1.1.3 导数的几何意义学习目标 1.理解曲线的切线的含义.2.理解导数的几何意义(重、难点).3.会求曲线在某点处的切线方程(重、难点).4.理解导函数的定义，会用定义法求简单函数的导函数.知识点1 曲线的切线如图所示，当点P n 沿着曲线y ＝f (x )无限趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为点P 处的切线. (1)曲线y ＝f (x )在某点处的切线与该点的位置有关；(2)曲线的切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以有无穷多个. 【预习评价】有同学认为曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线l 与曲线y ＝f (x )只有一个交点，你认为正确吗？提示 不正确.曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线l 与曲线y ＝f (x )的交点个数不一定只有一个，如图所示.知识点2 导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处切线的斜率k ，即k ＝0lim x ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝f ′(x 0).【预习评价】 (正确的打√，错误的打×)1.若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的导数不存在，则切线不存在.(×) 提示 切线存在，且切线与x 轴垂直.2.若f ′(x 0)>0，则切线的倾斜角为锐角；若f ′(x 0)<0，则切线的倾斜角为钝角；若f ′(x 0)＝0，则切线与x 轴平行.(√) 知识点3 导函数的概念对于函数y ＝f (x )，当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数，这样，当x 变化时，f ′(x )便是关于x 的一个函数，称它为函数y ＝f (x )的导函数，简称导数，也可记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝0lim x ∆→ ΔyΔx ＝0lim x ∆→ f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx.函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数y ′|x ＝x 0就是函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )(x ∈(a ，b ))上的导数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值，即y ′|x ＝x 0＝f ′(x 0)，所以函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数也记作f ′(x 0). 【预习评价】如何正确理解“函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系？提示 “函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数”是一个数值，是针对x 0而言的，与给定的函数及x 0的位置有关，而与Δx 无关；“导函数”简称为“导数”，是一个函数，导函数是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与x ，Δx 无关.方向1 求曲线在某点处的切线方程【例1－1】 求曲线y ＝f (x )＝x 3－x ＋3在点(1，3)处的切线方程.解 因为点(1，3)在曲线上，曲线在点(1，3)处的切线的斜率为f ′(1)＝0lim x ∆→（1＋Δx ）3－（1＋Δx ）＋3－（1－1＋3）Δx＝0lim x ∆→ （Δx ）3＋3（Δx ）2＋2ΔxΔx＝0lim x ∆→[(Δx )2＋3Δx ＋2]＝2，故所求切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0. 方向2 求曲线过某点的切线方程【例1－2】 求过点(－1，－2)且与曲线y ＝2x －x 3相切的直线方程. 解 y ′＝0lim x ∆→ ΔyΔx ＝0lim x ∆→ 2（x ＋Δx ）－（x ＋Δx ）3－2x ＋x 3Δx＝0lim x ∆→[2－3x 2－3x Δx －(Δx )2]＝2－3x 2.设切点的坐标为(x 0，2x 0－x 30)，则切线的斜率k ＝2－3x 20， ∴切线方程为y －2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(x －x 0).又∵切线过点(－1，－2)，∴－2－2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(－1－x 0)， 即2x 30＋3x 20＝0，∴x 0＝0或x 0＝－32.∴切点的坐标为(0，0)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，38.当切点为(0，0)时，切线斜率为2，切线方程为y ＝2x ；当切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，38时，切线斜率为－194，切线方程为y ＋2＝－194(x ＋1)，即19x ＋4y ＋27＝0.综上可知，过点(－1，－2)且与曲线相切的直线方程为y ＝2x 或19x ＋4y ＋27＝0. 方向3 求切点的坐标【例1－3】 曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为3，求点P 的坐标.解 设点P 的坐标为(x 0，x 30)，则有k ＝0lim x ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝0lim x ∆→ 3x 20Δx ＋3x 0（Δx ）2＋（Δx ）3Δx＝0lim x ∆→[3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2]＝3x 20.∴3x 20＝3，解得x 0＝±1.∴点P 的坐标是(1，1)或(－1，－1).规律方法 (1)求曲线上某点(x 0，y 0)处切线方程的步骤(2)求切点坐标可以按以下步骤进行 ①设出切点坐标；②利用导数或斜率公式求出斜率；③利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标； ④把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标. 题型二 求导函数【例2】 求函数f (x )＝x 2＋1的导函数. 解 ∵Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x ) ＝（x ＋Δx ）2＋1－x 2＋1 ＝2x Δx ＋（Δx ）2（x ＋Δx ）2＋1＋x 2＋1，∴Δy Δx ＝2x ＋Δx（x ＋Δx ）2＋1＋x 2＋1， ∴f ′(x )＝0lim x ∆→ ΔyΔx＝0lim x ∆→2x ＋Δx（x ＋Δx ）2＋1＋x 2＋1＝xx 2＋1. 规律方法 求解f ′(x )时，结合导数的定义，首先计算Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )，然后，再求解Δy Δx ，最后得到f ′(x )＝0lim x ∆→ Δy Δx .【训练1】 已知函数f (x )＝x 2－1，求f ′(x )及f ′(－1). 解 因Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x ) ＝(x ＋Δx )2－1－(x 2－1) ＝2Δx ·x ＋(Δx )2，故0lim x ∆→ ΔyΔx ＝0lim x ∆→ 2Δx ·x ＋（Δx ）2Δx ＝2x ，得f ′(x )＝2x ，f ′(－1)＝－2. 题型三 导数几何意义的综合应用【例3】 设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a ＜0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值.解 ∵Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝(x ＋Δx )3＋a (x ＋Δx )2－9(x ＋Δx )－1－(x 3＋ax 2－9x －1)＝(3x 2＋2ax －9)Δx ＋(3x ＋a )(Δx )2＋(Δx )3， ∴ΔyΔx ＝3x 2＋2ax －9＋(3x ＋a )Δx ＋(Δx )2，∴f ′(x )＝0lim x ∆→ Δy Δx ＝3x 2＋2ax －9＝3(x ＋a 3)2－9－a 23≥－9－a 23.由题意知f ′(x )最小值是－12， ∴－9－a 23＝－12，a 2＝9. ∵a ＜0，∴a ＝－3.规律方法 综合应用导数几何意义时的注意点(1)导数的几何意义是曲线的切线斜率，已知切点可以求斜率，已知斜率也可以求切点；(2)导数几何意义的综合应用题目的解题关键是求函数在某点处的导数，即切线的斜率，注意结合相关知识(如函数、方程、不等式等)求解.【训练2】 (1)已知函数f (x )在区间[0，3]上的图象如图所示，记k 1＝f ′(1)，k 2＝f ′(2)，k 3＝f (2)－f (1)，则k 1，k 2，k 3之间的大小关系为______________(请用“＞”连接).(2)曲线y ＝1x 和y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积是________.解析 (1)结合导数的几何意义知，k 1就是曲线在点A 处切线的斜率，k 2则为曲线在点B 处切线的斜率，而k 3则为割线AB 的斜率，由图易知它们的大小关系. (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x ，y ＝x 2，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1，故交点坐标为(1，1).曲线y ＝1x 在点(1，1)处切线方程为l 1：x ＋y －2＝0， 曲线y ＝x 2在点(1，1)处切线方程为l 2：2x －y －1＝0. 从而得S ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－12×1＝34.答案 (1)k 1＞k 3＞k 2 (2)34课堂达标1.若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A.a ＝1，b ＝1B.a ＝－1，b ＝1C.a ＝1，b ＝－1D.a ＝－1，b ＝－1解析 由题意，知k ＝y ′|x ＝0＝0lim x ∆→ （0＋Δx ）2＋a （0＋Δx ）＋b －bΔx ＝1，∴a ＝1.又(0，b )在切线上，∴b ＝1，故选A. 答案 A2.已知y ＝f (x )的图象如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A.f ′(x A )>f ′(x B )B.f ′(x A )<f ′(x B )C.f ′(x A )＝f ′(x B )D.不能确定解析 由导数的几何意义，f ′(x A )，f ′(x B )分别是切线在点A ，B 处切线的斜率，由图象可知f ′(x A )<f ′(x B ). 答案 B3.如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)等于________.解析 ∵点P (5，y )在直线y ＝－x ＋8上，∴f (5)＝3， 又由导数的几何意义可知，f ′(5)＝－1. ∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2. 答案 24.已知曲线y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16，则P 点坐标为________.解析 设点P (x 0，2x 20＋4x 0)，则f ′(x 0)＝0lim x ∆→ f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝0lim x ∆→ 2（Δx ）2＋4x 0·Δx ＋4ΔxΔx ＝4x 0＋4，令4x 0＋4＝16得x 0＝3，∴P (3，30). 答案 (3，30) 5.已知曲线y ＝x 2，(1)求曲线在点P (1，1)处的切线方程； (2)求曲线过点P (3，5)的切线方程. 解 y ′＝0lim x ∆→ （x ＋Δx ）2－x 2Δx＝0lim x ∆→ x 2＋2x ·Δx ＋（Δx ）2－x 2Δx ＝2x ，(1)曲线在点P (1，1)处的切线的斜率为y ′|x ＝1＝2. ∴曲线在点P (1，1)处的切线方程为 y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.(2)点P (3，5)不在曲线y ＝x 2上，设切点为(x 0，y 0)，则曲线在点(x 0，y 0)处的切线的斜率为y ′|x ＝x 0＝2x 0，∴切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)， 由P (3，5)在所求直线上得 5－y 0＝2x 0(3－x 0)，①再由A (x 0，y 0)在曲线y ＝x 2上得y 0＝x 20，② 联立①，②得，x 0＝1或x 0＝5. 从而切点A 的坐标为(1，1)或(5，25). 当切点为(1，1)时， 切线的斜率为k 1＝2x 0＝2， 此时切线方程为y －1＝2(x －1)， 即2x －y －1＝0，当切点为(5，25)时，切线的斜率为k 2＝2x 0＝10， 此时切线方程为y －25＝10(x －5)， 即10x －y －25＝0.综上所述，过点P (3，5)且与曲线y ＝x 2相切的直线方程为2x －y －1＝0或10x －y －25＝0.课堂小结1.导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝0lim x ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ＝f ′(x 0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.2.“函数f (x )在点x 0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f ′(x 0)是其导函数y ＝f ′(x )在x ＝x 0处的一个函数值.3.利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x 0，f (x 0))，表示出切线方程，然后求出切点.基础过关1.下列说法正确的是( )A.若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处就没有切线B.若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在C.若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D.若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线，则f ′(x 0)有可能存在解析 k ＝f ′(x 0)，所以f ′(x 0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为x ＝x 0. 答案 C2.在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是( )A.(0，0)B.(2，4)C.(14，116)D.(12，14)解析 ∵y ′＝0lim x ∆→ （x ＋Δx ）2－x 2Δx ＝0lim x ∆→ (2x ＋Δx )＝2x ，∴令2x ＝tan π4＝1，得x ＝12，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，所求点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14. 答案 D3.已知曲线y ＝13x 3上一点P (2，83)，则该曲线在P 点处切线的斜率为( ) A.4B.2C.－4D.8解析 因y ＝13x 3，得y ′＝0lim x ∆→ ΔyΔx ＝0lim x ∆→ 13（x ＋Δx ）3－13x 3Δx＝130lim x ∆→[3x 2＋3x ·Δx ＋(Δx )2]＝x 2，故y ′＝x 2，y ′|x ＝2＝22＝4，结合导数的几何意义知，曲线在P 点处切线的斜率为4. 答案 A4.已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析 由在点M 处的切线方程是y ＝12x ＋2， 得f (1)＝12×1＋2＝52，f ′(1)＝12. ∴f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3. 答案 35.过点P (－1，2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1，1)处的切线平行的直线方程是__________.解析 曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1，1)处的切线斜率 k ＝y ′|x ＝1＝0lim x ∆→ 3（1＋Δx ）2－4（1＋Δx ）＋2－3＋4－2Δx＝0lim x ∆→ (3Δx ＋2)＝2.∴过点P (－1，2)的直线的斜率为2， 由点斜式得y －2＝2(x ＋1)， 即2x －y ＋4＝0.∴所求直线方程为2x －y ＋4＝0. 答案 2x －y ＋4＝06.求曲线y ＝x 2在点(1，1)处的切线与坐标轴围成的三角形面积. 解 由导数定义可得y ′|x ＝1＝2，∴曲线y ＝x 2在点(1，1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1，则它与两坐标轴的交点分别为A (0，－1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，∴S △AOB ＝12|OA ||OB |＝14，即曲线y ＝x 2在点(1，1)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为14.7.已知直线l ：y ＝4x ＋a 和曲线C ：y ＝f (x )＝x 3－2x 2＋3相切，求a 的值及切点坐标.解 设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)， ∵f ′(x )＝0lim x ∆→f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx＝0lim x ∆→ （x ＋Δx ）3－2（x ＋Δx ）2＋3－（x 3－2x 2＋3）Δx ＝3x 2－4x ，∴k ＝f ′(x 0)＝3x 20－4x 0.由题意可知k ＝4，即3x 20－4x 0＝4，解得x 0＝－23或x 0＝2，∴切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927或(2，3). 当切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927时，有4927＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋a ， 解得a ＝12127.当切点为(2，3)时，有3＝4×2＋a ，解得a ＝－5.∴当a ＝12127时，切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927； 当a ＝－5时，切点坐标为(2，3).能力提升8.若曲线f (x )＝x 2的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )A.4x －y －4＝0B.x ＋4y －5＝0C.4x －y ＋3＝0D.x ＋4y ＋3＝0解析 由题意知，l 的斜率为4，设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝0lim x ∆→ （x 0＋Δx ）2－x 20Δx ＝0lim x ∆→ (2x 0＋Δx )＝2x 0＝4. ∴x 0＝2，则y 0＝x 20＝4，∴l 的方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.答案 A9.设f (x )为可导函数，且满足 f （1）－f （1－x ）2x＝－1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为( )A.2B.－1C.1D.－2解析0lim x → 12f （1）－f （1－x ）x ＝120lim x → f （1）－f （1－x ）x ＝12f ′(1)＝－1，∴f ′(1)＝－2.由导数的几何意义知曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为－2.答案 D10.若曲线y ＝2x 2－4x ＋m 与直线y ＝1相切，则m ＝________.解析 设切点坐标为(x 0，1)，则f ′(x 0)＝4x 0－4＝0，∴x 0＝1，即切点坐标为(1，1).∴2－4＋m ＝1，即m ＝3.答案 311.设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为________. 解析 ∵f ′(x )＝0lim x ∆→ （x ＋Δx ）2＋2（x ＋Δx ）＋3－（x 2＋2x ＋3）Δx ＝0lim x ∆→ （2x ＋2）·Δx ＋（Δx ）2Δx ＝0lim x ∆→ (Δx ＋2x ＋2)＝2x ＋2， ∴可设P 点横坐标为x 0，则曲线C 在P 点处的切线斜率为2x 0＋2.由已知得0≤2x 0＋2≤1，∴－1≤x 0≤－12，∴点P 横坐标的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12 12.已知抛物线y ＝x 2和直线x －y －2＝0，求抛物线上一点到该直线的最短距离. 解 法一 设P (x ，x 2)为抛物线上任意一点，则点P 到直线x －y －2＝0的距离为d ＝|x －x 2－2|2＝22⎪⎪⎪⎪⎪⎪－⎝⎛⎭⎪⎫x －122－74＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋728，所以当x ＝12时，d 最小，最小值为728.法二 由题意设直线x －y ＋b ＝0与抛物线y ＝x 2相切，则x 2－x －b ＝0，由Δ＝0得b ＝－14，所以直线x －y －14＝0与x －y －2＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－14＋22＝742＝728，所以抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728.法三 根据题意可知，与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)，则y ′|x ＝x 0＝0lim x ∆→ （x 0＋Δx ）2－x 20Δx ＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14，切点到直线x －y －2＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728，所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728.创新突破13.已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1，0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 2的方程；(2)求由直线l 1，l 2和x 轴所围成的三角形的面积.解 (1)∵y ′＝0lim x ∆→ Δy Δx ＝0lim x ∆→ （x ＋Δx ）2＋（x ＋Δx ）－2－（x 2＋x －2）Δx ＝2x ＋1， ∴y ′|x ＝1＝3，∴直线l 1的方程为y ＝3(x －1)，即y ＝3x －3.设直线l 2与曲线y ＝x 2＋x －2的切点为P (x 0，x 20＋x 0－2)，则直线l 2的方程为y －(x 20＋x 0－2)＝(2x 0＋1)(x －x 0).∵l 1⊥l 2，∴3(2x 0＋1)＝－1，x 0＝－23，∴直线l 2的方程为y ＝－13x －229.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3，y ＝－13x －229，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16，y ＝－52.又直线l 1，l 2与x 轴的交点坐标分别为(1，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，0， ∴所求三角形面积S ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－52×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋223＝12512.。