关于费马点问题在初三几何题中的研究
“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点.
若给定一个三角形△ABC 的话，从这个三角形的费马点P 到三角形的三个顶点A 、B 、C 的距离之和比从其它点算起的都要小.
这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个.
【定义】 1.若三角形3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120°。
所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心.
（托里拆利的解法中对这个点的描述是：对于每一个角都小于120°的三角形ABC 的每一条边为底边，向外作正三角形，然后作这三个正三角形的外接圆。
托里拆利指出这三个外接圆会有一个共同的交点，而这个交点就是所要求的点。
这个点和当时已知的三角形特殊点都不一样。
这个点因此也叫做托里拆利点。
）
2.若三角形有一内角大于等于120°，则此钝角的顶点就是距离和最小的点.
【费马点问题】
问题：如图1，如何找点P 使它到△ABC 三个顶点的距离之和PA +PB +PC 最小？ 图文解析：
如图1，把△APC 绕C 点顺时针旋转60°得到△A ′P ′C ，连接PP ′．
则△CPP ′为等边三角形，CP = PP ′，P A =P ′A ′，
∴P A +PB +PC = P ′A ′+ PB + PP ′≥B C ′．
∵点A ′可看成是线段CA 绕C 点顺时针旋转60°而得的定点，BA ′为定长 ，
∴当B 、P 、P ′、A ′ 四点在同一直线上时，P A +PB +PC 最小．最小值为BA.′
【如图1和图2，利用旋转、等边等条件转化相等线段.】
∴∠APC =∠A ′ P ′C =180°-∠CP ′P =180°-60°=120°，
∠BPC =180°-∠P ′PC =180°-60°=120°，
∠APC =360°-∠BPC -∠APC =360°-120°-120°=120°. 因此，当△ABC 的每一个内角都小于120°时，所求的点P 对三角形每边的张角都是120°；当有一内角大于或等于120°时，所求的P 点就是钝角的顶点．
费马点问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．
【方法总结】利用旋转、等边等条件转化相等线段，将三条线段转化成首尾相连的三条线段.
【知识应用】两点之间线段最短.
【典型例题】
例1 如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角
线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转600得到BN ，
连接EN 、AM 、CM .
（1）求证:△AMB ≌△ENB ；
（2）①当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小；
②当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由；
（3）当AM ＋BM ＋CM 的最小值为13+时，求正方形的边长.
【图文解析】
（1）SAS 证全等
∵△ABE 是等边三角形，
∴BA =BE ，∠ABE =60°，
∵旋转， 图3
图1 图2
∴∠MBN=60°，MB=NB
∴∠MBN -∠ABN=∠ABE-∠ABN，即∠BMA=∠NBE，
∴△AMB≌△ENB（SAS）；【如图3】
（2）两点之间，线段最短
①当M点落在BD的中点时，AM+CM的值最小；
②连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM
的值最小，
理由如下：连接MN，
在等腰直角△AEF中，AF=EF=a，【如图8】
在直角△ACF中，CF=3AF=3a，【如图8】∵CE=1
3+，
∴a+3a=1
3+，解得：a=1.
∴正方形的边长AB=AE=2EF=2
图4
图5
图6 图7
图8
例2（2017年济南市网评卷）如图1，已知一次函数y =x +3的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，抛物线c bx x y ++-=2
过A 、B 两点，且与x 轴交于另一点C ．
（1）求b 、c 的值；
（2）点D 为AC 的中点，点E 在线段BD 上，且BE =2ED ，连接CE 并延长交抛物线于点M ，求点M 的坐标；
（3）将直线AB 绕点A 按逆时针方向旋转15°后交y 轴于点G ，连接CG ，如图2，P 为△ACG 内一点，连接P A 、PC 、PG ，分别以AP 、AG 为边，在他们的左侧作等边△APR ，等边△AGQ ，连接QR ，求P A +PC +PG 的最小值．
【图文解析】 （1）求A 、B 两点坐标，代入抛物线解析式，求出b 、c 的值.
∵一次函数y = x +3的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，
∴当x =0时，y =3，当y =0时，x = -3
∴A （-3，0），B （0，3），………...…1分
∵抛物线c bx x y ++-=2
过A 、B 两点， ∴将点代入得：⎩
⎨⎧=+--=0393c b c ……….……2分 解得：⎩⎨⎧-==2
3b c ..…. .…. .….…3分 （2）求直线CE 的解析式，联立解析式求点M 的坐标. 由（1）知，抛物线解析式为：322+--=x x y .
当y =0时，0322=+--x x ，解得：31-=x ，12=x ，
∴点C 坐标（1，0）， .………….…4分
作EH ⊥OD ，则易证△DEH ∽△DBO . 【如图9】
∵点D 为AC 的中点
∴AD =DC =2，
∴点D 坐标（-1，0），
∵BE =2ED ，
∴BD =3ED ，
∴OH =32OD =32，EH =3
1OB =1. 图 1 图 2 备用图 图9
∴点E 坐标（-3
2，1）， 【求E 点坐标，进而求直线CE 的解析式】 设直线CE 为y =kx+b ，把E 、C 代入得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+13
20b k b k ，解得： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=53
53b k （3
图10
图11
【跟踪练习】
例3（2017年市中区二模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（－1,0），点B的坐标为（4，0），经过点A点B抛物线y=x²+bx+c与y轴交于点C.
（1）求抛物线的关系式.
（2）△ABC的外接圆与y轴交于点D，在抛物线上是否存在点M使S△MBC=S△DBC，若存在，请求出点M 的坐标.
（3）点P是直线y= -x上一个动点，连接PB，PC，当PB+PC+PO最小时，求点P的坐标及其最小值.
例4（2015•武汉）如图，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1，ON=3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是．。