结构力学-弹性力学部分
yz x
zx y
xy z
2 2 z xy
第一章：弹性力学基础
第三节 平 面 问 题 1、平面应力和平面应变问题
平面应力问题
平面应变问题
几何特点 受力特点
厚度远小于板的长 度和宽度
x
面力、体力平行于 板平面且沿板厚均 匀分布
纵向尺寸远大于横 向尺寸
面力垂直纵向且沿 长度不变，约束条 件沿长度也变
2 z 2 x 2 zx , x 2 z 2 zx
x
zx y
xy z
yz x
2 2 x yz
y
x z
y
yz x
zx y
2 2 y zy
z
v x
u y
2 2w xy
z
yz
x
zx
y
xy
z
2 2 w xy z
2 2 z
xy
第一章：弹性力学基础
2.3、变形协调方程
2 x 2 y 2 xy ,
y 2 x 2 xy
x C11 x C12 y C13 z C14 yz C15 zx C16 xy y C21 x C22 y C23 z C24 yz C25 zx C26 xy z C31 x C32 y C33 z C34 yz C35 zx C36 xy yz C41 x C42 y C43 z C44 yz C45 zx C46 xy zx C51 x C52 y C53 z C54 yz C55 zx C56 xy xy C61 x C62 y C63 z C64 yz C65 zx C66 xy
基础力学电子教案系列之
航空宇航学院 结构强度研究所
结构力学教程
结构力学
一、弹性力学基础
弹性力学是固体力学的一个分支学科， 它研究弹性体在外力和 其它外部因素作 用下所产生的变形和内力。
二、结构力学
结构力学是工程力学的一个分支，它研究 结构(杆系结构、薄壁结构等)在外力和其 它外部因素作用下所产生的变形和内力。
➢ 外力 —— 作用在物体上的外力可分为体力和面力。 体力：是分布在物体整个体积内的力，如重力、惯 性力等。大小的表示、方向的表示、 量纲 为[力]／[长度]－3。 面力：是作用于物体表面上的力，如流体压力、接 触力等。大小的表示、方向的表示、 量纲 为[力][长度]－2。
第一章：弹性力学基础
3、弹性力学中基本概念 ➢ 应变——弹性体受力后，它是形状和尺寸都要改变，
第一章：弹性力学基础
4、弹性力学的基本方程
➢ 材料力学：采用截面法。 ➢ 弹性力学：采用微元体法。
➢ 平衡方程
外力－应力
➢ 几何方程
位移－应变
➢ 物理方程
应力－应变
第一章：弹性力学基础
第二节 基 本 方 程
平力 衡矩 微平 分衡 方方 程程
第一章：弹性力学基础
平衡微分方程
x yx zx X 0
➢ 小变形假设 —— 假设物体在外力作用下引起变 形而产生的位移，与物体最小特征尺寸相比是很 微小的。这样，在研究物体受力后的平衡状态时， 可不考虑物体尺寸的变化，而应用变形前的尺寸， 这样就使得弹性力学的微分方程成为线性的。
第一章：弹性力学基础
3、弹性力学中基本概念
➢ 应力 — 物体受到外力作用会在其内部引起应力。
x y z
xy y zy Y 0
x y z
xz yz z Z 0
x y z
yz zy zx xz xy yx
第一章：弹性力学基础
2.1、几何方程
正应变
x
PA PA PA
u x
2 x 2
v y
2 xy
u y
v x
2 xy
xy
yz
x
zx
y
xy
z
x
w y
v z
u y z
w x
z
如果把作用在物体的一小部分 边界上的力系，用一个分布不同但 静力等效的力系（主矢量相同，对 同一点的主矩也相同）代替，则仅 在此边界附近的应力分布有显著的 改变，而在距该区域较远的地方几 乎没有影响。
第一章：弹性力学基础
x yx zx X 0
x y z
yz zy
第一章：弹性力学基础
3、物理方程
对于各向同性弹性体，可以证明仅有两个独 立的弹性常数，其应变分量与应力分量之间的 关系如下：
右式也称广义虎克
定律。式中E为材料 拉压弹性模量，μ为 泊松比，G为剪切弹
性模量，而且三者
之间如下式：
x
1 E
[
x
( y
z )],
y
1 [
E
y
( z
2 y 2 z 2 yz ,
z 2 y 2 yz
2 z 2 x 2 zx ,
x 2 z 2 zx
x
zx
y
xy
z
yz
x
2 2 x
yz
y
xy
z
yz
x
基
xy y zy Y 0
x y z
zx xz
本 方
xz yz z Z 0
x y z
xy yx
程 x
1 E
[
x
( y
z )],
yz
yz G
小 结
y
1 [ E
y
( z
PA PA PA
u
u dx x
dx
u
u x
y
v y
z
w z
剪应变
xy
v x
u y
yz
w y
v z
zx
u z
w x
第一章：弹性力学基础
2.2、刚体位移和位移边界条件
x
u x
,
y
v y
,
z
w , z
➢ 弹性力学并不需要引进这样的假设。
［例如］
➢ 弹性力学的研究方法更为严密，所得的结果也 比材料力学精确。
第一章：弹性力学基础
2、弹性力学的基本假设
➢ 连续性假设 —— 认为构成物体的材料是密实 无间隙的连续介质。因此，物体中的应力、应 变、位移等物理量就可以看成是连续的，在数 学上可以用连续函数来表示。
1、研究内容
➢ 研究对象： ➢ 材料力学研究杆状弹性体在拉伸、压缩、剪 切、弯曲和扭转作用下的变形和内力。 ➢ 弹性力学研究的对象则没有形状的限制。
第一章：弹性力学基础
第一章 弹性力学础
第一节 引 言
1、研究内容
➢ 研究方法：
➢ 材料力学除了采用一些基本假设外，还引进一些关 于变形状态或应力分布的补充假设。
第一章：弹性力学基础
2.3、变形协调方程
由几何方程可见，六个应变分量完全由三个位 移分量对坐标的偏导数确定。因此，六个应变分量 不是互相独立的，它们之间必然存在一定的关系。 从物理意义上讲，就是在变形前连续的物体，变形 后仍是连续的。
2 x
y 2
2 y
x 2
2 y 2
yz G yz zx G zx xy G xy
x
u x
,
y
v y
,
z
w , z
yz
w y
v z
zx
u z
w x
xyBiblioteka v xu y
2 x y 2
2 y x 2
2 xy , xy
2 y 2 z 2 yz , z 2 y 2 yz
zx
y
2 2 y
zy
z
yz
x
zx
y
xy
z
2 2 z
xy
第一章：弹性力学基础
3、物理方程
前面导出了平衡微分方程和几何方程，适用于 任何弹性体，与物体的物理性质无关。但仅有这 两组方程还不能求解，还必须考虑物理学方面， 建立起应变分量与应力分量之间的关系，这些关 系式称为物理方程。
➢ 材料的匀质和各向同性假设 —— 匀质指物体 内各处材料的力学性质都相同，与各点的空间 位置无关。各向同性指在物体内任一点处材料 在各个方向的物理性质都相同。因此，反映这 些物理性质的弹性系数不随坐标和方向而改变。
第一章：弹性力学基础
2、弹性力学的基本假设
➢ 完全弹性假设 —— 假设材料是完全弹性的，且 服从虎克定律定律，物体在外力作用下变形，除 去外力后，物体完全恢复原状，没有任何剩余变 形。同时应力与应变成正比。
这种改变可以归结为长度的改变和角度的改变。
