,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学2011年期末考试试卷（A ）卷《弹性力学》1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚； 所有答案请直接答在答题纸上； ．考试形式：闭卷；20分）、五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么用途？(10分)答：1、连续性假定：引用这一假定后，物体中的应力、应变和位移等物理量就可以看成是连续的，因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。
(2分) 2、完全弹性假定：引用这一完全弹性的假定还包含形变与形变引起的正应力成正比的含义，亦即二者成线性的关系，符合胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程。
（4分） 3、均匀性假定：在该假定下，所研究的物体内部各点的物理性质显然都是相同的。
因此，反映这些物理性质的弹性常数（如弹性模量E 和泊松比μ等）就不随位置坐标而变化。
（6分） 4、各向同性假定：所谓“各向同性”是指物体的物理性质在各个方向上都是相同的。
进一步地说，就是物体的弹性常数也不随方向而变化。
（8分）5、小变形假定：我们研究物体受力后的平衡问题时，不用考虑物体尺寸的改变而仍然按照原来的尺寸和形状进行计算。
同时，在研究物体的变形和位移时，可以将他们的二次幂或乘积略去不计，使得弹性力学中的微分方程都简化为线性微分方程。
在上述假定下，弹性力学问题都化为线性问题，从而可以应用叠加原理。
（10分）2、试分析简支梁受均布荷载时，平面截面假设是否成立？（5分）解：弹性力学解答和材料力学解答的差别，是由于各自解法不同。
简言之，弹性力学的解法，是严格考虑区域内的平衡微分方程，几何方程和物理方程，以及边界上的边界条件而求解的，因而得出的解答是比较精确的。
而在材料力学中没有严格考虑上述条件，因而得出的是近似解答。
例如，材料力学中引用了平面假设而简化了几何关系，但这个假设对一般的梁是近似的。
所以，严格来说，不成立。
3、为什么在主要边界（占边界绝大部分）上必须满足精确的应力边界条件，教材中式（2-15），而在次要边界（占边界很小部分）上可以应用圣维南原理，用三个积分的应力边界条件（即主矢量、主矩的条件）来代替？如果在主要边界上用三个积分的应力边界条件代替教材中式（2-15），将会发生什么问题？（5分）解：弹性力学问题属于数学物理方程中的边值问题，而要边界条件完全得到满足，往往遇到很大的困难。
这时，圣维南原理可为简化局部边界上的应力边界条件提供很大的方便。
将物体一小部分边界上的面力换成分布不同，但静力等效的面力（主矢、主矩均相同），只影响近处的应力分布，对远处的应力影响可以忽略不计。
如果在占边界绝大部分的主要边界上用三个应力边界条件来代替精确的边界条件。
教材中式（2-15），就会影响大部分区域的应力分布，会使问题的解答具有的近似性。
三、计算题（80分）2.1 已知薄板有下列形变关系：,,,23Dy C By Axy xy y x -===γεε式中A,B,C,D 皆为常数，试检查在形变过程中是否符合连续条件，若满足并列出应力分量表达式。
（10分）1、 相容条件：将形变分量带入形变协调方程（相容方程）其中所以满足相容方程，符合连续性条件。
（4分）2、 在平面应力问题中，用形变分量表示的应力分量为（10分）2.2如图所示水坝，试写出其边界条件。
（10分）左侧面：（2分） 由应力边界条件公式，有（4分）（6分）右侧面：（8分）（10分）2.3 图示悬臂梁，梁的横截面为矩形，其长度为L,宽度取为1，高度为2h,右端固定、左端自由，荷载分布在其右端上，其合力为P （不计体力），求梁的应力分量。
（20分）解：这是一个平面应力问题，采用半逆解法求解。
（1）选取应力函数。
由材料力学可知，悬臂梁任一截面上的弯矩方程M （x ）与截面位置坐标x 成正比，而该截面上某点处的正应力又与该点的坐标y 成正比，因此可设(a) (3分)式中的为待定常数。
将式（a ）对y 积分两次，得(b)αββsin ,cos -=-=m l βtan y x -=βγcos y X =βγsin y Y =Yl m X m l s xy s y s xy s x =+=+)()()()(τστσβγβτβσcos )sin ()cos (y xy x =-⋅+-⋅βγβτβσsin )cos ()sin (y xy y =-⋅+-⋅ααsin ,cos -==m l αtan y x =0==Y X 0sin cos =⋅-⋅xy x τασα0cos sin =⋅+⋅-xy yx τασα式中的，为x的待定函数，可由相容方程确定。
将式（b）代入相容方程，得（5分）上式是y的一次方程，梁内所有的y值都应是满足它，可见它的系数和自由项都必须为零，即，积分上二式，得式中为待定的积分常数。
将，代入式（b），得应力函数为.(c) （8分）(2)应力分量的表达式（10分）(3)考察应力边界条件：以确定各系数，自由端无水平力；上、下部无荷载；自由端的剪力之和为P，得边界条件,自然满足；,得; （12分）上式对x的任何值均应满足，因此得，，即（14分），得X取任何值均应满足，因此得. （16分）将式（e）代入上式积分，得计算得,（18分）其中,横截面对Z轴的惯性矩。
最后得应力分量为（20分）2.4如题下图所示的悬臂梁，长度为l，高度为h, l>>h,在上边界受均布荷载q，试检验应力函数能否成为此问题的解？如可以，试求出应力分量。
（10分）解（1）相容条件将代入相容方程，得，若满足相容方程，有（2分）(2)应力分量表达式（4分）(3)考察边界条件;主要边界上，应精确满足应力边界条件（6分）在次要边界上x=0上，主矢和主矩为零，应用圣维南原理，用三个积分的应力边界条件代替(e)联立求解式（a）,(b),(c),(d)和（e），得（8分）将各系数代入应力分量表达式，得（10分）2.5楔形体在两侧面上受有均布剪力q,如下图所示，试求其应力分量。
（10分）【解】（1）应用应力函数)2sin 2cos (2D C B A +++=Φϕϕϕρ，进行求解。
由应力函数Φ得应力分量CB A DC B AD C B A --=∂Φ∂∂∂-=+++=∂Φ∂=--+-=∂Φ∂+∂Φ∂=ϕϕϕρρτϕϕϕρσϕϕϕϕρρρσρϕϕρ2cos 22sin 2)1(),2sin 2cos (2),2sin 2cos (21122222 （2分）（2）考察边界条件：根据对称性，得();02=αϕσ （a ）();2q =αρϕτ (b)();02=-αϕσ (c)()q -=-2αρϕτ (d) （4分）同式（a ）得 0;2D C 2Bsin 2Acos =+++ϕϕϕ (e)同式（b ）得 ;C 2Bcos 2Asin q =--ϕϕ (f) 同式（c ）得 0;2D C 2Bsin 2Acos =+--ϕϕϕ (g)同式（d ）得 ;C 2Bcos 2Asin q -=---ϕϕ (h) （6分） 式(e) 、(f) 、(g)、 (h)联立求解，得ααcot 2,0,sin 2q D C B q A -==== （8分）将以上各系数代入应力分量，得αϕτααϕσααϕσρϕϕρsin 2sin ,cot sin 2cos ,cot sin 2cos qq q =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛+-= （10分）2.6 设半平面体在直边界上受有集中力偶，单位宽度上力偶矩为M ，如下图所示，试求应力分量。
（20分）【解】应用半逆解法求解。
（1） 按量纲分析方法，单位宽度上的力偶矩与力的量纲相同。
应力应与ϕρ,,M 有关，由于应力的量纲是单位面积上的力，即L -1MT -2，应力只能以2ρM 形势组合。
（2分）（2） Φ应比应力的长度量纲高二次幂，可假设()ρΦ=Φ。
（3） 将Φ代入相容方程，得04122444=⎪⎪⎭⎫⎝⎛Φ+Φϕϕρd d d d （4分） 删去因子41ρ，得一个关于()ρΦ的常微分方程。
令其解为λ2e =Φ，代入上式，可得到一个关于λ的特征方程，(),0422=+λλ （a ）（6分）其解为0,0,2,2i i -=λ，于是得到Φ的四个解d c beae i i ,,,22ϕϕϕ-；前两项又可以组合为正弦、余弦函数。
由此得D C B A +++=Φϕϕϕ2sin 2cos (b)(8分)本题中结构对称于0=ϕ的x 轴，而M 是反对称荷载，因此，应力应反对称于x 轴，为ϕ的奇函数，从而得A=D=0。
ϕϕC B +=Φ2sin （c ）（10分） （4）由应力函数Φ得应力分量的表达式()c B B +==-=ϕρτσϕρσρϕϕρ2cos 21,0,2sin 4122（12分）（5）考察边界条件。
由于原点O 有集中力偶作用，应分别考察大边界上的条件和原点附近的条件。
在2,0πϕρ±=≠的边界上，有()()0,02,02,0==±=≠±=≠πϕρρϕπϕρϕτσ前一式自然满足，而第二式成为2B=C (d) （14分） 为了考虑原点O 附近有集中力偶的作用，取出以O 为中心，ρ为半径的一小部分脱离体，并列出其平衡条件()[]()[](),0,0cos )(sin ,0,0sin )(cos ,02222222=+==-==-==--==-==⎰∑⎰∑⎰∑M d Md d Fy d d FOxϕρτϕϕρτϕϕρσϕϕρτϕϕρσρρππρϕππρρρϕρρρππρρρϕρρρ （16分）上式中前两式自然满足，而第三式成为,2πMB -= (e)将式(e)代入式(d)，得,πM C -= （18分）将各系数代入应力分量的表达式，得2212cos ,0,2sin 2ρϕπτσρϕπσρκϕρ+-===M M （20分）。