多元函数微分法及应用
全微分：dz =
∂u ∂u ∂u ∂z ∂z dx + dy + dz dx + dy du = ∂y ∂x ∂y ∂x ∂z
全微分的近似计算：Δz ≈ dz = f x ( x, y )Δx + f y ( x, y )Δy 多元复合函数的求导法： dz ∂z ∂u ∂z ∂v z = f [u (t ), v(t )] = ⋅ + ⋅ dt ∂u ∂t ∂v ∂t ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v z = f [u ( x, y ), v ( x, y )] = ⋅ + ⋅ ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x 当u = u ( x, y )，v = v ( x, y )时， du = ∂v ∂v ∂u ∂u dx + dy dv = dx + dy ∂y ∂x ∂y ∂x
∂F ⎧ F ( x, y , u , v ) = 0 ∂ ( F , G ) ∂u = 隐函数方程组： J = ⎨ ∂G ∂ (u, v) ⎩G ( x, y, u , v) = 0 ∂u ∂u 1 ∂( F , G) ∂v 1 ∂( F , G) =− ⋅ = − ⋅ ∂x J ∂ ( x, v ) ∂x J ∂ (u, x) ∂u 1 ∂( F , G) ∂v 1 ∂( F , G) =− ⋅ = − ⋅ ∂y J ∂ ( y, v) ∂y J ∂ (u, y )
多元函数的极值及其求法：
设f x ( x0 , y0 ) = f y ( x0 , y0 ) = 0，令：f xx ( x0 , y0 ) = A, f xy ( x0 , y0 ) = B, f yy ( x0 , y0 ) = C ⎧ ⎧ A < 0, ( x0 , y0 )为极大值 2 ⎨ ⎪ AC − B > 0时， ⎩ A > 0, ( x0 , y0 )为极小值 ⎪ ⎪ 2 则： ⎨ AC − B < 0时， 无极值 ⎪ AC − B 2 = 0时, 不确定 ⎪ ⎪ ⎩
∫ f ( x, y)ds = α ∫ f [ϕ (t ),ψ (t )]
L
β
ϕ ′ 2 (t ) + ψ ′ 2 (t ) dt (α < β ) 特殊情况： ⎨
⎧ x=t ⎩ y = ϕ (t )
第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）： ⎧ x = ϕ (t ) 设L的参数方程为⎨ ，则： ⎩ y = ψ (t )
( x, y )
∂Q ∂P ＝ 。注意奇点，如(0,0)，应 ∂x ∂y
u ( x, y ) =
( x0 , y0 )
∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy，通常设x
0
= y0 = 0。
曲面积分：
2 2 对面积的曲面积分： ∫∫ f ( x, y, z )ds = ∫∫ f [3; z x ( x, y) + z y ( x, y)dxdy ∑ Dxy
高等数学公式
空间解析几何和向量代数：
空间2点的距离：d = M 1 M 2 = ( x2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 + ( z 2 − z1 ) 2 向量在轴上的投影： Pr ju AB = AB ⋅ cos ϕ ,ϕ是 AB与u轴的夹角。 K K K K Pr ju (a1 + a 2 ) = Pr ja1 + Pr ja2 K K K K a ⋅ b = a ⋅ b cosθ = a x bx + a y b y + a z bz , 是一个数量, 两向量之间的夹角： cosθ = i K K K c = a × b = ax bx j ay by a x b x + a y b y + a z bz a x + a y + a z ⋅ b x + b y + bz
微分法在几何上的应用：
∂F ∂v = Fu ∂G Gu ∂v
Fv Gv
⎧ x = ϕ (t ) x−x y − y0 z − z0 ⎪ 空间曲线⎨ y = ψ (t )在点M ( x0 , y0 , z 0 )处的切线方程： 0 = = ϕ ′(t 0 ) ψ ′(t 0 ) ω ′(t 0 ) ⎪ z = ω (t ) ⎩ 在点M处的法平面方程：ϕ ′(t 0 )( x − x0 ) + ψ ′(t 0 )( y − y0 ) + ω ′(t 0 )( z − z 0 ) = 0 ⎧ K Fy Fz Fz Fx Fx ⎪ F ( x, y , z ) = 0 若空间曲线方程为： , 则切向量T = { , , ⎨ G y G z Gz G x Gx ⎪ ⎩G ( x, y, z ) = 0 曲面F ( x, y, z ) = 0上一点M ( x0 , y0 , z 0 )，则： K 1、过此点的法向量：n = {Fx ( x0 , y0 , z 0 ), Fy ( x0 , y 0 , z 0 ), Fz ( x0 , y0 , z 0 )} x − x0 y − y0 z − z0 = = 3、过此点的法线方程： Fx ( x0 , y0 , z 0 ) Fy ( x0 , y0 , z 0 ) Fz ( x0 , y 0 , z 0 )
2 2 2 2 2 2
k K K K K K K a z , c = a ⋅ b sin θ .例：线速度：v = w × r . bz ay by cy az K K K bz = a × b ⋅ c cosα ,α为锐角时， cz
ax K KK K K K 向量的混合积： [ a b c ] = ( a × b ) ⋅ c = bx cx 代表平行六面体的体积。
方向导数与梯度：
Fy } Gy
2、过此点的切平面方程：Fx ( x0 , y0 , z 0 )( x − x0 ) + Fy ( x0 , y 0 , z 0 )( y − y 0 ) + Fz ( x0 , y0 , z 0 )( z − z 0 ) = 0
∂f ∂f ∂f 函数z = f ( x, y )在一点p ( x, y )沿任一方向l的方向导数为： = cos ϕ + sin ϕ ∂l ∂x ∂y 其中ϕ为x轴到方向l的转角。 ∂f K ∂f K i+ j ∂x ∂y K K ∂f K K 它与方向导数的关系是： = grad f ( x, y ) ⋅ e ，其中e = cosϕ ⋅ i + sin ϕ ⋅ j ，为l方向上的 ∂l 单位向量。 ∂f ∴ 是gradf ( x, y )在l上的投影。 ∂l 函数z = f ( x, y )在一点p ( x, y )的梯度：gradf ( x, y ) =
K 1、点法式：A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C ( z − z 0 ) = 0，其中n = { A, B, C}, M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) 2、一般方程：Ax + By + Cz + D = 0 x y z 3、截距世方程： + + = 1 a b c 平面外任意一点到该平面的距离：d = Ax0 + By0 + Cz 0 + D A2 + B 2 + C 2
Ω Ω Ω Ω 2 2 2 2 2 2 Ω Ω Ω
1
1
转动惯量：I x = ∫∫∫ ( y + z ) ρdv， I y = ∫∫∫ ( x + z ) ρdv， I z = ∫∫∫ ( x + y ) ρdv
曲线积分：
第一类曲线积分（对弧 长的曲线积分）： ⎧ x = ϕ (t ) 设f ( x, y )在L上连续，L的参数方程为： , (α ≤ t ≤ β ), 则： ⎨ ⎩ y = ψ (t )
∫∫ xρ ( x, y)dσ
D
∫∫ ρ ( x, y)dσ
D 2 D
, y =
My M
=
∫∫ yρ ( x, y)dσ
D
∫∫ ρ ( x, y)dσ
D D
平面薄片的转动惯量：对于x轴I x = ∫∫ y ρ ( x, y )dσ , 对于y轴I y = ∫∫ x 2 ρ ( x, y )dσ 平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M (0,0, a ), (a > 0)的引力：F = {Fx , Fy , Fz }，其中： Fx = f ∫∫
∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy = α ∫{P[ϕ (t ),ψ (t )]ϕ ′(t ) + Q[ϕ (t ),ψ (t )]ψ ′(t )}dt
L
β
两类曲线积分之间的关系： ∫ Pdx + Qdy = ∫ ( P cosα + Q cos β )ds，其中α和β分别为
L L
L上积分起止点处切向量的方向角。 ∂Q ∂P ∂Q ∂P ( ( 格林公式： − )dxdy = ∫ Pdx + Qdy格林公式： − )dxdy = ∫ Pdx + Qdy ∫∫ ∫∫ ∂ x ∂ y ∂ x ∂y D L D L 1 ∂Q ∂P 当P = − y, Q = x，即： − = 2时，得到D的面积：A = ∫∫ dxdy = ∫ xdy − ydx 2L ∂x ∂y D ·平面上曲线积分与路径无关的条件： 1、G是一个单连通区域； 2、P( x, y )，Q( x, y )在G内具有一阶连续偏导数，且 减去对此奇点的积分，注意方向相反！ ·二元函数的全微分求积： 在 ∂Q ∂P ＝ 时，Pdx + Qdy才是二元函数u ( x, y )的全微分，其中： ∂x ∂y
隐函数的求导公式： F F F dy dy d2y ∂ ∂ 隐函数F ( x, y ) = 0， = − x ， 2 = (− x )＋ (− x ) ⋅ dx Fy dx ∂x Fy ∂y Fy dx Fy F ∂z ∂z 隐函数F ( x, y, z ) = 0， = − x ， = − Fz Fz ∂x ∂y