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二.拓扑空间的覆盖性质
1. 覆盖及覆盖性质； 2. 对覆盖性质定义的空间研究的问题； 3. 目前得到的一些结论及我们在覆盖 性质研究中做的一点工作； 4. 关于映射性质研究的几个公开问题。
1.覆盖及覆盖性质
• 1.1 几种集族 点有限（可数）； 离散； 局部有限（可数）； 星有限（可数）。
1.覆盖及覆盖性质
2 拓扑性质举例
• 2.3 Euler多面体定理 • 凸多面体的面数 f ，棱数 l 和顶点数v满足 Euler公式：f – l + v = 2 . • 推广：球面上一个连通的图的节点数v， 枝数 l 以及它分解球面所成的面块 f 数满足公 式：f – l + v = 2 .
o
2.4 拓扑性质举例
（8）meta- Lindeloff空间也被可数对一开映射保持。
4. 关于映射性质研究的几个公 开问题
• （1）下列空间能否为有限对一开映射保持？ 弱 加细空间、弱 加细空间、 加细空间、 弱 加细空间、弱 加细空间。 • （2）弱 加细空间能否为闭映射、完备映射 保持？
拓扑空间的覆盖性质
德州学院数学系 刘德金
一 什么是拓扑学
• • • • 定义 拓扑性质举例 分类 和其它学科的关系
1 拓扑学的定义
• 1.1 拓扑学就是高度抽象地研究现实世界 空间形式的学科
数 数学 形
数量关系 空间形式
运算、代数结构Leabharlann 集 合开集族、拓扑结构
1 拓扑学的定义
• 1.2 拓扑学就是寻求和研究图形的拓扑性 质的科学。 几何学 变换群
弱 加细 meta- Lindeloff空间
加细
Lindeloff空间 仿Lindeloff空间 ppl-空间
wppl-空间
弱 加细
2.对覆盖性质定义的空间研究 的问题.
2.1 是否具有可积性？ 2.2 是否具有遗传性？ 2.3 是否被各种映射保持？
•
3 . 目前得到的一些结论 及我们在覆盖性质研究中做的一点工作
（3）弱 加细空间能否为闭映射保持？
参考文献
• [1] Hasan.Z.Hdeib.C.M.Pareek.paralindelof spaces[J]Q&A in General topology.1988.(6):1-9 • [2] 高国士.拓扑空间论[M].北京.科学出版社.2000. • [3] R.C.Briggs.preparacompactness and ?-preparacompactness in qspaces[J]. Colloq. Math. • 1973.227-235. • [4] [日]儿玉之宏 永见启应.拓扑空间论[M].北京.科学出版 社.2001.7. • [5] 尤承业.基础拓扑学讲义[M].北京.北京大学出版社.1997. • [6]M.A.Armstong.基础拓扑学[M]. 北京.北京大学出版社.1983. • [7]熊金诚.点集拓扑讲义(第二版)[M]. 北京.高等教育出版社.1998.
2.拓扑学的分类
一般拓扑（或点集拓扑）
拓扑学
代数拓扑（或组合拓扑）
3.拓扑学与其它学科的关系
现代数学
代 数 结 构 拓 扑 结 构 测 度 结 构
现代数学
拓扑学 点集拓扑
点集拓扑
现代数学

欧氏几何
初等数学

解析几何
微积分
3.拓扑学与其它学科的关系
•
点集拓扑可看作分析学相应内容的提高和深化， 分析学中和连续概念相关(而与可微性无关)的那些问 题本质上都是拓扑问题； 代数拓扑就是用代数方法研究拓扑性质的,因此 它涉及到代数学的许多概念，例如群、Abel群、自 由循环群、同态、同构。所以拓扑学与代数学的关 系很密切; 拓扑学愈来愈深入到物理学、化学和生物学中.
• 1.2 各种覆盖 (a) 覆盖； (b) 子覆盖； (c) 开（闭）覆盖 (d) 有限（可数）覆盖； (e) 加细覆盖； (f) 点星加细覆盖； (g) 星加细覆盖。
• 1.3 用覆盖定义的空间 次仿紧 弱 加细 弱 加细
可数仿紧
可数紧
仿紧
紧
meso紧
局部紧
弱仿紧（meta紧） 加细
3.1 目前得到的一些结论
(1)关系图中的覆盖性质都具有闭遗传性；关系图 中可数仿紧和那些没下画杠的空间都具有：开遗传性 蕴含遗传性。 关系图中那些没下画杠的覆盖性质（meso紧，仿 Lindeloff要加正规性——高国士的）附加完备性后都 具有遗传性。 (2) 关系图中的紧致空间、局部紧致空间、都具有 有限可积性;X具有关系图中的其他覆盖性质，Y是紧 空间,则X Y 也具有与X相应的覆盖性质.
3.2 我们在覆盖性质的研究中作的一点工作
主要讨论了ppl-空间、wppl-空间的映射性质。 证明了 ppl-空间、wppl-空间：
（1）被有限对一开映射保持；
（2）被可数对一开映射保持； （3）被闭Lindeloff映射逆向保持； （4）被完备映射逆向保持。 （5）开遗传性蕴含遗传性; （6）具有F 遗传性，(从而可知) 具有闭遗传性; （7）附加完备性后具有遗传性；
等距变换 仿射变换 射影变换 拓扑变换 初等几何 仿射几何 射影几何 拓扑学
2 拓扑性质举例
• 2.1 一笔画问题和七桥问题
(a)
(d) (c)
(b)
(e)
图 1
2 拓扑性质举例
• 2.1 一笔画问题和七桥问题
C
C
A D A B B D
图 2
2 拓扑性质举例
• 2.2 地图着色问题
4
3
3
1
2 2
• 2.4 Mobius带
A • E
• B•
•B •E •A
A
•
B
E
E
•
A B
•
A E B
拓扑学的定义
• 以上几个问题显示出几何图形的一 类特别的几何性质，显然，它们与几何 图形的大小、形状以及所含线段的曲直 等都无关，也就不能用普通的几何方法 来处理。它们涉及的是图形在整体结构 上的特性，这就是“拓扑性质”。对这 些性质，需要有一种新的几何学来研究 它们，这个新学科就是拓扑学。