作为三角形三条边长7．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载”绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x 尺，竿长y 尺，则符合题意的方程组是（ ）A ．5152x y x y =+⎧⎪⎨=-⎪⎩B ．5152x y x y =-⎧⎪⎨=+⎪⎩C ．525x y x y =+⎧⎨=-⎩D ．525x y x y =-⎧⎨=+⎩8．如图，在⊙O 中，AB 为弦，OD ⊥AB 于D ，∠BOD ＝53°，过A 作⊙O 的切线交OD 延长线于C ，则∠C ＝（ ）A ．27°B ．30°C ．37°D ．53°9．小林在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“重庆﹣﹣行千里，致广大”竖直标语牌CD ．他在A 点测得标语牌顶端D 处的仰角为42°，由A 点沿斜坡AB 下到隧道底端B 处（B ，C ，D 在同一条直线上），AB ＝10m ，坡度为i ＝1CD 的长为（ ）m （结果保留小数点后一位）．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，）A ．4.3B ．4.5C ．6.3D ．7.810．若数a 使关于x 的不等式组3124(2)53x x x a -<-⎧⎨-⎩有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程32y y -+122a y+-＝1有整数解，则满足条件的所有a 的值之和是（ ） A ．﹣10B ．﹣12C ．﹣16D ．﹣1811．如图，直线PQ 是矩形ABCD 的一条对称轴，点E 在AB 边上，将△ADE 沿DE折叠，点A恰好落在CE与PQ的交点F处，若S△DEC＝AD的长为（）A．4 B．2 C．D．12．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，A（1，0），B（0，4），反比例函数y═kx的图象过点C，边AC与y轴交于点D，若S△BAD：S△BCD＝1：2，则k＝（）．A．﹣4 B．﹣6 C．﹣7 D．﹣8二、填空题13．tan60°＝______．14．如图，我们可以发现，每一层三角形的个数与层数有规律，如第1层有1个三角形，第2层有3个三角形，第3层有5个三角形…则第8层的三角形个数为______．15．如图，以A为圆心AB为半径作扇形ABC，线段AC交以AB为直径的半圆弧的中点D，若AB＝4，则阴影部分图形的面积是_______（结果保留π）．16．一枚质地均匀的正方体骰子六个面上分别标有﹣5，﹣1，0，1，2，4这六个数，若将第一次掷出骰子正面朝上的数记为m，第二次掷出骰子正面朝上的数记为n，则点（m、n）恰好落在一次函数y＝2x﹣4与坐标轴围成三角形区域内（含边界）的概率为_______．17．某物流公司的快递车和货车每天都同时从甲地出发，往返于甲、乙两地，快递车比货车多往返一趟，货车到达乙地后用1小时装卸货物，快递车立即折返（每次折返时间忽略不计），然后分别按原路以原速折返，结果与第二趟返回的快递车同时到达甲地．如图为快递车与货车之间的距离s（km）与出发的时间t（h）的图象，则当第二次相遇时，距离乙地______km．三、解答题18．疫情隔离期间，为了降低外出感染风险，各大商超开通了送货到小区的便民服务，某商超推出适合大多数家庭需要的A、B、C三种蔬菜搭配装袋供市民直接选择．其中，甲种搭配每袋装有3千克A，1千克B，1千克C；乙种搭配每袋装有1千克A，2千克B，2千克C．甲、乙两种袋装蔬菜每袋成本价分别为袋中A、B、C三种蔬菜的成本价之和．已知A种蔬菜每千克成本价为2.4元，甲种搭配每袋售价为26元，利润率为30%，乙种搭配的利润率为20%．若这两种袋装蔬菜的销售利润率达到26%，则该商超销售甲、乙两种袋装蔬菜的数量之比是______．（商品的利润率＝商品的售价商品的成本价×100%）商品的成本价19．计算：（1）（a+b）2+a（a﹣2b）；（2）（x﹣241x xx-++）÷241xx-+．20．在△ABC中，D是AB边上任意一点，E是BC边的中点，过点C作AB的平行线，交DE的延长线于点F，连接BF，CD．（1）求证：四边形CDBF是平行四边形；（2）若DF＝8，BC＝6，DB＝5，求▱CDBF的面积．21．2020新型冠状病毒突然来袭，进入5月，全国各地陆陆续续复工复学．我校为了增强同学们的科学防疫意识，开展了以“科学防疫，我健康，我快乐”为主题的安全知识竞赛，并从全校学生中随机抽取了男、女同学各40名，并将数据进行整理分析，得到了如下信息：①女生成绩扇形统计图和男生成绩频数分布直方图如图：（数据分组为A组：x＜70，B 组：70≤x＜80，C组：80≤x＜90，D组：90≤x≤100）②女生C组中全部15名学生的成绩为：86，87，81，83，89，84，85，87，86，89，82，88，89，85，89③两组数据的相关统计数据如表（单位：分）（1）扇形统计图中A组学生对应的圆心角α的度数为度，认真分析以上数据信息后填空：中位数b＝，众数c＝；（2）通过以上的数据分析，你认为（填“女生”或“男生”）知识竞赛成绩更好，并说明理由；（3）若成绩在90分（包含90分）以上为优秀，请你估计我校2400名学生此次知识竞赛中优秀的人数．22．一个正整数的各位数字都相同，我们称这样的数为“称心数”，如5，44，666，2222，…对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和记为S（n），如n＝123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和S（123）＝213+321+132＝666，是一个“称心数”．（1）计算：S（432），S（617），并判断是否为“称心数”；（2）若“相异数”n＝100+10p+q（其中正整数p，q满足1≤p≤9，1≤q≤9），且S（n）为最大的三位“称心数”，求n的值．23．已知函数y＝a﹣b|x﹣1|（a、b为常数），当x＝1时，y＝1；当x＝2时，y＝0；请对该函数及其图象进行如下探究：（1）求函数的解析式；（2）请在给出的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并结合图象写出该函数的一条性质：；根据函数图象解决下列问题：①若A（m，c），B（n，c）为该函数图象上不同的两点，则m+n＝；②若方程a﹣b|x﹣1|＝12x+k有两个不相等的实数解x1，x2，且x1•x2＞0，则k的取值范围是．24．农历五月初五是中国民间传统节日一端午节，又称端阳节，也是纪念诗人屈原的节日．划龙舟与食粽是端午节的两大礼俗，这两大礼俗在中国自古传承，至今不辍，某蛋糕店一直销售的是白水粽，端午节临近又推出了红豆粽，其中红豆粽的销售单价是白水粽的1.25倍，4月份，红豆粽和白水粽共销售150千克，红豆粽的销售额是1200元，白水粽的销售额为1440元．（1）求红豆粽、白水粽的销售单价各是多少？（2）为迎接端午节到来，该蛋糕店在5月推出“粽享会员”活动，对所有的粽子均可享受a%的折扣，非“粽享会员”需要按照原价购买，就红豆粽而言，5月销量比4月销量增加了a%，其中通过“粽享会员”购买的销量占5月红豆粽销量的56，而5月红豆粽的销售总额比4月红豆粽销售额提高了112a%，求a的值．25．如图，抛物线y＝4x2+2x﹣交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C点，D点是该抛物线的顶点，连接AC、AD、CD．（1）求△ACD的面积；（2）如图，点P是线段AD下方的抛物线上的一点，过P作PE∥y轴分别交AC于点E，交AD于点F，过P作PG⊥AD于点G，求FG的最大值，以及此时P点的坐标；（3）如图，在对称轴左侧抛物线上有一动点M，在y轴上有一动点N，是否存在以BN 为直角边的等腰Rt△BMN？若存在，求出点M的横坐标，若不存在，请说明理由．26．在△ABC中，AE⊥CD且AE＝CD，∠CAE+2∠BAE＝90°．（1）如图1，若△ACE为等边三角形，CD＝，求AB的长；（2）如图2，作EG⊥AB，求证：AD BE；（3）如图3，作EG⊥AB，当点D与点G重合时，连接BF，请直接写出BF与EC之间的数量关系．参考答案1．B【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数；确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】将1200000用科学记数法表示为1.2×106故选：B．【点睛】本题考察了科学记数法的知识；求解的关键是准确掌握科学记数法的性质．2．C【分析】设正方形的对角线为x，然后根据勾股定理列式计算即可得解．【详解】解：设正方形的对角线为x，∵正方形的面积是4，∴边长的平方为4，∴由勾股定理得，x．故选：C．【点睛】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．3．A【分析】由图可知，a、b、c绝对值之间的大小关系，从而判断四个选项的对错．【详解】观察数轴可知：a＜b＜0＜c，且|b|＜|c|＜|a|；所以abc＜0，b﹣c＞0，a+c＞0是错误的；|a|＜4是正确的；故选：A．【点睛】主要考查数轴、绝对值以及实数及其运算，观察数轴是解题的关键．4．D【分析】直接把已知代入进而化简得出答案．【详解】解：∵3a＝4b（a≠0，b≠0），∴4a＝3b，故a＝34 b，则a ba+＝3434b bb+＝73．故选：D．【点睛】本题考查了比例的性质，正确得出a、b的关系是解题的关键．5．B【分析】根据内角和定理求得∠BAC=60°，由中垂线性质知DA=DB，即∠DAB=∠B=30°，从而得出答案．【详解】在△ABC中，∵∠B=30°，∠C=90°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°，由作图可知MN为AB的中垂线，∴DA=DB，∴∠DAB=∠B=30°，∴∠CAD=∠BAC-∠DAB=30°，故选B．【点睛】本题主要考查作图-基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键．6．B根据位似的性质和相似三角形的性质对A进行判断；根据点的坐标的意义对B进行判断；根据多边形的内角和定理对C进行判断；根据三角形三边的关系对D进行判断．【详解】解：A、位似比为1：2的两个位似图形的面积比为1：4，所以A选项为真命题；B、点P（﹣2，﹣3）到x轴的距离是3，所以B选项为假命题；C、n边形n≥3的内角和为180°（n﹣2），所以C选项为真命题；D、因为2+3＞4，则2、3、4这组数据能作为三角形三条边长，所以D选项为真命题．故选：B．【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．7．A【分析】设索长为x尺，竿子长为y尺，根据“索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x、y的二元一次方程组．【详解】解：设索长为x尺，竿子长为y尺，根据题意得：515 2x yx y=+⎧⎪⎨=-⎪⎩．故选：A．【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，属于和差倍分问题，只需要找准数量间的关系，难度较小.8．C【分析】连接OA，根据等腰三角形的性质得到∠AOC＝∠BOD＝53°，由切线的性质得到∠OAC＝90°，于是得到结论．解：如图，连接OA，∵OD⊥AB于D，OA＝OB，∴∠AOC＝∠BOD＝53°，∵AC是⊙O的切线，∴∠OAC＝90°，∴∠C＝90°﹣53°＝37°，故选：C．【点睛】本题考查等腰三角形的三线合一，圆的切线的性质，解题的关键是构造辅助线，利用题目条件以及对应的性质得到结论．9．D【分析】根据斜坡AB的坡度为i＝1AE：BE＝1AE＝5，BE＝角三角函数即可求出CD的长．【详解】解：如图，根据题意可知：斜坡AB的坡度为i＝1，即AE：BE＝1∵AB＝10，∴AE＝5，BE＝∴AC＝BE＝，在Rt△ACD中，∠DAC＝42°，∴CD＝（m）．故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角和坡度坡角定义．10．B【分析】不等式组变形后，根据有且仅有三个整数解确定出a的范围，再表示出分式方程的解，由分式方程有整数解，确定出满足条件a的值，进而求出之和．【详解】解：解不等式组3124(2)53x xx a-<-⎧⎨-⎩，得435xax>-⎧⎪+⎨⎪⎩∵不等式组3124(2)53x xx a-<-⎧⎨-⎩有且仅有三个整数解，∴﹣1≤35a+＜0，∴﹣8≤a＜﹣3．解分式方程32yy-+122ay+-＝1，得y＝102a+，∵y＝102a+为整数，且﹣8≤a＜﹣3，∴a＝﹣8或﹣6或﹣4，∵a＝﹣6时，y＝2，原分式方程无解，故将a＝﹣6舍去，∴所有满足条件的a的值之和是﹣8﹣4＝﹣12，故选：B．【点睛】本题考查函参不等式组和函参分式方程的问题，需要注意在根据条件求参数的时候要考虑全面，不等式的范围能否取等号，分式方程增根的情况都要考虑．11．D【分析】根据矩形的性质和折叠的性质可得∠ADE＝∠EDF＝∠CDF＝30°，再根据三角形面积公式可求AD的长．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵直线PQ是矩形ABCD的一条对称轴，∴∠DGF＝90°，CD∥PQ，DG＝12 AD，由折叠得∠EFD＝∠A＝90°，DF＝AD，∠EDF＝∠ADE，∴∠CFD＝90°，∵EF＝CF，∴∠EDF＝∠CDF，∴∠ADE＝∠EDF＝∠CDF＝30°，∴EF，∴EC，∵S△DEC＝∴AD÷2＝解得AD＝故选：D．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解决本题的关键是求出∠ADE=∠EDF=∠CDF=30°．12．C【分析】作CE⊥y轴于E，根据S△BAD：S△BCD＝1：2，求得CE＝2；通过证得△CBE∽△BAO，求得BE＝12，即可求得C的坐标，然后根据k＝xy完成求解．【详解】作CE⊥y轴于E∵A（1，0），B（0，4）∴OA＝1，OB＝4∵S△BAD：S△BCD＝1：2 ∴CE＝2∵∠ABC＝90°∴∠ABO+∠CBE＝90°∵∠BCE+∠CBE＝90°∴∠BCE＝∠ABO∵∠CEB＝∠AOB＝90°∴△CBE∽△BAO∴BE CE OA OB=∴2 14 BE=∴BE＝1 2∴OE＝4-12＝72∴C（﹣2，72）∵反比例函数y═kx的图象过点C∴k＝﹣2×72＝﹣7故选：C．【点睛】本题考察了相似三角形、直角三角形、直角坐标系、反比例函数的知识；求解的关键是熟练掌握直角三角形、直角坐标系、反比例函数和相似三角形的性质，从而完成求解．13．【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的性质分别化简得出答案．【详解】＝故答案为：【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值以及二次根式的性质，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键．14．15【分析】根据题意和图形可以发现随着层数的变化三角形个数的变化规律，从而可以解答本题．【详解】解：由图可得，第1层三角形的个数为：1，第2层三角形的个数为：3，第3层三角形的个数为：5，第4层三角形的个数为：7，第5层三角形的个数为：9，……第n层的三角形的个数为：2n﹣1，则当n＝8时，三角形的个数为：2×8﹣1＝15．故答案为：15．【点睛】本题主要考查的是规律问题，关键是结合图形及前几层三角形的个数得到题目所符合的规律即可．15．2π﹣4【分析】连接DO，根据题意，可知∠DAO＝45°，∠DOA＝90°，再根据图形可知阴影部分的面积是扇形CAB的面积减去空白部分BAD的面积再加扇形AOD的面积减△AOD的面积，然后代入数据计算即可．【详解】连接DO，∵线段AC交以AB为直径的半圆弧的中点D，AB＝4，∴∠DAO＝45°，∠DOA＝90°，DO＝AO＝2，∴阴影部分的面积是：（22454902223603602ππ⨯⨯⨯--）+（2902223602π⨯⨯-）＝2π﹣4，故答案为：2π﹣4．【点睛】本题主要考查了与圆有关的计算问题，熟练掌握扇形面积公式，将不规则图形面积转化成规则图形面积的和与差是解题的关键．16．536【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与(),m n 恰好落在一次函数24y x =-与坐标轴围成三角形区域内（含边界）的情况，再利用概率公式求得答案．【详解】解：列表得：∵共有36种等可能的结果，点(),m n 恰好落在一次函数24y x =-与坐标轴围成三角形区域内（含边界）的有：()0,1-，()0,0，()1,1-，()1,0，()2,0，∴点(),m n 恰好落在一次函数24y x =-与坐标轴围成三角形区域内（含边界）的概率是536． 故答案为：536． 【点睛】本题考查一次函数的图象，概率求解，解题的关键是先通过列表找到所有可能的点坐标再去依次判断是否符合条件．17．37.5【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以分别求得快递车和货车的速度，它们往返一次用的时间和第一次相遇的时间，然后根据函数图象可知，第一次和第二次相遇时，它们离乙地的距离一样，从而可以解答本题．【详解】解：设快递车的速度为a km/h ，货车的速度为b km/h ，由图象可知，快递车往返一次需要3小时，货车往返一次需要6﹣1＝5小时，故快递车从甲地到乙地需要1.5小时，1.5a ＝150，解得：a ＝100，1.5a ＝2.5b ，解得：b ＝60， 快递车和货车第一次相遇的时间为：100 1.5210060⨯⨯+＝158（小时）， 由图象可知，当第二次相遇时，距离乙地的距离和第一次相遇时距离乙地的路程一样， 故当第二次相遇时，距离乙地：100×158﹣100×1.5＝37.5（km ） 故答案为：37.5．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．18．21：10．【分析】先求出1千克B 种蔬菜成本价+1千克C 种蔬菜成本价，进而得出乙种蔬菜每袋售价．再设销售甲种蔬菜x 袋，乙种蔬菜y 袋，根据题意列出方程便可求得x ：y 的值．【详解】解：∵甲种搭配每袋装有3千克A ，1千克B ，1千克C ，而A 种蔬菜每千克成本价为2.4元，甲种搭配每袋售价为26元，利润率为30%，∴1千克B 种蔬菜成本价+1千克C 种蔬菜成本价＝26÷（1+30%）﹣2.4×3＝12.8（元），∵乙种搭配每袋装有1千克A ，2千克B ，2千克C ，乙种搭配的利润率为20%，∴乙种蔬菜每袋售价为（2.4+2×12.8）×（1+20%）＝33.6（元）．∴甲种蔬菜每袋成本价为26÷（1+30%）＝20（元），乙种蔬菜每袋成本价为2.4+2×12.8＝28（元）．设该甲种蔬菜销售了x 袋，乙种蔬菜销售了y 袋，由题意，得20×30%x+28×20%y ＝26%（20x+28y ），0.8x=1.68y ，1102x y =． ∴销售甲、乙两种袋装蔬菜的数量之比21：10，故答案为：21：10．【点睛】本题考查了一次方程的应用，利润、成本价与利润率之间的关系的应用，理解题意得出等量关系是解题的关键．19．（1）2a 2+b 2；（2）22x ． 【分析】（1）根据整式的运算法则即可求出答案．（2）根据分式的运算法则即可求出答案．【详解】（1）原式＝a 2+2ab+b 2+a 2﹣2ab＝2a 2+b 2． （2）原式＝241x x -+•1(2)(2)x x x ++- ＝22x ．【点睛】本题主要考查了整式的混合运算和分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．20．（1）证明见解析；（2）▱CDBF 的面积为24，见解析． 【分析】（1）欲证明四边形CDBF 是平行四边形只要证明CF ∥DB ，CF ＝DB 即可； （2）根据平行四边形的性质得到BE ＝12BC ＝3，DE ＝12DF ＝4，根据勾股定理的逆定理得到BC ⊥DE ，根据菱形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵CF ∥AB ， ∴∠ECF ＝∠EBD ． ∵E 是BC 中点， ∴CE ＝BE ． ∵∠CEF ＝∠BED ， ∴△CEF ≌△BED （ASA ）． ∴CF ＝BD ．∴四边形CDBF 是平行四边形；（2）解：∵四边形CDBF 是平行四边形， ∴BE ＝12BC ＝3，DE ＝12DF ＝4， ∴22222345DE BE ++＝＝， ∴∠BED ＝90°， ∴BC ⊥DE ，∴四边形CDBF 是菱形， ∴CDBFS＝12BC•DF ＝12×6×8＝24． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质与判定及菱形的判定与面积，关键是根据题意得到三角形的全等，然后得到四边形CDBF 是平行四边形，进而得到问题． 21．（1）9，88.5，100；（2）女生；理由见解析；（3）870名． 【分析】（1）先求出C 组对应的百分比，再根据百分比之和等于1求出A 组的百分比，继而乘以360°即可得；（2）根据男生和女生的平均数相等，但女生的中位数和满分率都高于男生做出判断即可； （3）用总人数乘以样本中男、女生中优秀的人数占被调查人数的比例即可得． 【详解】解：（1）女生C 组所占的百分比为：15÷40＝37．5%，360°×（1﹣37．5%﹣40%﹣20%）＝9°，中位数落在C 组，将成绩从小到大排列处在第20、21位的两个数的平均数为88892+ ＝88．5，因此中位数b ＝88．5；A 组人数为：40×（1﹣37．5%﹣40%﹣20%）＝1（人），B 组人数为：40×20%＝8（人），C 组人数为：15（人），出现次数最多的是89，共4个，D 组人数为：40×40%＝16（人），得100分的有40×25%＝10个， 故众数c ＝100，故答案为：9，88．5，100；（2）∵男生和女生的平均数相等，但女生的中位数和满分率都高于男生， ∴女生的知识竞赛成绩更好； 故答案为：女生（3）估计该校2400名学生此次考试中优秀的人数2400×4040%1380⨯+ ＝870（名）．【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．22．(432)999S =，是“称心数”；(617)1554S =，不是“称心数”；（2）n 的值为162或153或135或126． 【分析】（1）根据“称心数”和“相异数”的定义即可判断；（2）根据“称心数”和“相异数”的定义可得()999S n =且19p q ++=，由此即可得出答案． 【详解】（1）由题意得：(432)342234423999S =++=，(617)1677166711554S =++=，则(432)S 是“称心数”，(617)S 不是“称心数”；（2）∵“相异数”10010n p q =++（其中正整数p ，q 满足19,19p q ≤≤≤≤），n ∴是一个三位数，且百位数字为1，十位数字为p ，个位数字为q ，1p q ∴≠≠，又()S n 为最大的三位“称心数”，()999S n ∴=， 19p q ∴++=，∴p 、q 的所有可能取值为62p q =⎧⎨=⎩或53p q =⎧⎨=⎩或35p q =⎧⎨=⎩或26p q =⎧⎨=⎩， n ∴的值为162或153或135或126．【点睛】本题考查了有理数的加法运算、二元一次方程的应用，理解“称心数”和“相异数”的定义是解题关键．23．（1）y ＝1﹣|x ﹣1|；（2）当x ＞1时，y 随x 的增大而减小；当x ＜1时，y 随x 的增大而增大；①2；②0＜k ＜12． 【分析】（1）根据题意解方程组即可得到结论；（2）利用函数解析式分别求出对应的函数值即可，利用描点法画出图象即可；观察图象可得出函数的性质．①根据表格中数据即可求得结论； ②根据题意且利用图象即可解决问题． 【详解】解：（1）把x ＝1时，y ＝1；x ＝2时，y ＝0代入y ＝a ﹣b|x ﹣1|得1a0a b=⎧⎨=-⎩ ，解得11a b =⎧⎨=⎩，∴该函数的解析式为y ＝1﹣|x ﹣1|；（2）如图：描点连线：观察图象可知：当x＞1时，y随x的增大而减小；当x＜1时，y随x的增大而增大；故答案为当x＞1时，y随x的增大而减小；当x＜1时，y随x的增大而增大；①由表格中数据可知：若A（m，c），B（n，c）为该函数图象上不同的两点，则m+n＝2；故答案为2；②把（1，1）代入y＝12x+k得k＝12；根据题意结合函数y＝1﹣|x﹣1|的图象可知k的取值范围是0＜k＜12，故答案为0＜k＜12．【点睛】本题考查一次函数图象及性质，函数图象上点的特点；掌握待定系数法求函数解析式，数形结合是解题的关键．24．（1）红豆粽的销售单价是20元/千克，白水粽的销售单价是16元/千克；（2）a的值为10．【分析】（1）设白水粽的销售单价是x元/千克，从而可得红豆粽的销售单价是1.25x元/千克，根据红豆粽和白水粽共销售150千克，列出方程即可求解；（2）先根据（1）的结论求出4月红豆粽的销量，从而可得5月销量，再根据5月红豆粽的销售总额比4月红豆粽的销售额提高了1%12a ，列出方程即可求得a 的值． 【详解】（1）设白水粽的销售单价是x 元/千克，则红豆粽的销售单价是1.25x 元/千克， 由题意得：120014401501.25x x+=， 解得16x =，经检验，16x =是所列方程的解， 则1.25 1.251620x =⨯=，答：红豆粽的销售单价是20元/千克，白水粽的销售单价是16元/千克； （2）由（1）可得：4月红豆粽的销量为12002060÷=（千克），则5月通过“粽享会员”购买红豆粽的销量为560(1%)50(1%)6a a ⨯+=+千克，通过非“粽享会员”购买红豆粽的销量为160(1%)10(1%)6a a ⨯+=+千克， 由题意得：50(1%)20(1%)2010(1%)121%010(1)2a a a a +⋅-+⨯+=+， 整理得：2100a a -=，解得10a =或0a =（不符题意，舍去）， 答：a 的值为10． 【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元二次方程的应用，依据题意，正确建立方程是解题关键．25．（1）24；（2，点P （﹣）；（3）存在，点M 的横坐标或﹣． 【分析】（1）先求出抛物线与坐标轴的交点坐标和顶点坐标，再用待定系数法求得AC 的解析式，进而求出点N 、D 的坐标，再根据三角形的面积公式求出结果；（2）证明FG 即为EP 的长度，即可求解； （3）分∠BNM 为直角、∠MBN 为直角，利用三角形全等即可求解．【详解】解：（1）令x ＝0，得020y =+⨯-=- ∴C （0，﹣）， 令y ＝0，得220y x x =+-=，解得1x =-2x = ∴A（-，0），点B（0）， 设直线AC 的解析式为：y ＝kx+b （k ≠0），则0b b ⎧-+=⎪⎨=-⎪⎩，∴1k b =-⎧⎪⎨=-⎪⎩， ∴直线AC的解析式为：y x =--∵222y x x x =+-=+-，∴D（-，-，过D 作DM ⊥x 轴于点M ，交AC 于点N ，如图，令x =-，(y =---=-N（-，-，∴DN =∴112422ACDSDN AO =⋅=⨯=；（2）如图，过点D 作x 轴的平行线交FP 的延长线于点H ，由点A 、D 的坐标得，直线AD的表达式为：2y x =--∴tan ∠FDH ＝2，则sin ∠FDH5=， ∵∠HDF+∠HFD ＝90°，∠FPG+∠PFG ＝90°， ∴∠FDH ＝∠FPG ，在Rt △PGF 中，PF ＝FG sin GFP ∠＝ FG sin FDH∠=FG ， 则FG ＝EF+PF ＝EP ， 设点P （x，224x x +-，则点E （x，x --， 则FG ＝EF+PF ＝EP＝222344x x x x x ⎛--+-=-- ⎝，∵﹣4＜0，故EP 有最大值，此时x ＝﹣2b a ＝﹣，最大值为2；当x＝-2242y x x =+-=-， 故点P（-）； （3）存在，理由：设点M 的坐标为（m ，n ），则224n m m =+-，点N （0，s ），①当∠MNB为直角时，如图，过点N作x轴的平行线交过点B与y轴的平行线于点H，交过点M与y轴的平行线于点G，∵∠MNG+∠BNH＝90°，∠MNG+∠GMN＝90°，∴∠GMN＝∠BNH，∵∠NGM＝∠BHN＝90°，MN＝BN，∴△NGM≌△BHN（AAS），∴GN＝BH，MG＝NH，-=-，即n s-=m s联立并解得：m=，故m=M（；②当∠NBM为直角时，如图，过点B作y轴的平行线交过点N与x轴的平行线于点G，交过点M与x轴的平行线于点H，同理可证：△MHB≌△BGN（AAS），则BH＝NG，即n=-，当n=-22m+-=-m=（舍去正值），故m=M（，-）；综上，点M的横坐标为．【点睛】本题考查二次函数的综合题，涉及三角形面积的求解，用胡不归原理求最值，等腰直角三角形的存在性问题，解题的关键是需要掌握这些特定题型的特定解法，熟练运用数形结合的思想去解决问题．26．（1）AB＝；（2）证明见解析；（3=．【分析】（1）求出∠BAE＝15°，∠CBA＝45°，过点A作AN⊥BC于点N，则△ABN为等腰直角三角形，求出AN的长，则AB的长可求出；（2）过点C作CM⊥AB于点M，设∠EAB＝α，得出AM＝DM＝12AD，AC＝CD＝AE，证明△ACM≌△EAG（AAS），得出EG＝AM，证出△EBG为等腰直角三角形，可得出BEEG AM＝2AD．则结论得证．（3）过点F作FH⊥AB于点H，过点C作CM⊥AB于点M，设BD＝a，由（2）可知DE＝a，AD＝2a，AM＝DM＝a，证出BE＝CE a，求出BF＝5a．则可得出答案．【详解】解：（1）∵△ACE为等边三角形，∴∠CAE＝∠ACB＝∠CEA＝60°，∵∠CAE+2∠BAE＝90°，∴∠BAE＝15°，∴∠CBA＝∠CEA﹣∠BAE＝60°﹣15°＝45°，如图，过点A作AN⊥BC于点N，∴△ABN 为等腰直角三角形， 在等边△ACE 中，AN ＝sin60°•AE=＝3， ∴ABAN ＝．（2）证明：如图，过点C 作CM ⊥AB 于点M ，设∠EAB ＝α，∵∠CAE+2∠BAE ＝90°， ∴∠CAE ＝90°﹣2α， ∵AE ⊥CD ， ∴∠ACD ＝2α，∴∠CAB ＝90°﹣2α+α＝90°﹣α， ∴∠ACM ＝α， ∴CM 平分∠ACD ， ∴AM ＝DM ＝12AD ，AC ＝CD ＝AE ， 在△ACM 和△EAG 中，EGA AMC EAG ACM AE AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ACM ≌△EAG （AAS ）， ∴EG ＝AM ，∴AD ＝2AM ＝2EG ，∵AC ＝AE ，∠CAE ＝90°﹣2α，∴∠CEA ＝45°+α，又∵∠CEA ＝∠B+∠EAG ，∴∠B ＝45°，∵EG ⊥AB ，∴△EBG 为等腰直角三角形，∴BE EG AM ＝2AD ．∴AD BE ．（3）如图，BF 与EC 之间的数量关系为CE BF =． 过点F 作FH ⊥AB 于点H ，过点C 作CM ⊥AB 于点M ，设BD ＝a ，由（2）可知DE ＝a ，AD ＝2a ，AM ＝DM ＝a ，∵DE ∥CM ，BD ＝DM ，∴BE ＝CE a ，∵DE ＝a ，AD ＝2a ，∠ADE ＝90°，∴AE ，∵CD ⊥AE ，DE ⊥AB ，∴∠EFD ＝∠ADE ＝90°∴∠EDF ＝∠DAE ，∴△DEF ∽△AED ， ∴DE AE EF DE=，∴a EF =， ∴EFa ， ∴AFa， ∴14EF AF =， ∴45AF AE =． ∵FH ∥DE ，∴△AFH ∽△AED ， ∴45FH AH AF DE AD AE ===， ∴FH ＝48,55a AH =a ， ∴DH ＝2a ﹣85a ＝25a ， ∴BH ＝a+2755a =a ， ∴BF＝5a ．∴CE BF ==． 即BF 与EC=．【点睛】本题是图形综合题，涉及特殊三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，锐角三角函数的运用，解题的关键是针对每一小问的条件构造合适的辅助线利用图形的性质和判定去证明．。