费马点最值问题
例题精讲
例1：如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM，则AM+BM+CM的最小值为．
例2：如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC的费马点．
（1）若点P是等边三角形三条中线的交点，点P（填是或不是）该三角形的费马点．（2）如果点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC=60°．求证：△ABP∽△BCP；
（3）已知锐角△ABC，分别以AB、AC为边向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD相交于P点．如图（2）
①求∠CPD的度数；
②求证：P点为△ABC的费马点．
强化练习
1、在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=1，BC= ，点O 为Rt △ABC 内一点，连接AO 、BO 、CO ，且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，则OA+OB+OC= ．
2、如图，在四边形ABCD 中，60B ο∠=，AB=BC=3，AD=4，90BAD ο∠=，点P 是形内一点，则PA+PB+PD 的最小值为________
第1题图 第2题图
3、如图，点P 是矩形ABCD 对角线BD 上的一个动点，已知
，
，
则
的最小值是_______
4、如图，菱形ABCD 的对角线AC 上有一动点P ，BC ＝6，∠ABC ＝150°，则线段 AP ＋BP ＋PD 的最小值为________
第3题图 第4题图
P
D
C
A
5、（1）如图①，△ABD 和△ACE 均为等边三角形，BE 、CE 交于F ，连AF ， 求证：AF +BF +CF ＝CD ；
（2）在△ABC 中，∠ABC ＝30°，AB ＝6，BC ＝8，∠A ，∠C 均小于120°，求作一点P ，
使PA +PB +PC 的值最小，试求出最小值并说明理由．
图①
D
图②
C
A
6、如图，ABC ∆为正三角形，做ABC ∆的外接圆
（1）D 为劣弧AB 上一点，则ADB ∠=
（2）若三角形的3个内角均小于120°，三角形存在一点P ，使得PA 、PB 、PC 的夹角均为120°，我们称点P 为ABC ∆的费马点。

①请用尺规作图作出以P 为费马点的ABC ∆。

②请用尺规作图作出ABC ∆费马点。

C
P
C
B
A
7、如图，四边形ABCD 是正方形，ABE △是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60得到BN ，连结EN 、AM 、CM 。

（1）求证：AMB ENB △≌△；
（2）①当M 点在何处时，AM CM +的最小值；
②当M 点在何处时，AM BM CM ++的值最小，说明理由； （3）当AM BM CM ++
的最小值为1时，求正方形的边长。

8、如图，在Rt △AOC 中，∠A=30°，点O （0，0），C （1，0），点A 在y 轴正半轴上，以AC 为一边做等腰直角△ACP ，使得点P 在第一象限。

（1）求出所有符合题意的点P 的坐标；
（2）在△AOC 内部存在一点Q ，使得AQ 、OQ 、CQ 之和最小，请求出这个和的最小值。

米，BC=600米，∠ABC=60°，由于当地长期以来干旱缺水，水利部门先准备给三个村庄打水井饮水，已满足三个村庄的人蓄饮水及农业灌溉需要，为了节省费用，那么是否存在一水井P，使其到三个村庄的距离之和最短？若存在，请确定水井P的位置，并求出最短距离之和；若不存在，请说明理由
10、综合与实践：
发现问题：
如图①，已知：△OAB中，OB=3，将△OAB绕点O逆时针旋转90°得△OA′B，连接BB′．则BB′=．
问题探究：
如图②，已知△ABC是边长为4的等边三角形，以BC为边向外作等边△BCD，P为△ABC 内一点，将线段CP绕点C逆时针旋转60°，P的对应点为Q．
（1）求证：△DCQ≌△BCP
（2）求PA+PB+PC的最小值．
实际应用：
如图③，某货运场为一个矩形场地ABCD，其中AB=500米，AD=800米，顶点A、D为两个出口，现在想在货运广场内建一个货物堆放平台P，在BC边上（含B、C两点）开一个货物入口M，并修建三条专用车道PA、PD、PM．若修建每米专用车道的费用为10000元，当M，P建在何处时，修建专用车道的费用最少？最少费用为多少？
11、（1）阅读证明
①如图1，在△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P为△ABC的费马点，此时PA+PB+PC的值为△ABC的费马距离．
②如图2，已知点P为等边△ABC外接圆的上任意一点．求证：PB+PC=PA．
（2）知识迁移
根据（1）的结论，我们有如下探寻△ABC（其中∠A，∠B，∠C均小于120°）的费马点和费马距离的方法：
第一步：如图3，在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆；
第二步：在上取一点P0，连接P0A，P0B，P0C，P0D．易知P0A+P0B+P0C=P0A+（P0B+P0C）=P0A+________；
第三步：根据（1）①中定义，在图3中找出△ABC的费马点P，线段的长度即为△ABC 的费马距离．
（3）知识应用
已知三村庄A，B，C构成了如图4所示的△ABC（其中∠A，∠B，∠C均小于120°），现选取一点P打水井，使水井P到三村庄A，B，C所铺设的输水管总长度最小．求输水管总长度的最小值．
12、如图1，已知一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c 过A、B两点，且与x轴交于另一点C．
（1）求b、c的值；
（2）如图1，点D为AC的中点，点E在线段BD上，且BE=2ED，连接CE并延长交抛物线于点M，求点M的坐标；
（3）将直线AB绕点A按逆时针方向旋转15°后交y轴于点G，连接CG，如图2，P为△ACG 内以点，连接PA、PC、PG，分别以AP、AG为边，在他们的左侧作等边△APR，等边△AGQ，连接QR
①求证：PG=RQ；
②求PA+PC+PG的最小值，并求出当PA+PC+PG取得最小值时点P的坐标．
拓展：如图，正方形ABCD的边长为4，点P
是正方形内部一点，求+2
PA PB的
最小值
P
D
C
B
A。