2020年江苏省无锡市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请用2B 铅笔把答题卷上相应的答案涂黑．） 1．（3分）﹣7的倒数是（ ） A ．7B ．17C ．−17D ．﹣72．（3分）函数y ＝2+√3x −1中自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ≥2B ．x ≥13C ．x ≤13D ．x ≠133．（3分）已知一组数据：21，23，25，25，26，这组数据的平均数和中位数分别是（ ） A ．24，25B ．24，24C ．25，24D ．25，254．（3分）若x +y ＝2，z ﹣y ＝﹣3，则x +z 的值等于（ ） A ．5B ．1C ．﹣1D ．﹣55．（3分）正十边形的每一个外角的度数为（ ） A ．36°B ．30°C ．144°D ．150°6．（3分）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A ．圆B ．等腰三角形C ．平行四边形D ．菱形7．（3分）下列选项错误的是（ ） A ．cos60°=12B ．a 2•a 3＝a 5C ．√2=√22D ．2（x ﹣2y ）＝2x ﹣2y8．（3分）反比例函数y =k x与一次函数y =815x +1615的图形有一个交点B （12，m ），则k 的值为（ ） A ．1B ．2C ．23D ．439．（3分）如图，在四边形ABCD 中（AB ＞CD ），∠ABC ＝∠BCD ＝90°，AB ＝3，BC =√3，把Rt △ABC 沿着AC 翻折得到Rt △AEC ，若tan ∠AED =√32，则线段DE 的长度（ ）A ．√63B ．√73C ．√32D ．2√7510．（3分）如图，等边△ABC 的边长为3，点D 在边AC 上，AD =12，线段PQ 在边BA 上运动，PQ =12，有下列结论： ①CP 与QD 可能相等； ②△AQD 与△BCP 可能相似； ③四边形PCDQ 面积的最大值为31√316； ④四边形PCDQ 周长的最小值为3+√372．其中，正确结论的序号为（ ）A ．①④B ．②④C ．①③D ．②③二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共计16分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卷相应的位置）11．（2分）因式分解：ab 2﹣2ab +a ＝ ．12．（2分）2019年我市地区生产总值逼近12000亿元，用科学记数法表示12000是 ． 13．（2分）已知圆锥的底面半径为1cm ，高为√3cm ，则它的侧面展开图的面积为＝ cm 2． 14．（2分）如图，在菱形ABCD 中，∠B ＝50°，点E 在CD 上，若AE ＝AC ，则∠BAE ＝ °．15．（2分）请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为y 轴： ．16．（2分）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，井深几尺？则该问题的井深是 尺．17．（2分）二次函数y ＝ax 2﹣3ax +3的图象过点A （6，0），且与y 轴交于点B ，点M 在该抛物线的对称轴上，若△ABM 是以AB 为直角边的直角三角形，则点M 的坐标为 ． 18．（2分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝4，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且DB ＝2AD ，AE ＝3EC ，连接BE ，CD ，相交于点O ，则△ABO 面积最大值为 ．三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（8分）计算：（1）（﹣2）2+|﹣5|−√16； （2）a−1a−b−1+b b−a．20．（8分）解方程： （1）x 2+x ﹣1＝0； （2）{−2x ≤04x +1＜5．21．（8分）如图，已知AB ∥CD ，AB ＝CD ，BE ＝CF ． 求证：（1）△ABF ≌△DCE ； （2）AF ∥DE ．22．（8分）现有4张正面分别写有数字1、2、3、4的卡片，将4张卡片的背面朝上，洗匀． （1）若从中任意抽取1张，抽的卡片上的数字恰好为3的概率是 ；（2）若先从中任意抽取1张（不放回），再从余下的3张中任意抽取1张，求抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）23．（6分）小李2014年参加工作，每年年底都把本年度收入减去支出后的余额存入银行（存款利息记入收入），2014年底到2019年底，小李的银行存款余额变化情况如下表所示：（单位：万元）年份2014年2015年2016年2017年2018年2019年收入389a1418支出1456c6存款余额261015b34（1）表格中a＝；（2）请把下面的条形统计图补充完整；（画图后标注相应的数据）（3）请问小李在哪一年的支出最多？支出了多少万元？24．（8分）如图，已知△ABC是锐角三角形（AC＜AB）．（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作直线l，使l上的各点到B、C两点的距离相等；设直线l与AB、BC分别交于点M、N，作一个圆，使得圆心O在线段MN上，且与边AB、BC相切；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若BM=53，BC＝2，则⊙O的半径为．25．（8分）如图，DB过⊙O的圆心，交⊙O于点A、B，DC是⊙O的切线，点C是切点，已知∠D＝30°，DC=√3．（1）求证：△BOC∽△BCD；（2）求△BCD的周长．26．（10分）有一块矩形地块ABCD，AB＝20米，BC＝30米．为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形ABCD分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为x 米．现决定在等腰梯形AEHD和BCGF中种植甲种花卉；在等腰梯形ABFE和CDHG中种植乙种花卉；在矩形EFGH中种植丙种花卉．甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/米2、60元/米2、40元/米2，设三种花卉的种植总成本为y元．（1）当x＝5时，求种植总成本y；（2）求种植总成本y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（3）若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120平方米，求三种花卉的最低种植总成本．27．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点E为边CD上的一点（与C、D 不重合），四边形ABCE关于直线AE的对称图形为四边形ANME，延长ME交AB于点P，记四边形P ADE的面积为S．（1）若DE=√33，求S的值；（2）设DE＝x，求S关于x的函数表达式．28．（10分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线OA交二次函数y=14x2的图象于点A，∠AOB＝90°，点B在该二次函数的图象上，设过点（0，m）（其中m＞0）且平行于x轴的直线交直线OA于点M，交直线OB于点N，以线段OM、ON为邻边作矩形OMPN．（1）若点A的横坐标为8．①用含m的代数式表示M的坐标；②点P能否落在该二次函数的图象上？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．（2）当m＝2时，若点P恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线OA的函数表达式．2020年江苏省无锡市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请用2B 铅笔把答题卷上相应的答案涂黑．） 1．（3分）﹣7的倒数是（ ） A ．7B ．17C ．−17D ．﹣7【解答】解：﹣7的倒数是−17． 故选：C ．2．（3分）函数y ＝2+√3x −1中自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ≥2B ．x ≥13C ．x ≤13D ．x ≠13【解答】解：由题意得，3x ﹣1≥0， 解得x ≥13． 故选：B ．3．（3分）已知一组数据：21，23，25，25，26，这组数据的平均数和中位数分别是（ ） A ．24，25B ．24，24C ．25，24D ．25，25【解答】解：这组数据的平均数是：（21+23+25+25+26）÷5＝24； 把这组数据从小到大排列为：21，23，25，25，26，最中间的数是25， 则中位数是25； 故选：A ．4．（3分）若x +y ＝2，z ﹣y ＝﹣3，则x +z 的值等于（ ） A ．5B ．1C ．﹣1D ．﹣5【解答】解：∵x +y ＝2，z ﹣y ＝﹣3， ∴（x +y ）+（z ﹣y ）＝2+（﹣3）， 整理得：x +y +z ﹣y ＝2﹣3，即x +z ＝﹣1， 则x +z 的值为﹣1． 故选：C ．5．（3分）正十边形的每一个外角的度数为（ ） A ．36°B ．30°C ．144°D ．150°【解答】解：正十边形的每一个外角都相等， 因此每一个外角为：360°÷10＝36°， 故选：A ．6．（3分）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A ．圆B ．等腰三角形C ．平行四边形D ．菱形【解答】解：A 、圆既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不合题意； B 、等腰三角形是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项符合题意； C 、平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，故此选项不合题意； D 、菱形是中心对称图形但不是轴对称图形，故此选项不合题意． 故选：B ．7．（3分）下列选项错误的是（ ） A ．cos60°=12B ．a 2•a 3＝a 5C ．√2=√22D ．2（x ﹣2y ）＝2x ﹣2y【解答】解：A ．cos60°=12，故本选项不合题意； B ．a 2•a 3＝a 5，故本选项不合题意； .√2=√2√2⋅√2=√22，故本选项不合题意； D .2（x ﹣2y ）＝2x ﹣4y ，故本选项符合题意． 故选：D ．8．（3分）反比例函数y =kx与一次函数y =815x +1615的图形有一个交点B （12，m ），则k 的值为（ ） A ．1B ．2C ．23D ．43【解答】解：∵一次函数y =815x +1615的图象过点B （12，m ）， ∴m =815×12+1615=43， ∴点B （12，43），∵反比例函数y =kx 过点B ， ∴k =12×43=23，故选：C ．9．（3分）如图，在四边形ABCD 中（AB ＞CD ），∠ABC ＝∠BCD ＝90°，AB ＝3，BC =√3，把Rt △ABC 沿着AC 翻折得到Rt △AEC ，若tan ∠AED =√32，则线段DE 的长度（ ）A ．√63B ．√73C ．√32D ．2√75【解答】解：方法一：如图，延长ED 交AC 于点M ，过点M 作MN ⊥AE 于点N ，设MN =√3m ， ∵tan ∠AED =√32，∴MN NE=√32， ∴NE ＝2m ，∵∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC =√3， ∴∠CAB ＝30°， 由翻折可知： ∠EAC ＝30°， ∴AM ＝2MN ＝2√3m ， ∴AN =√3MN ＝3m ， ∵AE ＝AB ＝3， ∴5m ＝3， ∴m =35，∴AN =95，MN =3√35，AM =6√35， ∵AC ＝2√3，∴CM＝AC﹣AM=4√3 5，∵MN=3√35，NE＝2m=65，∴EM=√MN2+EN2=3√7 5，∵∠ABC＝∠BCD＝90°，∴CD∥AB，∴∠DCA＝30°，由翻折可知：∠ECA＝∠BCA＝60°，∴∠ECD＝30°，∴CD是∠ECM的角平分线，∴S△CEDS△CMD =EDMD=CECM，∴√34√35=3√75−ED，解得ED=√7 3．方法二：如图，过点D作DM⊥CE，由折叠可知：∠AEC＝∠B＝90°，∴AE∥DM，∵∠ACB＝60°，∠ECD＝30°，∴∠AED＝∠EDM＝30°，设EM=√3m，由折叠性质可知，EC＝CB=√3，∴CM＝3−√3m，∴tan∠MCD=DMCM=3−3m=√33，解得m=1 3，∴DM =23，EM =√33，在直角三角形EDM 中，DE 2＝DM 2+EM 2， 解得DE =√73． 故选：B ．10．（3分）如图，等边△ABC 的边长为3，点D 在边AC 上，AD =12，线段PQ 在边BA 上运动，PQ =12，有下列结论： ①CP 与QD 可能相等； ②△AQD 与△BCP 可能相似；③四边形PCDQ 面积的最大值为31√316；④四边形PCDQ 周长的最小值为3+√372．其中，正确结论的序号为（ ）A ．①④B ．②④C ．①③D ．②③【解答】解：①利用图象法可知PC ＞DQ ，故①错误．②∵∠A ＝∠B ＝60°，∴当∠ADQ ＝∠CPB 时，△ADQ ∽△BPC ，故②正确． ③设AQ ＝x ，则四边形PCDQ 的面积=√34×32−12×x ×√32×12−12×3×（3﹣x −12）×√32=3√38+5√38x ， ∵x 的最大值为3−12=52，∴x =52时，四边形PCDQ 的面积最大，最大值=31√316，故③正确， 如图，作点D 关于AB 的对称点D ′，作D ′F ∥PQ ，使得D ′F ＝PQ ，连接CF 交AB 于点P ′，此时四边形P ′CD ′Q ′的周长最小．过点C作CH⊥D′F交D′F的延长线于H，交AB于J．由题意，DD′＝2AD•sin60°=√32，HJ=12DD′=√34，CJ=3√32，FH=32−12−14=34，∴CH＝CJ+HJ=7√3 4，∴CF=√FH2+CH2=(34)2+(734)2=√392，∴四边形P′CDQ′的周长的最小值＝3+√392，故④错误，故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共计16分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卷相应的位置）11．（2分）因式分解：ab2﹣2ab+a＝a（b﹣1）2．【解答】解：原式＝a（b2﹣2b+1）＝a（b﹣1）2；故答案为：a（b﹣1）2．12．（2分）2019年我市地区生产总值逼近12000亿元，用科学记数法表示12000是 1.2×104．【解答】解：12000＝1.2×104．故答案为：1.2×104．13．（2分）已知圆锥的底面半径为1cm，高为√3cm，则它的侧面展开图的面积为＝2πcm2．【解答】解：根据题意可知，圆锥的底面半径r＝1cm，高h=√3cm，∴圆锥的母线l=√r2+ℎ2=2，∴S侧＝πrl＝π×1×2＝2π（cm2）．故答案为：2π．14．（2分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝50°，点E在CD上，若AE＝AC，则∠BAE＝115°．【解答】解：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC 平分∠BCD ，AB ∥CD ，∴∠BAE +∠AEC ＝180°，∠B +∠BCD ＝180°， ∴∠BCD ＝180°﹣∠B ＝180°﹣50°＝130°， ∴∠ACE =12∠BCD ＝65°， ∵AE ＝AC ，∴∠AEC ＝∠ACE ＝65°， ∴∠BAE ＝180°﹣∠AEC ＝115°； 故答案为：115．15．（2分）请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为y 轴： y ＝x 2 ． 【解答】解：∵图象的对称轴是y 轴， ∴函数表达式y ＝x 2（答案不唯一）， 故答案为：y ＝x 2（答案不唯一）．16．（2分）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，井深几尺？则该问题的井深是 8 尺． 【解答】解：设绳长是x 尺，井深是y 尺，依题意有{13x −y =414x −y =1， 解得{x =36y =8．故井深是8尺． 故答案为：8．17．（2分）二次函数y ＝ax 2﹣3ax +3的图象过点A （6，0），且与y 轴交于点B ，点M 在该抛物线的对称轴上，若△ABM 是以AB 为直角边的直角三角形，则点M 的坐标为 （32，﹣9）或（32，6） ．【解答】解：把点A （6，0）代入y ＝ax 2﹣3ax +3得，0＝36a ﹣18a +3， 解得：a =−16， ∴y =−16x 2+12x +3，∴B （0，3），抛物线的对称轴为x =−122×(−16)=32，设点M 的坐标为：（32，m ），当∠ABM ＝90°， 过B 作BD ⊥对称轴于D ， 则∠1＝∠2＝∠3， ∴tan ∠2＝tan ∠1=63=2， ∴DM BD=2，∴DM ＝3， ∴M （32，6），当∠M ′AB ＝90°，∴tan ∠3=M′NAN =tan ∠1=63=2， ∴M ′N ＝9， ∴M ′（32，﹣9），综上所述，点M 的坐标为（32，﹣9）或（32，6）．18．（2分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝4，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且DB ＝2AD ，AE ＝3EC ，连接BE ，CD ，相交于点O ，则△ABO 面积最大值为83．【解答】解：如图，过点D 作DF ∥AE ，则DF AE =BD BA =23，∵EC AE=13，∴DF ＝2EC ， ∴DO ＝2OC ， ∴DO =23DC ，∴S △ADO =23S △ADC ，S △BDO =23S △BDC ， ∴S △ABO =23S △ABC ， ∵∠ACB ＝90°，∴C 在以AB 为直径的圆上，设圆心为G ，当CG ⊥AB 时，△ABC 的面积最大为：12×4×2＝8，此时△ABO 的面积最大为：23×4=83．故答案为：83．三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（8分）计算：（1）（﹣2）2+|﹣5|−√16；（2）a−1a−b−1+b b−a．【解答】解：（1）原式＝4+5﹣4 ＝5；（2）原式=a−1a−b +1+ba−b=a−1+1+ba−b =a+ba−b ．20．（8分）解方程： （1）x 2+x ﹣1＝0； （2）{−2x ≤04x +1＜5．【解答】解：（1）∵a ＝1，b ＝1，c ＝﹣1， ∴△＝12﹣4×1×（﹣1）＝5， x =−1±√52×1， ∴x 1=−1+√52，x 2=−1−√52； （2）{−2x ≤0①4x +1＜5②， 解①得x ≥0， 解②得x ＜1，所以不等式组的解集为0≤x ＜1．21．（8分）如图，已知AB ∥CD ，AB ＝CD ，BE ＝CF ． 求证：（1）△ABF ≌△DCE ； （2）AF ∥DE ．【解答】证明：（1）∵AB ∥CD ，∴∠B ＝∠C ， ∵BE ＝CF ，∴BE ﹣EF ＝CF ﹣EF ， 即BF ＝CE ，在△ABF 和△DCE 中， ∵{AB =CD ∠B =∠C BF =CE， ∴△ABF ≌△DCE （SAS ）； （2）∵△ABF ≌△DCE ， ∴∠AFB ＝∠DEC ， ∴∠AFE ＝∠DEF ， ∴AF ∥DE ．22．（8分）现有4张正面分别写有数字1、2、3、4的卡片，将4张卡片的背面朝上，洗匀． （1）若从中任意抽取1张，抽的卡片上的数字恰好为3的概率是14；（2）若先从中任意抽取1张（不放回），再从余下的3张中任意抽取1张，求抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）【解答】解：（1）从中任意抽取1张，抽的卡片上的数字恰好为3的概率=14； 故答案为14；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的结果数为4， 所以抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率=412=13．23．（6分）小李2014年参加工作，每年年底都把本年度收入减去支出后的余额存入银行（存款利息记入收入），2014年底到2019年底，小李的银行存款余额变化情况如下表所示：（单位：万元）年份 2014年 2015年 2016年 2017年 2018年 2019年 收入 3 8 9 a 14 18 支出 1 4 5 6 c 6 存款余额261015b34（1）表格中a ＝ 11 ；（2）请把下面的条形统计图补充完整；（画图后标注相应的数据） （3）请问小李在哪一年的支出最多？支出了多少万元？【解答】解：（1）10+a ﹣6＝15，解得a ＝11， 故答案为11；（2）根据题意得{15+14−c =b b +18−6=34，解得{b =22c =7，即存款余额为22万元， 条形统计图补充为：（3）小李在2018年的支出最多，支出了为7万元． 24．（8分）如图，已知△ABC 是锐角三角形（AC ＜AB ）．（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作直线l ，使l 上的各点到B 、C 两点的距离相等；设直线l 与AB 、BC 分别交于点M 、N ，作一个圆，使得圆心O 在线段MN 上，且与边AB 、BC 相切；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若BM =53，BC ＝2，则⊙O 的半径为12．【解答】解：（1）如图直线l ，⊙O 即为所求． （2）过点O 作OE ⊥AB 于E ．设OE ＝ON ＝r ， ∵BM =53，BC ＝2，MN 垂直平分线段BC ， ∴BN ＝CN ＝1，∴MN =√BM 2−BN 2=√(53)2−12=43， ∵s △BNM ＝S △BNO +S △BOM ， ∴12×1×43=12×1×r +12×53×r ，解得r =12． 故答案为12．25．（8分）如图，DB 过⊙O 的圆心，交⊙O 于点A 、B ，DC 是⊙O 的切线，点C 是切点，已知∠D ＝30°，DC =√3． （1）求证：△BOC ∽△BCD ； （2）求△BCD 的周长．【解答】证明：（1）∵DC是⊙O的切线，∴∠OCD＝90°，∵∠D＝30°，∴∠BOC＝∠D+∠OCD＝30°+90°＝120°，∵OB＝OC，∴∠B＝∠OCB＝30°，∴∠DCB＝120°＝∠BOC，又∵∠B＝∠D＝30°，∴△BOC∽△BCD；（2）∵∠D＝30°，DC=√3，∠OCD＝90°，∴DC=√3OC=√3，DO＝2OC，∴OC＝1＝OB，DO＝2，∵∠B＝∠D＝30°，∴DC＝BC=√3，∴△BCD的周长＝CD+BC+DB=√3+√3+2+1＝3+2√3．26．（10分）有一块矩形地块ABCD，AB＝20米，BC＝30米．为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形ABCD分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为x 米．现决定在等腰梯形AEHD和BCGF中种植甲种花卉；在等腰梯形ABFE和CDHG中种植乙种花卉；在矩形EFGH中种植丙种花卉．甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/米2、60元/米2、40元/米2，设三种花卉的种植总成本为y元．（1）当x＝5时，求种植总成本y；（2）求种植总成本y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（3）若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120平方米，求三种花卉的最低种植总成本．【解答】解：（1）当x＝5时，EF＝20﹣2x＝10，EH＝30﹣2x＝20，y＝2×12（EH+AD）×20x+2×12（GH+CD）×x×60+EF•EH×40＝（20+30）×5×20+（10+20）×5×60+20×10×40＝22000；（2）EF＝20﹣2x，EH＝30﹣2x，参考（1），由题意得：y＝（30×30﹣2x）•x•20+（20+20﹣2x）•x•60+（30﹣2x）（20﹣2x）•40＝﹣400x+24000（0＜x＜10）；（3）S甲＝2×12（EH+AD）×2x＝（30﹣2x+30）x＝﹣2x2+60x，同理S乙＝﹣2x2+40x，∵甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120米2，∴﹣2x2+60x﹣（﹣2x2+40x）≤120，解得：x≤6，故0＜x≤6，而y＝﹣400x+24000随x的增大而减小，故当x＝6时，y的最小值为21600，即三种花卉的最低种植总成本为21600元．27．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点E为边CD上的一点（与C、D 不重合），四边形ABCE关于直线AE的对称图形为四边形ANME，延长ME交AB于点P，记四边形P ADE的面积为S．（1）若DE=√33，求S的值；（2）设DE＝x，求S关于x的函数表达式．【解答】解：（1）当DE=√3 3，∵AD＝1，∴tan∠AED=√3，AE=2√3 3，∴∠AED＝60°，∵AB∥CD，∴∠BAE＝60°，∵四边形ABCE关于直线AE的对称图形为四边形ANME，∴∠AEC＝∠AEM，∵∠PEC＝∠DEM，∴∠AEP＝∠AED＝60°，∴△APE为等边三角形，∴S=√34×（2√33）2+12×√33×1=√32；（2）过E作EF⊥AB于F，由（1）可知，∠AEP＝∠AED＝∠PEA，∴AP＝PE，设AP＝PE＝a，AF＝ED＝x，则PF＝a﹣x，EF＝AD＝1，在Rt△PEF中，（a﹣x）2+1＝a2，解得：a=x2+1 2x，∴S=12⋅x×1+12×x2+12x×1=12x+x2+14x．28．（10分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线OA 交二次函数y =14x 2的图象于点A ，∠AOB ＝90°，点B 在该二次函数的图象上，设过点（0，m ）（其中m ＞0）且平行于x 轴的直线交直线OA 于点M ，交直线OB 于点N ，以线段OM 、ON 为邻边作矩形OMPN ． （1）若点A 的横坐标为8． ①用含m 的代数式表示M 的坐标；②点P 能否落在该二次函数的图象上？若能，求出m 的值；若不能，请说明理由． （2）当m ＝2时，若点P 恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线OA 的函数表达式．【解答】解：（1）①∵点A 在y =14x 2的图象上，横坐标为8， ∴A （8，16），∴直线OA 的解析式为y ＝2x ， ∵点M 的纵坐标为m ， ∴M （12m ，m ）．②假设能在抛物线上， ∵∠AOB ＝90°，∴直线OB 的解析式为y =−12x ， ∵点N 在直线OB 上，纵坐标为m ，∴N （﹣2m ，m ），∴MN 的中点的坐标为（−34m ，m ），∴P （−32m ，2m ），把点P 坐标代入抛物线的解析式得到m =329．（2）①当点A 在y 轴的右侧时，设A （a ，14a 2），∴直线OA 的解析式为y =14ax ， ∴M （8a ，2），∵OB ⊥OA ，∴直线OB 的解析式为y =−4a x ，可得N （−a2，2）， ∴P （8a−a2，4），代入抛物线的解析式得到，8a−a 2=4，解得a ＝4√2±4，∴直线OA 的解析式为y ＝（√2±1）x ．②当点A 在y 轴的左侧时，即为①中点B 的位置， ∴直线OA 的解析式为y =−4a x ＝﹣（√2±1）x ，综上所述，满足条件的直线OA 的解析式为y ＝（√2±1）x 或y ＝﹣（√2±1）x ．。