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Probability
三 多服务台排队模型
M/M/c
所有服务台是空的概率P0,和所有服务台都在忙 的概率 P,需要下面比较复杂的公式。
, c
(c ) (c ) P0 c !(1 ) n 0 n !
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一 排队论的基本概念
1.排队系统
排队 服务窗
顾客源
排队规则
服务规则
排队系统 1.顾客是怎 样到达的 2.顾客是怎 样排队的 3.顾客是怎 样接受服务
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2. 排队系统的三个基本要素
输入过程 排队规则 服务窗
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2.排队系统的三个基本要素 一、输入过程 顾客到达时间间隔可分确定型（如定期航班） 和随机型（看病的病人） 顾客源可以有限或无限 顾客到达系统的方式可以逐个或成批 顾客到达系统可以是独立的或者相关的，输 入过程可以是平稳、马氏、齐次的等
1 (c ) n P0 ,0 n c n! Pn c c nP , c n N 0 c!
Lq Wq
n c 1
(n c) P , L L
n
N
q
c (1 PN ) 1
Lq
(1 PN )
,W Wq

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排队系统的最优化问题
1.模型M/M/1中的最优服务率μ 设目标函数：z=csμ+cWL 即 z=csμ+cW 令 dz =0 ￣ dμ λ μ-λ
cw ，可得最优解μ*= cs
￣
即最优服务率。
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2.模型M/M/c中的最优服务台数
在稳态时，单位时间内每服务台的成本费为cs,每个顾客在
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2 学习排队论的目的
1.求出各种排队系统的规律性，使设计人员掌 握这种规律，设计出最优化的排队系统； 2.使管理人员掌握这种规律，调整与控制排队 系统使它处于最佳运营状态
design & analysis
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主要内容
一 排队论的基本概念
三 单服务台的排队模型 四 多服务台的排队模型 五 案例分析
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2.排队系统的三个基本要素 服务规则 先到先服务 后到先服务 随机选择服务 优先级服务（特快专递）
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2.排队系统的三个基本要素 三、服务窗 窗口个数可一个或多个 多个服务窗时，顾客可以平行多队排列，串 列或者串并同时存在的混合排队 一个服务窗可以为单个顾客或成批顾客进行 服务 各窗口的服务时间可为确定型或随机型。服 务时间往往是平稳的
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2.排队系统的三个基本要素 二、排队规则 损失制－ 顾客到达系统时，如果系统中所有 服务窗均被占用，则到达的顾客随即离去 等待制－ 顾客到达系统时，如果所有服务窗 均被占用，则系统能够提供足够的排队空间让 顾客排队等待 混合制－ 是损失制与等待制混合组成的排队 系统，此系统仅允许有限个顾客等候排队，其 余顾客被拒绝
0.16 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0 2 4 6 8 10 12 14
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Probability
16 18 20 22 24 NUMBER IN SYSTEM
26
28
30
32
34
36
38
40
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M/M/c/N/∞ (系统容量有限的服务系统)
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负指数分布
随机变量 T 密度函数 分布函数 均值 方差
et for t 0 fT (t ) for t 0 0 P(T t ) 1 et fT(t)
2 1 Var(T )
E (T )
1

E (T )
先到先服务；
★服务时间为相互独立的参数为μ的负指数分布。
♂ ※
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1. M/M/1 模型 （Ls, Ws, Lq, Wq）
: 服务强度（单位时间内被服务完的顾客数与
请求服务的顾客数之比值）
P0 1 系统的稳态概率： Pn (1 ) n , n 1
Utilization P(0), probability that the system is empty Lq, expected queue length L, expected number in system Wq, expected time in queue W, expected total time in system
0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 NUMBER IN SYSTEM 26 28 30 32 34 36 38 40
74.94% 0.2506 1.2294 1.9788 0.2734 0.4401 0.7494 0.1007
数学建模之
---排队论方法
（Queueing Theory）
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1 排队现象
有形的队伍 超市出口处排队付款 餐厅排队买饭 银行排队等待服务 …… 无形的队伍 114查号台等待服务 网络中数据包传输 …… 某些系统也可能根本不允许排队 交换机处理呼叫 …
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M/M/1/N/ 举例
M/M/s ith Finite Queue
Arrival rate 5 Service rate 6 Number of servers 1 Maximum queue length 4 Utilization P(0), probability that the system is empty Lq, expected queue length L, expected number in system Wq, expected time in queue W, expected total time in system Probability that a customer waits Probability that a customer balks
(1 ) n , 1, n 0,1,2,.., N N 1 1 Pn 1 , 1, n 0,1,2,...,N N 1
( N 1) N 1 L , 1 N 1 1 1

Lq L (1 P0 ) L W (1 P0 ) Wq W 1
c 1 n c 1
(c )c P0 P c !(1 ) P P Lq , L c 1 1 L 1 W , Wq W


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M/M/c 举例
M/M/s queuing computations
Arrival rate Service rate Number of servers 10 6 2 83.33% 0.0909 3.7879 5.4545 0.3788 0.5455
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排队系统的三大要素 就是排队系统的已知条件
输入过程 顾客到达间隔时间的分布 排队规则 队列允许的最大长度 (以便确定系统最大容量n） 服务窗 服务窗个数 m 顾客占用服务窗时间的分布
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3. 排队模型的分类与记号
通常用3~5个字母X/Y/Z/m/N/C来表示排队模型 X 顾客相继到达系统的间隔时间 t 的概率分布类型 Y 为服务窗口所耗费的服务时间 的概率分布类型 Z 并行工作的服务机构内服务窗的个数 m 系统内最大排队容量或顾客在系统中排队所允许的 最大长度（包括正在服务和排队等待的顾客） N 顾客的最大数量，如果不写则表示顾客源为 C此排队模型的服务规则
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(Kleinrock) "We study the phenomena of standing, waiting, and serving, and we call this study Queueing Theory." "Any system in which arrivals place demands upon a finite capacity resource may be termed a queueing system."
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队长：L= ρ = λ 1-ρ μ-λ ￣ ￣ 排队长： q=ρλ L μ-λ
￣
1 逗留时间：W= μ-λ ρ 等待时间： q= W μ-λ
￣ ￣
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Little’s formula
L W
Lq Wq
W Wq 1
L Lq
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M/M/1 举例
M/M/s queuing computations
Arrival rate Service rate Number of servers 5 6 1 83.33% 0.1667 4.1667 5.0000 0.8333 1.0000
Utilization P(0), probability that the system is empty Lq, expected queue length L, expected number in system Wq, expected time in queue W, expected total time in system
0.2
Probability
0.15 0.1 0.05 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 NUMBER IN SYSTEM 26 28 30 32 34 36 38 40