识确定了 Pm,2 的环绕数、交叉数和解结数，最后研究了 Pm,2 的着色，得到了 Pm,2 是 p（ p 是
素数）可着色的充分必要条件，通过求解模 p 的线性方程组给出了 Pm,2 的一个 p 可着色方
案，还探讨了它的最小着色数。
2．莫比乌斯带分割的结构
在这一节首先给出莫比乌斯带1 / n 分割和 n 等分分割的结构，这包括分割后新带环的链
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构可以用一个纸带扭转半圈再把两端粘上之后制作出来，如图 1 所示。
图 1 莫比乌斯带的形成
莫比乌斯带（Möbius Band）是最具代表性的单侧曲面之一，它不但有许多神奇的拓扑 结构和性质，而且在多个学科都有着十分广泛的应用[1-4]。
莫比乌斯带有多种定义方式[2,5,6]，也可以用参数方程表示，其中最常见的一个表达式为：
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3．Paradromic 环分割的结构与拓扑性质
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3.1 Paradromic 环分割的结构
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3.2 Paradromic 环分割的拓扑性质
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4 总结
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参考文献
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附录
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莫比乌斯带分割的结构与拓扑性质
摘要：莫比乌斯带（Möbius Strip）是最具代表性的单侧曲面之一，它不但有许多神奇的拓
(1) A model of Möbius strip can be created by taking a paper strip and giving it a half-twist, and then joining the ends of the strip together to form a loop. Cutting a Möbius strip differently yields different strips including different length, width and half-twists. The structures of these
把一个矩形纸带扭转 m （ m ≥ 1是任意正整数）个半圈再把两端粘上之后得到的一个带
环称为Paradromic环。对Paradromic环分割也得到了相应的包括链接关系、长度、宽度、扭
转度数和单双侧等性质的结论，推广了莫比乌斯带分割的结果。
（2）利用纽结理论继续探讨Paradromic环1 / 2 分割得到的带环（记为 Pm,2 ）的拓扑结构 和其它拓扑性质。首先证明了 Pm,2 等价于 (m, 2) − 环面链环 Tm,2 。然后确定了 Pm,2 的环绕数、 交叉数和解结数。最后研究了 Pm,2 的着色，得到了 Pm,2 是 p （ p 是素数）可着色的充分必 要条件，通过求解模 p 的线性方程组给出了 Pm,2 的一个 p 可着色方案，还探讨了它的最小
(2) Denote the result of bisecting a Paradromic ring with m half-twists by Pm,2 . The
topological structures and properties are investigated using knot theory. Firstly, it is proved that
strips are given respectively after 1 / n cutting and n equally cutting of a Möbius strip.
Moreover, the results are generalized to the dissection of Paradromic rings with extra twists.
原处），另一种是 n 等分分割（即从宽边的 n 等分线沿长边切割）。
链接关系表示两个或者多个带环之间彼此独立分开还是相互环绕连结的关系，准确的描 述在第 3 节通过链环的环绕数给出。对于纸带以及纸带扭转形成的莫比乌斯带的长度和宽度 与通常理解一致，而参数方程定义的莫比乌斯带模型的长度和宽度一般分别指其中心圆的周
长和参数 s 取值区间的长度。扭转度数为 mπ （ m 是正整数，π = 1800 ），也可称为扭转半
圈数为 m 。
在光滑曲面上任意取一点，在该点垂直于曲面（曲面的切平面）的法线有两个可能的方 向，选定其中一个方向，当该点在曲面上连续变动时相应的法向量也随之连续移动。如果该 点在曲面上沿任一“封闭曲线”连续地移动一周后（不跨越曲面的边界）回到原来的位置时， 相应的法向量的方向与原方向相同，就称该曲面是一个双侧曲面；如果相应的法向量的方向 与原方向相反，就称该曲面是一个单侧曲面。莫比乌斯带是单侧曲面[5,6]，参考图1和图2。
sufficient and necessary condition, the coloring scheme, and the minimum number of colors for
p coloring are given respectively.
Keywords: Möbius strip；Paradromic ring；dissection；structure；torus link；topological properties
接关系、长度、宽度、扭转度数、单双侧等性质，然后在此基础上对 Paradromic 环分割也 得到了推广的结果。
首先给出有关定义，并对概念进行说明和解释。 莫比乌斯带是通过一个矩形纸带扭转半圈再把两端粘上之后得到的一个环带，设纸带的
长度为 l ，宽度为 w ，扭转度数为π (π = 1800 ) 。 考虑两种分割方式，一种是1 / n 分割（即从距带边1 / n 宽度处沿长边切割，直至回到
⎧x = (r + s cos(t / 2)) cos t
⎪ ⎨
y
=
(r
+
s
cos(t
/
2))
sin
t
⎪⎩ z = s sin(t / 2)
其中 s ∈ (−w / 2, w / 2), t ∈[0, 2π ) 。相当于质点 P 在平面 z = 0 上绕着原点作角速度为ω 的
圆周运动（半径为 r ），同时，长为 w 的线段又在 z 轴和 P 决定的平面上绕着 P 作角速度为 ω / 2 的圆周运动（ P 是线段的中点），则线段的运动轨迹产生一个莫比乌斯带，带的宽度
在第2节首先给出了莫比乌斯带1 / n 分割和 n 等分分割的结构，这包括分割后新带环的
链接关系、长度、宽度、扭转度数、单双侧等性质，然后在此基础上对Paradromic环分割也
得到了推广的结果。在第3节继续探讨Paradromic环1 / 2 分割得到的带环（记为 Pm,2 ）的结
构和其它拓扑性质。首先证明了 Pm,2 等价于 (m, 2) − 环面链环 Tm,2 ，然后利用纽结理论和知
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1．引言
莫比乌斯带（Möbius strip或者Möbius band），又译默比斯环或麦比乌斯带，是一种拓扑
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结构，它只有一个面（表面），和一个边界。它是由德国数学家、天文学家莫比乌斯（August
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Ferdinand Möbius）和约翰·李斯丁（Johhan Benedict Listing）在1858 年独立发现。这个结
扑结构和性质，而且在多个学科都有着十分广泛的应用。虽然大多数人在小学就知道莫比乌
斯带的剪开（分割）会产生无数有趣的令人意想不到的带环，但是究竟这些带环之间的结构
如何以及计数有什么规律仍然是一个未知而且极具吸引力的斯带进行不同方式分割后得到的各种结构和拓扑性质。通过
割（即从距带边1 / n 宽度处沿长边切割，直至回到原处），另一种为 n 等分分割（即从宽边
的 n 等分线沿长边切割）。莫比乌斯带分割后得到的带环的结构见下表。
分割方式
个数 链接关系 长度 宽度
扭转度数 单双侧
1/ n n = 2 分割 n ≠ 2
1
1
链接
2l w / 2 2l w / n
4π
双侧
4π
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2.1 莫比乌斯带1 / n 分割与 n 等分分割的情形 定理1给出莫比乌斯带1 / n 分割与 n 等分分割后得到的新带环的结构，见表1。例如，长
分割实验和Matlab软件绘图等方法，得出莫比乌斯带经过分割后形成的结构的规律，再经过
分析推理证明了所得结构，并利用纽结理论确定了它的拓扑性质。主要结论如下：
（1）莫比乌斯带是通过一个矩形纸带扭转半圈再把两端粘上之后得到的一个带环。设
纸带的长度为 l ，宽度为 w ，扭转度数为π (π = 1800 ) 。考虑两种分割方式，一种为1 / n 分
为 w ，其中心圆的半径为 r ，圆心为原点 (0, 0, 0) 。
使用 MATLAB 软件绘图如下（程序代码见附录 1。也可动画显示莫比乌斯带的形成过 程，对应于上面运动轨迹的定义，程序代码见附录 2）。
(a)自然的彩色显示
图 2 MATLAB 绘制的莫比乌斯带
(b)灰度显示
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莫比乌斯带本身具有很多奇妙的性质。如果从中间剪开一个莫比乌斯带，不会得到两个 窄的带子，而是会形成一个把纸带的端头扭转了两次再结合的环（并不是莫比乌斯带），再 把刚刚做出的那个纸带从中间剪开，则变成两个环。如果把莫比乌斯带的宽度分为三分，并 沿着分割线剪开的话，会得到两个环，一个是窄一些的莫比乌斯带，另一个则是一个扭转了 两次再结合的环。继续分割会变得越来越复杂，也越来越有趣。
着色数。
关键词: 莫比乌斯带；Paradromic 环；分割；结构；环面链环；拓扑性质
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The Structure and Topological Properties of Möbius Strip Dissection