考研数学三（多元函数微积分学）-试卷4(总分：68.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.二元函数f(x，y)在点(0，0)处可微的一个充分条件是（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：解析：按可微定义， f(x，y)在(0，0)C项即A=B=0的情形，因此可得出f(x，y)在(0，0)可微．故选C．3.设函数f(x，y)连续，则二次积分等于（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：解析：本题更换二次积分的积分次序，先根据二次积分确定积分区域，然后写出新的二次积分．由sinx≤y≤1，则0≤y≤1，π—arcsiny≤x≤π，故应选B．（分数：2.00）A.B.C.D. √D．5.累次积分可以写成（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：解析：由累次积分f(rcosθ，rsinθ)rdr可知，积分区域D为由r=cosθ为圆心在x轴上，直径为1的圆可作出D的图形如图4—3所示．该圆的直角坐标方程为故用直角坐标表示区域D可见A、B、C均不正确，故选D．6.设g(x)有连续的导数，g(0)=0，g’(0)=a≠0,f(a，y)在点(0，0)的某邻域内连续，则=(（分数：2.00）A.B.C. √D.C．7.设f(x)为连续函数，F(t)=∫ 1t dy∫ y t f(x)dx，则F’(2)等于( )（分数：2.00）A.2f(2)．B.f(2)．√C.一f(2)．D.0．解析：解析：交换累次积分的积分次序，得F(t)=∫ 1t dy∫ y t f(x)=∫ 1t dx∫ 1x f(x)dy =∫ 1t(x-1)f(x)dx 于是F’(t)=(t一1)f(t)，从而F’(2)=f(2)．故选B．8.设有平面闭区域，D={(x，y)|一a≤x≤a，x≤y≤a}，D 1={(x，y)|0≤x≤a，x≤y≤a}，则=( )（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：解析：将闭区间D={(x，y)|一a≤x≤a，x≤y≤a}按照直线y=一x将其分成两部分D 1和D 2，如图4—4所示，其中D 1关于y轴对称，D 2关于x轴对称，xy关于x和y均为奇函数，因此在D 1和D 2上，均有=0．而cosxsiny是关于x的偶函数，关于y的奇函数，在D 1积分不为零，在D 2积分值为零．因此故选项A正确．9.累次积分∫ 01dx∫ x1 f(x，y)dt+∫ 12dy∫ 02-y f(x，y)dx可写成( )（分数：2.00）A.∫ 02dx∫ x2-x f(x，y)dy．B.∫ 01dy∫ 02-y f(x，y)dx．C.∫ 01dx∫ x2-x f(x，y)dy．√D.∫ 01dy∫ 12-x f(x，y)dx．解析：解析：原积分域为直线y=x，x+y=2，与y轴围成的三角形区域，故选C．二、填空题(总题数：12，分数：24.00)10.设函数f(u)可微，且z=f(4x 2一y 2 )在点(1，2)处的全微分dz| (1,2) = 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：4dx一2dy）11.二元函数f(x，y)=x 2 (2+y 2 )+ylny的极小值为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：由题干可知 f x "=2x(2+y 2 )，f y "=2x 2 y+lny+1．12.函数f(x，y)=x 2 y(4一x一y)在由直线x+y=6，x轴和y轴所围成的闭区域D上的最小值是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：一64）解析：解析：根据题意可知，得区域D内驻点(2，1)，则有 f xx "=8y一6xy一2y 2； f xy "=8x 一3x 2一4xy； f yy "=-2x 2．则A=一6，B=一4，C=一8，有AC—B 2 =32＞0，且A＜0．所以，点(2，1)是z=f(x，y)的极大值点，且f(2，1)=4．当y=0(0≤x≤6)时，z=0；当x=0(0≤y≤6)时，z=0；当x+y=6(0≤y≤6)时，z=2x 3一12x 2(0≤x≤6)，且令．解得x=4．则y=2,f(4，2)=一64，且f(2，1)=4,f(0，0)=0．则z=f(x，y)在D上的最大值为f(2，1)=4，最小值为f(4，2)=一64．13.设D={(x，y)|x 2 +y 2≤1}，则（分数：2.00）填空项1:__________________14.设z=(x+e y ) x，则（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2ln2+1）解析：解析：由z=(x+e y ) x，故z(x，0)=(x+1) x，代入x=1得，15.设某产品的需求函数为Q=Q(p)，其对应价格P的弹性E p =0．2，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加 1元．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：8000）解析：解析：本题考查弹性和微分的经济意义．根据已知收益函数为R=pQ(p)；对收益函数做微分为当Q=10000，dp=1时，产品的收益会增加dR=8000．16.设函数dz| (1,1) = 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：(1+2ln2)dx+(一1一2ln2)dy）17.设连续函数z=f(x，y)满足dz| (0,1) = 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2dx一dy）解析：解析：根据以及函数z的连续性可知f(0，1)=1，从而已知的极限可以转化为的定义可知，f(x，y)在点(0，1)处是可微的，且有f x’(0，1)=2,f y’(0，1)=一1，所以dz| (0,1)=2dx 一dy．18.设函数z=z(x，y)由方程(z+y) x =xy确定（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2—2ln2）解析：解析：把点(1，2)代入(z+y) x=xy，得z(1，2)=0．在(z+y) x=xy两边同时对x求偏导数，有将x=1，y=2，z(1，2)=0代入得19.设函数z=z(x，y)由方程z=e 2x-3z +2y确定，则（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：在z=e 2x-3z +2y的两边分别对x，y求偏导，z为x，y的函数．20.设函数y=y(x)由方程y=1一xe y确定，则（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：一e）解析：解析：将x=0代入方程y=1一xe y，得y=1．方程两边对x求导，得y’=一e y一xe y y’．y’(1+xe y )=一e y，因此21.设f(u，v)（分数：2.00）填空项1:__________________三、解答题(总题数：13，分数：26.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________解析：23.设z=f(xy，yg(x))，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导，且在x=1处取得极值g(1)=1，（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：由于g(x)在x=1处取得极值g(1)=1，可知)解析：24.求f(x，（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：先求函数，的驻点，f x "(x，y)=e一x=0，f y "(x，y)=一y=0，解得函数的驻点为(e，0)．又A=f xx "(e，0)=一1，B=f xy "(e，0)=0，C=f yy "(e，0)=一1，所以B 2一AC＜0，A＜0．故f(x，y)在点(e，0)处取得极大值f(e，)解析：25.（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：积分区域如图4—8所示D=D 1∪D 2，其中)解析：26.求|z|（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：|z|的最值点与z 2的最值点一致，用拉格朗日乘数法，作 F(x，y，z，λ，μ)=z2 +λ(x 2 +9y 2一2z 2 )+μ(x+3y+3z一5)．令)解析：27.试确定常数a与b，使得经变换u=x+ay，v=x+by z=z(z+ay，x+by)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：根据链式法则，有代入所给方程得：按题意，应取1—4a+3a 2=0，1—4b+3b 2 =0．即 (1—3a)(1一a)=0，(1—3b)(1一b)=0．其解分别为于是z=∫φ(v)dv+ψ(u)=φ(v)+ψ(u)，其中φ(u)为u的任意的可微函数．ψ(v)为φ(v)由于φ与ψ的任意性，所以两组解其实是一样的．)解析：28.已知函数f(u，v)具有连续的二阶偏导数,f(1，1)=2是f(u，v)的极值，z=f[(x+y),f(x,y)]（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：因为=f 1"[(x+y),f(x，y)]+f 2"[(x+y),f(x，y)]．f 1"(x，y)，所以=f 11"[(x+y),f(x，y)]+f 12"[(x+y)，f(x，y)].f 2"(x，y)+f 21"[(x+y),f(x，y)].f 1"(x，y)+f 22"[(x+y)，f(x，y)].f 2 "(x，y).f 1 "(x，y)+f 2 "[(x+t).f(x，y)].f 12 "(x，y)，又因为f(1，1)=2是f(u，v)的极值，故f 1’(1，1)=0,f 2’(1，1)=0，因此=f 11"(2，2)+f 12"(2，2).f 2"(1，1)+f 21"(2，2).f 1 "(1，1)+f 22 "(2，2).f 2 "(1，1).f 1 "(1，1)+f 2 "(2，2).f 12 "(1，1)=f 11 "(2，2)+f 2 "(2，2).f 12 "(1，1)．)解析：29.设z=f(x，y)，x=g(y，z)+其中f，g，φ（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：由z=f(x，y)，有 dz=f 1 "dx+f 2 "dy．)解析：30.，u(0，0)=1，求u(x，y)及u(x，y)的极值，并问此极值是极大值还是极小值?说明理由．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：由=2x+y+1，有u(x，t)=x 2 +xy+x+φ(y)，再结合=x+2y+3，有x+φ’(y)=x+2y+3，得φ’(y)=2y+3，φ(y)=y 2+3y+C，于是u(x，y)=x 2+xy+x+y 2+3y+C．又由u(0，0)=1得C=1，因此 u(x，y)=x 2 +xy+y 2)解析：31.求二元函数z=f(x，y)=x 2 y(4一x一y)在直线x+y=6，x轴与y轴围成的闭区域D上的最大值与最小值．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：先求在D内的驻点，即令因此在D内只有驻点相应的函数值为f(2，1)=4．再求f(x，y)在D边界上的最值(1)在x轴上y=0，所以f(x，0)=0．(2)在y轴上x=0，所以f(0，y)=0． (3)在x+y=6上，将y=6一x代入f(x，y)中，得 f(x,y)=2x 2 (x一6)， f x "=6x 2一24x=0，得x=0(舍)，x=4，y=6一x=2．于是得驻点相应的函数值f(4，2)=x 2 y(4-x—y)| (4,2) =-64．．综上所述，最大值为f(2，1)=4，最小值为f(4，2)=-64．)解析：32.设2 +y 2的解，求u．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：[*1] 同理，将其代入原方程，则得u”+u=r 2，该方程的通解是u=C 1cosr+C2 sinr+r 2一2，于是其中C1，C 2是任意常数．)解析：33.设函数f(x)在[0，1]上有连续的导数，f(0)=1，，y)|0≤y≤t一x，0≤x≤t}(0＜t≤1)，求f(x)的表达式．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：根据已知，题中所示区域如图4—9所示则两边关于t求导可得即(t 一2)f"(t)+2f(t)=0，转化为求解微分方程(t一2)y’+2y=0，满足初始条件y| t=0 =1．分离变量并两边同时积分可得lny=-2ln(t一2)+lnC，即将初值条件代入可得C=4．即)解析：34.y轴为边界的无界区域．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：。