由2008年江西高考理科数学最后一题说起
周湖平
年年岁岁卷相似，岁岁年年题不同。
2008年是江西省高考数学自主命题的第四年，今年全省理科平均分为69.37 比去年了降了19.87，特别是理科压轴题的难度系数为0.11，属于超难题。
2007年考生满面笑容，2008年考生叫苦连天。
2008年的理科压轴题是一道函数与不等式的综合题，一改前两年以数列与不等式的综合题为压轴题局面，避免了老师和学生猜题压宝，具有良好的导向作用。
压轴题基于公平的原则体现了试题选拔功能,其设计之新颖,立意之深隧,技巧之高难，把选拔功能体现得酣畅淋漓。
本文以08年江西省高考数学理科压轴题为例谈谈自己的看法。
1考查能力好载体
题目 函数()f x ＝x +11＋a +11＋8
+ax ax ，x ∈(0，＋∞)． （1）当8a =时，求()f x 的单调区间；
（2）对任意正数a ，证明：()12f x <<．
解 （1）略
（2）对任意给定的0>a ，0>x ，因为
ax a x x f 8
111111)(+++++=，若令ax
b 8=，则8=abx ① b
a x x f +++++=11
11
11
)( ② （一）先证1)(>x f ：因为x x +>+1111，a a +>+1111，b
b +>+1111 又由x b a +++2≥8244=abx ，∴x b a ++≥6
所以
（2）.再证2)(<x f ：由①、②中关于x ，a ，b 的对称性，不妨设x ≥a ≥b ，则0<b ≤2， （Ⅰ）.当a+b ≥7，则a ≥5，∴x ≥a ≥5
111
<+b ，162
61
61
11
11
<=+≤+++a x
1)1)(1)(1()()(1)1)(1)(1()()(9)1)(1)(1()(2311111111
1111)(=++++++++++=+++++++++≥+++++++++=+++++>+++++=b a x abx ax bx ab x b a b a x ax bx ab x b a b a x ax bx ab x b a b a x b a x x f
∴211
11
11
)(<+++++=b a x x f
（Ⅱ）若a+b<7，由①得ab x 8=，∴8
11+=+ab ab x ③ 因为222))
1(21()(41111b b b a b b b b +-=+++-<+ ∴)1(2111
b b b +-
<+ ④ 同理得)1(2111a a a +-
<+ ⑤，于是 )8
211(212)(+-+++-<ab ab b b a a x f ⑥ 今证明8
211+>+++ab ab b b a a ⑦ 因为)1)(1(211b a ab b b a a ++>+++，则只要)
1)(1(2b a ab ++82+>ab ab 只要ab b a +<++8)1)(1(，即证ab ab b a +<+++81，即a+b<7，而这显然成立。
综上，对任意正数a ，()12f x <<．
此题虽然难，但其第（1）问的入口较宽，只要正确求出函数的导数，便可得到答案；这样变难题的整体把关为难题的分支把关，充分考查学生的个性品质。
数学压轴题已从“一题把关”转为“多题把关”，设置了层次分明的台阶，入口宽，上手易，但是深入难，解到底更难。
第2小题无人挨边；14分的题全省9分一人，8分二人。
第（2）问的构造思想和放缩法等的应用要有很高的技巧，以下引用不等式研究专家宋庆老师的发言：说句实在话，该题命题人陶平生教授[1]所给出的证明是最好的。
问题只是这道好题在不恰当的时间出现在不恰当的地方。
平心而论，不等式做到这个分上，可以说达到了一个佳境。
2似曾相识燕归来
08年江西理科最后一题第（2）小题与2004年西部奥林匹克最后一题类似，且证明比这道西部奥林匹克题还难。
而这道西部奥林匹克题当年参赛选手无一人完全证出。
2004西部数学奥林匹克第八题求证：对任意正实数a、b、c都
有
22
1
2
<≤（王建伟供题）
提示：令
222
222
,,
b c a
x y z
a b c
===，则,,
x y z R
+
∈，1
xyz=，于是，只须证
明
1
2
<≤，不妨设x y z
≤≤。
《中学数学研究》(南昌)2006年第2期“一道西部数学奥林匹克赛题的溯源与推广”（四川省篷安中学蒋明斌老师著）；对那道西部奥林匹克题给出了推广。
福建龙岩学院吴善和老师2004年7月，在《中学数学研究》（南昌）“关于IMO42一个不等式的逆向”一文给出了右边不等式的一种证明。
从历届竞赛题中找借鉴已成为高考命题的一种趋势，2008年有几道高考试题具有竞赛背景，譬如，天津市数学高考理科第22题第（3）小题，需要按4的剩余类讨论，广东省数学高考理科第21题和重庆数学高考理科第22题均涉及求二阶线性递归数列的通项公式。
参加过数学竞赛训练的同学得益明显，试题背景有失公平，引发争议。
3华山不止一条道
著名数学家张景中院士认为此题难度较大，适宜竞赛而不适合高考。
命题者提供的参考答案看似推理自然，但实际上做题者难以想到。
下面提供另一种解法，以供叁考。
=
8
b=x,c=
ax
，问题转化为在三个正数a、b、c且8
abc=
的条件下求(,,)
F a b c=的上下界。
不妨设a b c
≤≤，记
8
,,
t a k ab c
k
===，把(,,)
F a b c看成t的函
数()(,,
f t F a b c
==+
，注意变量和参数范围为02
t
<≤≤，计算导数
33
233
22
2
1
'()((1)(1))((1)())(,)
2
k k
f t t k t t t k Q t k
t t
--
=-+++=+-+，这里(,)
Q t k是某个正值代数式，于是可根据233
()((1)())
g t k t t t k
=+-+
的正负来判断的增减。
注意到0
g=，容易作因式分解：22
()()((3))
g t k t t k k t k
=---+，由第二个因式形成的二次方程2(3)0
t k k t k
--+=的判别式22
(3)4
k k k
=--
，当4
k<时有0
<。
于是
2(3)
t k k t k --+
在上递增，从而()
f t
在t=处最大。
容易检验
有
2
f=<和()1
f t>。