专题五曲线运动一、运动的合成和分解【题型总结】1．速度的合成：（1）运动的合成和分解（2）相对运动的规律乙地甲乙甲地vvv+=例：一人骑自行车向东行驶，当车速为4m／s时，他感到风从正南方向吹来，当车速增加到7m／s时。

他感到风从东南方向（东偏南45º）吹来，则风对地的速度大小为（）A. 7m/sB. 6m／sC. 5m／sD. 4 m／s解析：“他感到风从正南方向（东南方向）吹来”，即风相对车的方向是正南方向（东南方向）。

而风相对地的速度方向不变，由此可联立求解。

解：∵θ=45°∴V风对车=7—4=3 m／s∵风对地车对地风对车VVV=+∴V风对地=53422=+ m／s答案：C2．绳（杆）拉物类问题①绳（杆）上各点在绳（杆）方向．．．．．．上的速度相等②合速度方向：物体实际运动方向分速度方向：沿绳（杆）伸（缩）方向：使绳（杆）伸（缩）垂直于绳（杆）方向：使绳（杆）转动例：如图所示，重物M沿竖直杆下滑，并通过绳带动小车m沿斜面升高．问：当滑轮右侧的绳与竖直方向成θ角，且重物下滑的速率为v时，小车的速度为多少？解：方法一：虚拟重物M在Δt时间内从A移过Δh到达Ｃ的运动，如图（1）所示，这个运动可设想为两个分运动所合成，即先随绳绕滑轮的中心轴O点做圆周运动到B，位移为Δs1，然后将绳拉过Δs2到C．若Δt很小趋近于0，那么Δφ→0，则Δs1＝0，又OA＝OB，∠OBA＝β＝21（180°－Δφ)→90°．亦即Δs1近似⊥Δs2，故应有：Δs2＝Δh·cosθ因为thts∆∆=∆∆2·cosθ，所以v′＝v·cosθ方法二：重物M的速度v的方向是合运动的速度方向，这个v产生两个效果：一是使绳的这一端绕滑轮做顺时针方向的圆周运动；二是使绳系着重物的一端沿绳拉力的方向以速率v′运动，如图（2）所示，由图可知，v′＝v·cosθ．（1）（2）V风对车V风对地V车对地V风对车θ练习1：一根绕过定滑轮的长绳吊起一重物B ，如图所示，设汽车和重物的速度的大小分别为B A v v ,，则（ ）A 、B A v v = B 、B A v v 〉C 、B A v v 〈D 、重物B 的速度逐渐增大解析：（微元法）设经过t ，物体前进1s ，绳子伸长2s ：t v s A =1，t v s B =2⇒θcos A B v v =⇒ ↓θ ，↑B v ,θcos 12s s =. ∵1cos 〈θ， ∴A B v v 〈练习2：如图所示，一轻杆两端分别固定质量为m A 和m B 的两个小球A 和B （可视为质点）。

将其放在一个直角形光滑槽中，已知当轻杆与槽左壁成α角时，A 球沿槽下滑的速度为V A ，求此时B 球的速度V B ？ 解：A 球以V A 的速度沿斜槽滑下时，可分解为：一个使杆压缩的分运动，设其速度为V A1；一个使杆绕B 点转动的分运动，设其速度为V A2。

而B 球沿斜槽上滑的运动为合运动，设其速度为V B ，可分解为：一个使杆伸长的分运动，设其速度为V B1，V B1=V A1；一个使杆摆动的分运动设其速度为V B2；由图可知：ααcos sin 11A A B B V V V V === αcot ⋅=A B V V3．渡河问题（1）以时间为限制条件：①时间最短：使船头垂直于河岸航行.船短v dt =（d 为河宽） αsin ds =（α为合速度与水流速度的夹角） ②普通情况：βsin 船v dt = （β为船头与河岸的夹角）（2）以位移为限制条件：①船水v v 〈 d S =短 （d 为河宽） θsin 船v dt = （θ为船头与河岸的夹角）②船水v v 〉 22船水合v v v -= 船水短v dv S =船的真实方向指的是船的航行方向；船的划行方向指的是船头指向。

例1：在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v 1，摩托艇在静水中的航速为v 2,战士救人的地点A 离岸边最近处O 的距离为d ，如战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O 点的距离为( )解析：摩托艇要想在最短时间内到达对岸，其划行方向要垂直于江岸，摩托艇实际的运动是相对于水的划行运动和随水流的运动的合运动，垂直于江岸方向的运动速度为v 2，到达江岸所用时间t=2v d；沿江岸方向的运动速度是水速v 1在相同的时间内，被水冲下的距离，即为登陆点距离0点距离211v dv t v s ==。

答案：C例2：某人横渡一河流，船划行速度和水流动速度一定，此人过河最短时间为了T 1；若此船用最短的位移α α V V B1V B2B A αV V A1 V A2过河，则需时间为T 2，若船速大于水速，则船速与水速之比为（ ）(A) (B) (C) (D)解析：设船速为1v ，水速为2v ，河宽为d ，则由题意可知 ： 11v dT =① 当此人用最短位移过河时，即合速度v 方向应垂直于河岸，如图所示，则22212v v dT -= ②联立①②式可得：1222121v v v T T -= ，进一步得2122221T T T v v -= 答案：A【巩固练习】 1、 一个劈形物体M ，各面都光滑，放在固定的斜面上，上表面水平，在上表面放一个 光滑小球m ，劈形物体由静止开始释放，则小球在碰到斜面前的运动轨迹是（ ）A 、 沿斜面向下的直线B 、竖直向下的直线C 、无规则的曲线D 、抛物线解析：由于小球初速度为零，所以不可能做曲线运动；又因为小球水平方向不受力，水平方向运动状态不变，所以只能向下运动。

答案：C[同类变式1]下列说法中符合实际的是：（ ）A ．足球沿直线从球门的右上角射入球门B ．篮球在空中划出一条规则的圆弧落入篮筐C ．台球桌上红色球沿弧线运动D ．羽毛球比赛时，打出的羽毛球在对方界内竖直下落。

解析：足球在空中向前飞行时，只受重力作用，一定做曲线运动；抛出的篮球，所受重力的方向不可能总与篮球的速度方向垂直，所以不可能是规则的圆弧；滚动的台球所受合力是摩擦力，与运动方向相反，只能做减速直线运动；打出的羽毛球受到重力及较大的空气阻力作用，其中空气阻力总与运动方向相反，随着运动速率减小而减小，二力合力的大小及方向都在不断变化，所以打出的球较高时有可能竖直下落。

D [同类变式2]匀速上升的载人气球中，有人水平向右抛出一物体，取竖直向上为y 轴正方向，水平向右为x 轴正方向，取抛出点为坐标原点，则地面上的人看到的物体运动轨迹是下图中的：A B C D解析：物体具有竖直向上的初速度，在空中只受重力作用，所以做斜上抛运动（水平方向作匀速运动、竖直方向做竖直上抛运动。

）答案：B2、如图所示为一空间探测器的示意图，P 1 、P 2 、P 3 、P 4是四个喷气发动机， P 1 、P 2的连线与空间一固定坐标系的x 轴平行，P 3 、P 4的连线与y 轴平行．每台发动机开动时，都能向探测器提供推力，但不会使探测器转动．开始时，探测器以恒定的速率v o 向正x 方向平动．要使探测器改为向正x 偏负y 60° 的方向以原来的速率v o 平动，则可( )A ．先开动P 1 适当时间，再开动P 4 适当时间 B. 先开动P 3 适当时间，再开动P 2 适当时间 C. 开动P 4 适当时间D. 先开动P 3 适当时间，再开动P 4 适当时间解析:火箭、喷气飞机等是由燃料的反作用力提供动力，所以 P 1 、P 2 、P 3 、P 4分别受到向左、上、右、下的作用力。

使探测器改为向正x 偏负y 60° 的方向以原来的速率v o 平动，所以水平方向上要减速、竖直方向上要加速。

答案：A3、如图所示，A 、B 为两游泳运动员隔着水流湍急的河流站在两岸边，A 在较下游的位置，且A 的游泳成绩比B 好，现让两人同时下水游泳，要求两人尽快在河中相遇，试问应采用下列哪种方法才能实现？（ ） A. A 、B 均向对方游（即沿虚线方向）而不考虑水流作用 B. B 沿虚线向A 游且A 沿虚线偏向上游方向游C. A 沿虚线向B 游且B 沿虚线偏向上游方向游D. 都应沿虚线偏向下游方向，且B 比A 更偏向下游Mm解析:游泳运动员在河里游泳时同时参与两种运动，一是被水冲向下游，二是沿自己划行方向的划行运动。

游泳的方向是人相对于水的方向。

选水为参考系，A 、B 两运动员只有一种运动，由于两点之间直线最短，所以选A 。

二、平抛运动【题型总结】 1．斜面问题： ①分解速度：例：如图所示，以水平初速度0v 抛出的物体，飞行一段时间后，垂直撞在倾角为θ的斜面上，求物体完成这段飞行的时间和位移。

解：gtv v v y x 0tan ==θ ， ∴θtan 0⋅=g v t θθθθ222002tan 2)1tan 2(tan 21tan g v t v gt S S S x y +=⋅+=⋅+= 练习：如图所示，在倾角为370的斜面底端的正上方H 处，平抛一小球，该小球垂直打在斜面上的一点，求小球抛出时的初速度。

解：小球水平位移为0x v t =，竖直位移为212y gt =,由图可知，20012tan 37H gtv t -=，又00tan 37v gt =，解之得：0153gH v =.②分解位移：例：如图，在倾角为θ的斜面顶端A 处以速度0v 水平抛出一小球，落在斜面上的某一点B 处，设空气阻力不计，求小球从A 运动到B 处所需的时间和位移。

解：设小球从A 处运动到B 处所需的时间为t ，则水平位移t v x 0= ，竖直位移221gt y =。

θtan )(2102t v gt = ，∴g v t θtan 20= θθθθsin tan 2sin 21sin 2202g v gt S S y ===练习1：（求平抛物体的落点）如图，斜面上有a 、b 、c 、d 四个点，ab =bc =cd 。

从a 点正上方的O 点以速度v 0水平抛出一个小球，它落在斜面上b 点。

若小球从O 点以速度2v 0水平抛出，不计空气阻力，则它落在斜面上的 A ．b 与c 之间某一点 B ．c 点 C ．c 与d 之间某一点 D ．d 点解析：当水平速度变为2v 0时，如果作过b 点的直线be ，小球将落在c 的正下方的直线上一点，连接O 点和e 点的曲线，和斜面相交于bc 间的一点，故A 对。

答案：A练习2：（证明某一夹角为定值）从倾角为θ的足够长的A 点，先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出，第一次初速度为v 1，球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为，第二次初速度，球落在斜面上前一瞬间的速度方向与斜面间的夹角为，若，试比较的大小。