数字信号处理课程设计设计题目半带FIR低通滤波器设计题目编号 0205 学院名称电气学院指导教师班级学号学生姓名目录一．半带滤波器的概述 (1)二．半带FIR滤波器的性质及设计方法 (1)2.1半带FIR滤波器的性质 (1)2.2半带滤波器的设计方法 (2)2.3滤波器指标的确定 (3)2.4手工计算 (4)三．在MATLAB中仿真 (4)3.1滤波器的系数 (4)3.2半带FIR滤波器的频率特性曲线 (4)3.3基于MATLAB的幅频响应曲线 (5)四．滤波器的结构不同对性能指标的影响 (6)4.1利用直接型结构构建滤波器 (6)4.2利用级联型结构构建数字滤波器 (7)五．参数字长对性能指标的影响 (8)5.1参数字长取2位对性能指标的影响 (8)5.2参数字长取8位对性能指标的影响 (8)5.3参数字长取12位对性能指标的影响 (9)5.4参数字长取14位对性能指标的影响 (9)5.5结论 (9)六．心得体会 (9)七．参考文献 (10)八．附录 (10)1半带FIR 低通滤波器的设计一．半带滤波器的概述在数字滤波器的设计过程中，为了能够有效地进行抽取滤波，往往采用多级抽取的方法，这就需要采用内插和抽取的原理。
如果对滤波器进行M 倍抽取，则输出的采样频率是输入采样频率的I ／M ；如果对滤波器进行M 倍内插，则输出的采样频率是输入采样频率的M 倍。
半带滤波器是一种基于抽取和内插原理的滤波器，它是一种特殊的低通FIR(有限冲激响应)数字滤波器——一种抽取因子为2的抽取滤波器，这种滤波器由于通带和阻带相对于二分之一Nyquist 频率对称，因而有近一半的滤波器系数为O 。
由于系数为0的部分在运算的过程中不需要消耗运算量，所以运算量减少了一半，使实际滤波过程中的运算量大幅度减少。
因此计算的效率高，实时性比较强，有利于滤波运算的实时实现，多速率信号处理中有着特别重要的地位，并且得到了广泛的应用。
二．半带FIR 滤波器的性质及设计方法2.1半带FIR 滤波器的性质图1为抽取因子为2的半带滤波器的框图，其中:)(z H h 为抽取滤波器，s f 为输入采样2/1s s f f =为输出采样率。
图1 抽取因子为2的半带滤波器框图现在考虑频率特性如图2所示的一种特殊的FIR 滤波器，即为半带FIR 滤波器，它具有如下的特性：（1）通带纹波p δ和阻带纹波s δ相等，即s p δδ=；（2）通带边频p F 和阻带边频s F 相对于4/s f 对称，即2/s s p f F F =+，用数字频率表示为：πωω=+s p 。
f sx(n)H h (z)f s22/1s s f f =2 2.2半带滤波器的设计方法设计滤波器的过程中，根据滤波器的冲击响应)(n h 和节数N ，有以下4种类型的滤波器：（1）类型I :)(n h 偶对称，N 为偶数，4种滤波器都可以设计。
（2）类型II ：)(n h 偶对称，N 为奇数，可以用来设计低通和带通滤波器，不可以用来设计高通和带阻滤波器。
（3）类型III ：)(n h 奇对称，N 为偶数，只能用来设计带通滤波器，其他类型的滤波器都不可以设计。
（4）类型IV :)(n h 奇对称，N 为奇数，可以用来设计高通和带通滤波器，不可以用来设计低通和带阻滤波器。
根据图2可以看出半带FIR 滤波器是一种特殊的低通滤波器，并且其相位要求是线性的，这里采用类型II 进行设计，即：)1()(n N h n h --=式中N 为滤波器的节数，且为奇数。
对于这种N 为奇数的偶对称FIR 滤波器，其频率响应H （e jw )可以表示为： H h (e jw )=H h (ω)e -jw(N-1)/2 式中：s f f /2πω=，为相对数字频率；∑-==2/)1(0)cos()()(N n h n n a H ωω (1)由线性相位FIR 滤波器性质可知其系数首先要满足：)21()0(-=N h a )21(2)(n N h n a --= n=1,2,...,21-N其次，由半带滤波器的定义πωω=+s p ，s p σσ=和图2可以得到： )()(ωπω-+h h H H =1 (2) 将（1）式带到（2）式中得：∑-=-+2/)1(0)]cos())[cos((N n n n n n a ωπω=∑-=2/)1(0))[cos((N n n n a ω+（-1）n)]cos(n ω3=∑-2/)1()cos()(2N n n n a 为偶数项ω=1故有：5.0)21()0(=-=N h a 0]22/)1[()2(=--=n N h n a n=1,2,...,41-N 上式表明：半带滤波器除了21-=N n 点外，所有a(n)的偶次系数均为0，滤波器系数集的形式为：)(n h ={x,0,x,0,...,x,0.5,x,0,...,0,x}设计半带FIR 数字滤波器有窗函数法和频率采样法2种方法，这里采用窗函数法来设计半带FIR 滤波器。
图2给出了半带滤波器的设计参数)(p p F ω和)(s s F ω以及s p δδ=。
由图2可知：在用窗函数法设计半带滤波器时，其理想幅频特性可以表示为：H h (e jw )=｛可求得：⎰-=2/2/21)(πππe n h d -jaw e jwn ωd =)()(2sin a n a n -⎥⎦⎤⎢⎣⎡-ππ,其中，21-=N a 。
其次是选择窗函数，为了满足半带滤波器对p F ,s F 及s p δδ=的要求，这里利用Kaiser 窗进行设计。
2.3滤波器指标的确定（1）计算过度带：p s ωωω-=∆ （2）确定滤波器阶数N ：1285.28lg 20+∆--≥ωδN ， N 取奇数（3）计算凯塞窗：)())112(1()(020ββωI N nI n k ---= ，10-≤≤N n 式中：e -jaw 2πω≤πωπ≤≤24 其中，s s A δlg 20-=，为阻带最小衰减。
（4）求滤波器系数：)()()(n n h n h k d ω=， 10-≤≤N n 2.4手工计算设采样频率s F =16kHz,滚降dB a roll 60=，通带截止频率p ω=0.375π，阻带截止频率s ω=0.625π，由公式ωπ2sF f =可将截止频率的单位转换为Hz,再将其除以采样频率s F 转化为归一化频率，则： （1）通带截止频率:p f =3kHz; （2）阻带截止频率：s f =5kHz;（3）过渡带宽度：p s t B ωωω-=∆=π25.0=； （4）通带最大衰减：)11lg(20ppp a δδ-+==1dB （5）阻带最小衰减：s a =s δlg 20-=roll p a a +=61dB （6）滤波器的阶数：11=N（7）凯塞窗的控制参数β：)7.8(112.0-=s a β=5.7456三．在MATLAB 中仿真3.1滤波器的系数利用fir1函数来设计滤波器，得出的结果如下：图3 h(n)计算值3.2半带FIR 滤波器的频率特性曲线3.3基于MATLAB的幅频响应曲线图4半带FIR滤波器的幅频响应曲线5四．滤波器的结构不同对性能指标的影响在MATLAB中可以利用FDATOOL工具箱构建不同类型的数字滤波器。
设单位脉冲响应的长度为N，由之前算出的h(n)可得出系统函数为：∑+ =-=1) ()(Nnnz nhzH=0.00121-z+0.00002-z-0.03793-z+0.00004-z+0.28665-z+0.50026-z+0.28667-z+0.00008-z-0.03799-z+0.000010-z+0.001211-z4.1利用直接型结构构建滤波器FIR网络结构特点是没有反馈支路，即没有环路，其单位脉冲响应是有限长的。
选择filter structure选项框中Direct-Form I选项，点击窗口下方的Import Filter 按钮，构建直接型的半带FIR低通滤波器，结果如图所示：图5 直接型结构的滤波器幅频响应由图可以得滤波器技术指标（sp ff,单位为kHz p a,s a单位为dB),如表1所示：6性能指标初始设计指标仿真后设计参数∆相对误差f3 3.5156 0.5156 17.18%p5 5.0625 0.0625 1.25%fs1 1.0635 0.0635 6.35%apa61 62.814 1.814 2.97%s表1 直接型结构滤波器对性能指标的影响由图6和表1可以看出，滤波器幅频曲线在通带和阻带内波动幅度不太均匀，p f比初始设计高了0.5156，而s f却比初始设计值高了0.0625，通带最大衰减p a比初始设计高了0.0635dB,阻带最小衰减s a比初始设计高了1.814dB。
4.2利用级联型结构构建数字滤波器选择Edit下拉菜单中Convert to Second-order Sections选项，将构建好的Direct-Form I结构的半带FIR低通滤波器转换为级联滤波器，结果如图所示：图6 级联型结构的滤波器幅频响应图由图可以得级联型结构的滤波器技术指标（sf,单位kHz p a,s a单位为dB)如表2所示：p f性能指标初始设计指标仿真后设计参数∆相对误差3 3.4843 0.4843 16.14%fp5 4.9843 -0.0157 0.31%fs1 0.9134 -0.0686 6.86%ap61 61.7729 0.7729 1.27%as7由图6和表2中可以看出，滤波器幅频曲线在通带和阻带内波动比直接型结构滤波器幅频曲线误差小，通带最大衰减p a比初始值低了0.0686dB,阻带最小衰减s a比初始值高了0.07729dB,p f比初始值高了0.4843，s f比初始设计值低了0.0157。
五．参数字长对性能指标的影响在实际的数字滤波器的设计中，由于计算机或DSP芯片等的字长和存储空间有限，所以也只能对设计参数取有限的字长进行设计，然而，如果字长太短，设计的滤波器误差就会太大，造成滤波效果不佳。
下面研究不同参数字长对性能指标的影响。
将计算获得的半带FIR低通滤波器的系数输入FDATOOL 中的filter coefficients 工具中，点击Import Filter按钮，生成数字滤波器，运用Set quantization parameters 按钮，在filter arithmetic下拉菜单下选择Fixed Point选项，通过改变coefficient word length的值可以改变构建滤波器的参数字长，图中虚线为供参考的理想字长下生成的滤波器的幅频响应曲线，实现为改变参数字长后的滤波器幅频响应曲线。