第3节 理想气体的状态方程1.理想气体：在任何温度、任何压强下都遵从气体实验定律的气体，实际气体在压强不太大、温度不太低时可看作理想气体。
2．理想气体状态方程：p 1V 1T 1＝p 2V 2T 2或pVT＝C 。
3．适用条件：一定质量的理想气体。
一、理想气体 1．定义在任何温度、任何压强下都严格遵从气体实验定律的气体。
2．理想气体与实际气体在温度不低于零下几十摄氏度、压强不超过大气压的几倍时，可以把实际气体当成理想气体来处理。
如图831所示。
图831二、理想气体的状态方程 1．内容一定质量的某种理想气体，在从一个状态变化到另一个状态时，压强跟体积的乘积与热力学温度的比值保持不变。
2．公式p 1V 1T 1＝p 2V 2T 2或pVT＝C (恒量)。
3．适用条件一定质量的理想气体。
1．自主思考——判一判(1)实际气体在常温常压下可看作理想气体。
(√)(2)一定质量的理想气体从状态1变化到状态2，经历的过程不同，状态参量的变化不同。
(×)(3)pV T＝C 中的C 是一个与气体p 、V 、T 有关的常量。
(×) (4)一定质量的气体，体积、压强不变，只有温度升高。
(×) (5)一定质量的气体，温度不变时，体积、压强都增大。
(×) (6)一定质量的气体，体积、压强、温度都可以变化。
(√) 2．合作探究——议一议(1)在实际生活中理想气体是否真的存在？有何意义？提示：不存在。
是一种理想化模型，不会真的存在，是对实际气体的科学抽象。
(2)对于一定质量的理想气体，当其状态发生变化时，会不会只有一个状态参量变化，其余两个状态参量不变呢，为什么？提示：不会。
根据理想气体状态方程，对于一定质量的理想气体，其状态可用三个状态参量p 、V 、T 来描述，且pV T＝C (定值)。
只要三个状态参量p 、V 、T 中的一个发生变化，另外两个参量中至少有一个会发生变化。
故不会发生只有一个状态参量变化的情况。
(3)在理想气体状态方程的推导过程中，先后经历了等温变化、等容变化两个过程，是否表示始末状态参量的关系与中间过程有关？提示：中间过程只是为了应用学过的规律(如玻意耳定律、查理定律等)，研究始末状态参量之间的关系而采用的一种手段，结论与中间过程无关。
理想气体状态方程的应用1．理想气体状态方程的分态式(1)一定质量的理想气体的pV T 值，等于其各部分pV T 值之和。
用公式表示为pV T ＝p 1V 1T 1＋p 2V 2T 2＋…＋p n V nT n。
(2)一定质量理想气体各部分的pV T值之和在状态变化前后保持不变，用公式表示为p 1V 1T 1＋p 2V 2T 2＋…＝p 1′V 1′T 1′＋p 2′V 2′T 2′＋… (3)当理想气体发生状态变化时，如伴随着有气体的迁移、分装、混合等各种情况，使用分态式会显得特别方便。
2．气体密度方程p 1ρ1T 1＝p 2ρ2T 2对于一定质量的理想气体，在状态(p 1 、V 1、T 1)时密度为ρ1，则ρ1＝m V 1。
在状态(p 2、V 2、T 2)时密度为ρ2，则ρ2＝m V 2。
将V 1＝m ρ1、V 2＝m ρ2代入状态方程p 1V 1T 1＝p 2V 2T 2得p 1ρ1T 1＝p 2ρ2T 2，此方程与质量无关，可解决变质量问题。
3．应用状态方程解题的一般步骤(1)明确研究对象，即一定质量的理想气体；(2)确定气体在始末状态的参量p 1、V 1、T 1及p 2、V 2、T 2； (3)由状态方程列式求解； (4)讨论结果的合理性。
[典例]如图832所示，一水银气压计管顶距槽内水银面950 mm ，由于管内混入气泡致使读数不准，温度为t ＝0 ℃、大气压为760 mmHg 时，气压计读数h 1＝740 mmHg 。
(1)当温度t ＝27 ℃时，气压计读数为h 2＝750 mmHg ，此时大气压强是多少？ (2)用公式表示出任一温度t ℃和管内水银柱高h 时，对该气压计的修正值Δh 。
图832[解析] 选取管上端封闭的气体为研究对象，分别写出在温度为0 ℃和27 ℃两种状态下的状态参量，然后应用理想气体状态方程求解。
(1)管内气体在t 1＝0 ℃时的状态参量为：p 1＝760 mmHg －740 mmHg ＝20 mmHg ， V 1＝(950－740)S ＝210S ， T 1＝273 K ；管内气体在27 ℃时的状态参量为：V 2＝(950－750)S ＝200S ， T 2＝300 K ；由理想气体状态方程p 1V 1T 1＝p 2V 2T 2得：p 2＝p 1V 1T 2T 1V 2＝20×210S ×300273×200SmmHg≈23 mmHg。
所以在t ＝27 ℃时的大气压强为：p 0＝750 mmHg ＋23 mmHg ＝773 mmHg 。
(2)管内气体在任一温度t ℃时的状态参量为：p 3＝Δh mmHg ， V 3＝(950－h )S ， T 3＝(273＋t )K 。
由理想气体状态方程p 1V 1T 1＝p 3V 3T 3得： 20×210S 273＝Δh 950－hS273＋t ，所以气压计的修正值为Δh ＝15.38273＋t 950－h mmHg 。
[答案] (1)773 mmHg (2)15.38273＋t950－hmmHg理想气体状态方程的应用要点(1)选对象：根据题意，选出所研究的某一部分气体，这部分气体在状态变化过程中，其质量必须保持一定。
(2)找参量：找出作为研究对象的这部分气体发生状态变化前后的一组p 、V 、T 数值或表达式，压强的确定往往是个关键，常需结合力学知识(如力的平衡条件或牛顿运动定律)才能写出表达式。
(3)认过程：过程表示两个状态之间的一种变化方式，除题中条件已直接指明外，在许多情况下，往往需要通过对研究对象跟周围环境的相互关系的分析才能确定，认清变化过程是正确选用物理规律的前提。
(4)列方程：根据研究对象状态变化的具体方式，选用气态方程或某一实验定律，代入具体数值，T 必须用热力学温度，p 、V 的单位需统一，但没有必要统一到国际单位，两边一致即可，最后分析讨论所得结果的合理性及其物理意义。
1．已知湖水深度为20 m ，湖底水温为4 ℃，水面温度为17 ℃，大气压强为1.0×105Pa 。
当一气泡从湖底缓慢升到水面时，其体积约为原来的(取g ＝10 m/s 2,ρ＝1.0×103 kg/m 3)( )A ．12.8 倍B ．8.5 倍C ．3.1 倍D ．2.1 倍解析：选C 对气泡内气体：在湖底处p 1＝p 0＋ρgh ，V 1，T 1＝277 K在水面时，p 2＝p 0，V 2，T 2＝290 K由理想气体状态方程：p 1V 1T 1＝p 2V 2T 2代入数据得V 2V 1＝p 1T 2p 2T 1≈3.1故C 对。
2.如图833所示，粗细均匀的、一端封闭一端开口的U 形玻璃管，当t 1＝31 ℃、大气压强p 0＝1 atm 时，两管水银面相平，这时左管被封闭气柱长l 1＝8 cm 。
求：图833(1)当温度t 2等于多少时，左管气柱长l 2为9 cm?(2)当温度达到上问中温度t 2时，为使左管气柱长l 3为8 cm ，则应在右管再加多高的水银柱？解析：(1)取左管中气体为研究对象，初状态p 1＝1 atm ＝76 cmHg ，T 1＝t 1＋273 K ＝304 K ，V 1＝l 1S ＝(8 cm)·S (设截面积为S )，因为左管水银面下降1 cm ，右管水银面一定上升1 cm ，则左右两管高度差为2 cm ，因而末状态p 2＝(76＋2)cmHg ＝78 cmHg ，V 2＝(9 cm)·S 。
由p 1V 1/T 1＝p 2V 2/T 2，代入数据解得T 2＝351 K ，从而知t 2＝78 ℃。
(2)在78 ℃情况下，气柱长从9 cm 减小到8 cm ，体积减小，压强一定增大，即压强大于78 cmHg ，故要往右管加水银。
由p 1V 1/T 1＝p 3V 3/T 3，且V 1＝V 3，T 2＝T 3有：p 3＝p 1T 3/T 1＝76×(273＋78)/(273＋31)cmHg ＝87.75 cmHg ，故应在右管加水银柱(87.75－76)cm ＝11.75 cm 。
答案：(1)78 ℃ (2)11.75 cm理想气体三种状态变化的图像一定质量的气体不同图像的比较 名称图像特点其他图像等温线pVpV＝CT(C为常量)即pV之积越大的等温线对应的温度越高，离原点越远p1Vp＝CTV，斜率k＝CT，即斜率越大，对应的温度越高等容线pTp＝CVT，斜率k＝CV，即斜率越大，对应的体积越小pt图线的延长线均过点(－273,0)，斜率越大，对应的体积越小等压线VTV＝CpT，斜率k＝Cp，即斜率越大，对应的压强越小VtV与t成线性关系，但不成正比，图线延长线均过点(－273,0)，斜率越大，对应的压强越小[典例] 一定质量的理想气体由状态A变为状态D，其有关数据如图834甲所示，若状态D的压强是2×104 Pa。
图834(1)求状态A的压强。
(2)请在乙图中画出该状态变化过程的p T 图像，并分别标出A 、B 、C 、D 各个状态，不要求写出计算过程。
[思路点拨]由V T 图得A 、B 、C 、D 温度和体积→理想气体状态方程→A 、B 、C 、D 的压强→描点、连线[解析] (1)据理想气体状态方程：p A V A T A ＝p D V DT D， 则p A ＝p D V D T A V A T D ＝2×104×4×2×1021×4×102Pa ＝4×104Pa 。
(2)A →B 等容变化、B →C 等温变化、C →D 等容变化，根据理想气体状态方程可求得各状态的参量。
p T 图像及A 、B 、C 、D 各个状态如图所示。
[答案] (1)4×104Pa (2)见解析图一般状态变化图像的处理方法基本方法，化“一般”为“特殊”，如图835是一定质量的某种气体的状态变化过程A →B →C →A 。