兰州理工大学2015级线性系统理论大作业线性系统理论Matlab 实验报告1、在造纸流程中，投料箱应该把纸浆流变成2cm 的射流，并均匀喷洒在网状传送带上。

为此，要精确控制喷射速度和传送速度之间的比例关系。

投料箱内的压力是需要控制的主要变量，它决定了纸浆的喷射速度。

投料箱内的总压力是纸浆液压和另外灌注的气压之和。

由压力控制的投料箱是个耦合系统，因此，我们很难用手工方法保证纸张的质量。

在特定的工作点上，将投料箱线性化，可以得到下面的状态空间模型：u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=0001.0105.0002.002.08.0. []21,x x y =其中，系统的状态变量x1=液面高度，x2=压力，系统的控制变量u1=纸浆流量u2=气压阀门的开启量。

在上述条件下，试设计合适的状态变量反馈控制器，使系统具有实特征根，且有一个根大于5解：本题目是在已知状态空间描述的情况下要求设计一个状态反馈控制器，从而使得系统具有实数特征根，并要求要有一个根的模值要大于5，而特征根是正数时系统不稳定，这样的设计是无意义的，故而不妨采用状态反馈后的两个期望特征根为-7，-6，这样满足题目中所需的要求。

要对系统进行状态反馈的设计首先要判断其是否能控，即求出该系统的能控性判别矩阵，然后判断其秩，从而得出其是否可控。

Matlab 判断该系统可控性和求取状态反馈矩阵K 的程序,如图1所示，同时求得加入状态反馈后的特征根并与原系统的特征根进行了对比。

图1系统能控性、状态反馈矩阵和特征根的分析程序上述程序的运行结果如图2所示：图2系统能控性、反馈矩阵和特征根的运行结果图2中为图1matlab 程序的运行结果，经过判断得知系统是可控的，同时极点的配置个数与系统状态相符，求得了状态反馈矩阵K 的值，并把原系统的特征根（rootsold ）和加入状态反馈后的特征根（rootsnew ）进行对比。

同时通过特征值可以看出该系统是稳定的。

2、描述恒速制导导弹的运动方程为：u x x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0001000015.000100000005.00005.0-1.0-00010. []x y 01000=运用ctrb 函数计算系统的能控型矩阵，并验证系统是不可控的；计算从u 到Y 的传递函数，并消去传递函数中的分子和分母公因式，由此可以得到能控的状态空间模型。

在消去了公因子之后，请用tf2ss 函数确定新的状态变量模型；证明(b)中得到的状态变量模型是能控的；说明恒速制导导弹是否稳定？讨论状态变量模型的能控性和复杂性的关系（假设用状态变量的数目来度量复杂性）。

解：该题是通过描述的恒速制导导弹的运动方程求解相应问题。

（a ）运用ctrb 函数计算系统的能控性矩阵，并判断该系统不可控，详细matlab 程序和判断结果如图3和图4所示。

图3是判断该系统能控性的matlab 程序，通过求得能控性矩阵Qc ，并通过秩判据来判定该系统是否能控。

图3系统能控性的判别程序判定的结果如图4所示：图4系统的能控性矩阵和能控性判定结果通过matlab分析求得了系统的能控性矩阵Qc，同时通过秩判据判定该系统不可控。

（b）、（c）计算u到y的传递函数，并通过tf2ss函数确定新的状态变量模型，同时判断该模型是能控的。

具体程序如图5所示，判断的结果如图6示。

图5确定新状态空间并判定能控性的程序图6系统的传递函数、新的状态空间模型和能控性判定结果分析得知u到y的传递函数可通过状态空间描述的矩阵求得，同时通过tf2ss 函数确定了新的状态空间（A1，B1，C1，D1），运用函数ss求得新模型的状态方程，再通过能控型矩阵判定系统的能控性。

显然得到系统是可控的，同时还要声明通过传递函数求得空间描述和通过状态矩阵求得结果不同，从而验证了传递函数对系统的内部描述不完整。

（d）判断恒速制导导弹系统稳定性以下通过求得矩阵的特征值即传递函数的极值点来判断该系统是否稳定。

图7是求取极值点的程序，通过roots和eig函数来求取，目的进行必要的对比。

图8是通过两种途径获得的系统的极值点。

图7求取极值点的源程序图8是图7程序的运行结果：图8系统的传递函数和极值点从求得的结果中可以看出其特征值的根的实部都不是正数，从而就说明了该系统在李雅普洛夫意义下是稳定的。

图9 系统的单位阶跃响应通过程序给系统一个单位阶跃信号，从上图可以看出系统不是严格收敛的，而是发散的。

（e ）状态变量模型的能控性和复杂性的关系（用状态变量的数目来度量复杂性）。

讨论状态变量模型的能控性与复杂性的关系。

很直观地讲，一个系统要能控，必须要其能控型判别矩阵的秩等于系统的阶数也即就是状态变量的数目，但是反过来，系统越复杂，状态变量的个数越多，能控型判别矩阵要求满足的秩也就越大，也即意味着越难达到要求，从而其能控性也就越不容易满足。

从而可以得出结论，即越复杂的系统越不容易达到完全可控。

3、垂直起降的飞机的线性化模型为：=Ax+B1u1+B2u2其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=01004200.17070.0.3681.01002.00208.40024.00100.10482.04555.00188.00271.00366.0A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=05200.55446.34422.01B , ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=04900.45922.71761.02B 系统的状态变量为水平速度1x （节）、垂直速度2x （节）、倾斜率3x （度/秒）和倾斜角4x （度）；系统的控制输入为1u 和2u ，其中1u 用于控制垂直运动，2u 用于控制水平运动。

(a) 计算系统矩阵A 的特征值，并由此判断系统是否稳定；(b) 利用poly 函数确定A 的特征多项式，计算特征根，并与(a)中得到的特征根相比较；(c) 当只有1u 发挥作用时，系统能控吗？当只有2u 发挥作用时，结果又如何？请比较解释你的结论。

解：通过给定的垂直起降的飞机的线性化模型分析系统的属性（a）计算系统矩阵A的特征值，并根据特征值判断系统是否稳定图10矩阵A的特征值和u1、u2分别作用的能控性判别程序（b）利用poly函数确定A的特征多项式，计算特征值，并与（a）中的结果进行对比（c）当只有u1作用时，系统能控性；只有u2作用时，系统能控性。

针对以上三点问题，通过图10所示的matlab程序来判断所有问题，最终的结果在图11中显示。

求取矩阵A的特征值和u1、u2分别作用时系统可控性的运行结果：图11特征值、特征多项式和u1、u2分别作用的能控性结果其中roots1是通过eig函数求得的状态矩阵A的特征值，显然有两个特征值具有正实部，故系统不稳定；Q1是通过poly函数确定的A的特征多项式，roots2是通过roots函数求得的A矩阵的特征多项式的根，经过对比发现roots1和roots2的数值一样；只有u1或者u2作用是通过能控型矩阵Qc，用秩判据得到系统都是可控的。

dimA是通过size函数求得矩阵A的维数。

对比的当u1与u2发挥作用时所对应的能控型判别矩阵的秩都为4，即其秩等于系统的阶数也就是矩阵A的维数，从而说明在这两种情况下，系统均为能控。

4、为了探究月球背面（远离地球的一面）的奥秘，人们付出了不懈的努力。

例如，在地球-太阳-月球系统中，人们希望通信卫星能定点在不受月球遮挡的轨道上，并为此开展了广泛的论证研究工作。

图中给出了预期卫星轨道的示意图，从地球上看上去，卫星轨道的光影恰似环绕月球的外层光晕，因此这种轨道又称为光晕轨道。

轨道控制的目的是，使通信卫星在地球可见的光晕轨道上运行，从而保证通信链路的畅通，所需的通信链路包括从地球到卫星和从卫星到月球背面共两段线路。

卫星绕定点位置运动时，经过标准化和线性化的漂移运动方程为：1230001000000000100000000010007.3809000201000 2.1904020001000 3.1904000001x x u u u ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦其中，状态变量x 是卫星在三个方向上的位置和速度漂移，输入(1,2,3)i u i =分别是轨控发动机在ξ、η和ζ方向上产生的加速度。

(a) 卫星的定点位置是否稳定？(b) 如果只有1u 发挥作用，卫星是否能控？ (c) 如果只有2u 发挥作用，卫星是否能控？(d) 如果只有3u 发挥作用，卫星是否能控？(e) 如果能够测得η方向的位置漂移，请确定由2u 到该位置漂移量的传递函数。

（提示：可以令观测输出为[]010000y x =）(f) 用tf2ss 函数，计算(e)中得到的传递函数的状态变量模型，并验证该轨迹子系统是能控系统；(g) 采用状态反馈2u Kx =-，设计合适的反馈控制器，使(f)中得到的系统的闭环极点为1,21s j =-±和3,410s =-。

解：在给定的卫星绕定点位置运动时的标准化和线性化的漂移运动方程，通过matlab 分析一下几点问题。

图12系统稳定性和u1、u2、u3分别作用时的能控性（1）关于卫星的定点位置的稳定性和分别只有u1或者u2或者u3作用时，卫星的能控性通过图12的程序来判断，判断结果在图13中显示。

卫星定位系统的稳定性和u1、u2、u3分别作用时的能控性判别结果如图13所示图13系统特征根和u1、u2、u3分别作用的能控性判别结果图14系统极值点分布图通过图13可以看出系统的极值点（roots1）中有大于零的点，直观的从图14的系统极值点分布图中看出在虚轴的右半平面上有一个极值点，所以系统是不稳定的；从图13中还可以发现系统在只有u1或者u2或者u3作用时，均不可控。

（2）确定由u2到漂移量的传递函数并确定传递函数所对应的状态变量模型，然后验证其为能控系统。

执行程序如图15所示，该程序用于求解传递函数和状态模型，并验证该模型的能控性。

运行的结果如图16所示。

图15传递函数、状态变量模型和能控性求解程序以上程序中求得了新系统的传递函数以及状态空间模型，并通过求取系统的能控性矩阵，根据秩判据判定系统的可控性，由if语句来选取，把最终结果显示在命令窗口。

图15程序的运行结果如图16所示：图16传递函数、状态空间描述和能控性的结果图16中显示了由u2到n方向的位置漂移量的传递函数，以及通过tf2ss函数得到该传递函数的状态变量模型，最后验证得到该模型是能控的。

（3）在给定状态空间描述的基础上采用状态反馈u2=-Kx，使得（1）中得到的模型的闭环极点为-1+j，-1-j，-10，-10.具体程序如图17所示，运行的结果如图18,图19所示。