湖北省荆州中学、宜昌一中、龙泉中学三校联盟2020届高三4月联考
理科数学
一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知i 是虚数单位，若复数32,1i z i =−则z = A.1-i B.1+i C.-1- i D.-1+i
2.已知集合1{|
1},A x x =>B={x|y=lg(3-x)},则 A.A∩B=(-∞,1) B.A ∪B=(0,3) .()R C A C B ⋂=∅
.()[1,)R D C A B ⋃=+∞ 3.已知等差数列{},n a 其前n 项和为,n S 1593,a a a m ++=则679
2a a S −= .5m A .9m B 1.5C 1.9
D 4.已知,,a b R +∈则“ab>1”是“a+b>2”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.2019冠状病毒病(CoronaVirusDisease2019(COVID-19))是由新型冠状病毒(2019-nCoV)引发的疾病，目前全球感染者以百万计.我国在党中央、国务院、中央军委的坚强领导下,已经率先控制住疫情，但目前疫情防控形势依然严峻，湖北省中小学依然延期开学,所有学生按照停课不停学的要求，居家学习.小李同学在居家学习期间,从网上购买了一套高考数学冲刺模拟试卷，快递员计划在下午4:00~5:00之间送货到小区门口的快递柜中，小李同学父亲参加防疫志愿服务，按规定，他换班回家的时间在下午4:30~5:00,则小李父亲收到试卷无需等待的概率为
1.8A 1.4B 3.4C 7.8
D 6.已知[]x 表示不超过x 的最大整数(如[1.2]=1,[-0.5]=-1)，执行如图所示的程序框图输出的结果为 A.49850
B.49950
C.50000
D.50050
7.在二项式(121)2x x +7的展开式中有理项的项数为 A.1 B.2 C.3 D.4
8.函数2()sin f x x x x =+的图像大致为
9.已知定义在R 上的函数y=f(x)是偶函数,且图像关于点(1,0)对称.若当x ∈[0,1)时,()sin
,2f x x π=则函
数||()()x g x f x e −=−在区间[-2019,2020]上的零点个数为
A.1009
B.2019
C.2020
D.4039 10.已知函数2()sin cos ,[0,]f x x x x a =+∈的值域为[5
1,],4
则实数a 的取值范围是 .(0,]6A π .(0,]3B π .[,]62C ππ .[,]32D ππ
11.已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
−=>>的右焦点为F ，直线4x-3y=0与双曲线的右支交于点M ，若|OM|=|OF|，则该双曲线的离心率为
.3A B.2 .5C .6D
12.已知正方体1111ABCD A BC D −的棱长为1,P 是空间中任意一点,下列正确命题的个数是
①若P 为棱1CC 中点,则异面直线AP 与CD 所成角的正切值为
5;2 ②若P 在线段1A B 上运动，则1AP PD +的最小值为622
+ ③若P 在半圆弧CD 上运动，当三棱锥P-ABC 体积最大时，三棱锥P-ABC 外接球的表面积为2π; ④若过点P 的平面α与正方体每条棱所成角相等，则C 截此正方体所得截面面积的最大值为
33.4
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知(1,2),(0,3)a b ==−，则向量b 在向量a 方向上的投影为____
14.一般都认为《九章算术》是中国现存最古老的数学著作。
然而，在1983年底到1984年初，在荆州城西门外约1.5公里的张家山247号墓出土的《算数书》，比现有传本《九章算术》还早二百年。
某高校数学系博士研究生5人，现每人可以从《算数书》、《九章算术》、《周髀算经》、《孙子算经》、《缀术》等五部著作(每部著作有多本)中任意选择一部进行课题研究，则恰有两部没有任何人选择的情况有______种.(请用数字作答)
15.已知曲线2:8x y Γ=的焦点为F ，点P 在曲线Γ上运动,定点A(0,-2),则
||||PF PA 最小值为_____ 16.定义:若数列{}n t 满足1(),()
n n n n f t t t f t +'=−则称该数列为“切线-零点数列”.已知函2()f x x px q =++有两个零点1,2,数列{}n x 为“切线-零点数列”,设数列{}n a 满足122,ln
,2,1n n n n a x a x x −==>−数列{}n a 的前n 项和为,n S 则2020S =______
三、解答题:共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23为选考题，考生根据要求作答
(一)必考题:共60分。
17.(本题12分)
已知△ABC 的内角A,B,C 所对的边是a,b,c,且满足(a-b)sinA=csinC-bsinB.
(1)求角C;
(2)若1,2
AD AB =c=2,求CD 的最大值. 18.(本题12分)
在平行四边形EABC 中,4,22,
45o EA EC E ==∠=，D 是EA 的中点(如图1).将△ECD 沿CD 折
起到图2中△PCD 的位置，得到四棱锥P-ABCD.
（1）求证：CD ⊥平面PDA ；
（2）若PD 与平面ABCD 所成的角为60°，且△PDA 为锐角三角形，求平面PAD 和平面PBC 所成锐二面角的余弦值。
某学校为进一步规范校园管理，强化饮食安全，提出了“远离外卖，健康饮食”的口号.当然，也需要学校食堂能提供安全丰富的菜品来满足同学们的需求.在学期末，校学生会为了调研学生对本校食堂A部和B 部的用餐满意度，从在A部和B部都用过餐的学生中随机抽取了200人，每人分别对其评分，满分为100分.随后整理评分数据，将分数分成6组:第1组[40,50),第2组[50,60),第3组[60,70),第4组[70,80),第5组[80,90),第6组[90,100]，得到A部分数的频率分布直方图和B部分数的频数分布表.
（1）求A部得分的中位数（精确到小数点后一位）；
（2）A部为进一步改善经营，从打分在80分以下的前四组中，采用分层抽样的方法抽取8人进行座谈，再从这8人中随机抽取3人参与“端午节包粽子”实践活动，在第3组抽到1人的情况下，第4组抽到2人的概率；
（3）如果根据调研结果评选学生放心餐厅，应该评选A部还是B部（将频率视为概率）。
已知椭圆22:143
x y E +=的左焦点为.F 点M(-4,0),过M 的直线与椭圆E 交于A,B 两点，线段AB 中点为C ，设椭圆E 在A,B 两点处的切线相交于点P ，O 为坐标原点.
(1)证明:O 、C 、P 三点共线;
(2)已知A B ''是抛物线22(0)x py p =>的弦，所在直线过该抛物线的准线与y 轴的交点，P '是弦A B
''在两端点处的切线的交点,小明同学猜想:P '在定直线上.你认为小明猜想合理吗?若合理，请写出P '所在直线
方程;若不合理，请说明理由.
21.(本题12分)
设函数2()2ln(1).f x x x a x =+−+
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)设g(x)=f(x)+e -x .若;1()1
g x x >
+在(0,+∞)上恒成立,求a 的取值范围.
(二)选考题:共10分。
请考生在22、23两题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](本题10分)
在平面直角坐标系xOy,以坐标原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是2
cos21,ρθ=直线l 的参数方程为33x t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩ (t 为参数).
(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程;
(2)设点P 的直角坐标为(3,0),−直线l 与曲线C 相交于A,B 两点,求
11.||||
PA PB + 23.[选修4-5:不等式选讲](本题10分)
已知函数f(x)=|x-1|+2|x-2|(x ∈R),记f(x)的最小值m.
(1)解不等式f(x)≤5;
(2)若a+2b+3c=m,求222a b c ++的最小值.。