数学试题第I 卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则A ．B ．C ．D ．2．已知复数12iz i+=，则||z = A ．5 B ．3C ．1D ．2i -3．命题“”的否定是 A ． B ． C ．D ．4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知312S =，651S =，则9S 的值等于 A ．66B ．90C ．117D ．1275．在△ABC 中，设三边AB ，BC ，CA 的中点分别为E ，F ，D ，则EC FA u u u v u u u v+＝ A ．BD u u u rB ．21 C ．AC D ．216．已知tan 2θ=，则()()sin cos 2sin sin 2πθπθπθπθ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭=⎛⎫+-- ⎪⎝⎭A ．2B ．2-C ．0D ．237．函数()211a x f x x -=+-为奇函数的充要条件是A ．01a <<B ．1a >C ．01a <≤D ．1a ≥8．某班有60名学生，一次考试的成绩ξ服从正态分布()290,5N ，若()80900.3P ξ≤<=，估计该班数学成绩在100分以上的人数为（ ） A ．12B ．20C ．30D ．409．函数()1xf x x =-在区间[]2,5上的最大值与最小值的差记为max min f -，若 max min f --22a a ≥-恒成立，则a 的取值范围是A ．1322⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．[]1,2C ．[]0,1D ．[]1,310．已知()f x 是R 上的偶函数，且在[)0,+∞上单调递减，则不等式()()ln 1f x f >的解集为A ．()1e ,1- B ．()1e ,e - C ．()()0,1e,⋃+∞ D ．()()10,e1,-⋃+∞11．已知三棱锥A BCD -中，5AB CD ==，2==AC BD ，3AD BC ==，若该三棱锥的四个顶点在同一个球面上，则此球的体积为 A ．32π B ．24πC ．6πD ．6π12．双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的右焦点为F ，P 为双曲线C 上的一点，且位于第一象限，直线,PO PF 分别交于曲线C 于,M N 两点，若∆POF 为正三角形，则直线MN 的斜率等于 A ．22--B ．32-C ．22+D ．23--第II 卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设函数⎩⎨⎧<+≥-=)10()),5(()10(,3)(x x f f x x x f ，则=)5(f ____________.14．若x ，y 满足约束条件330,330,0,x y x y y ⎧-+≥⎪⎪+-≤⎨≥⎪⎩则当13y x ++取最小值时，x y +的值为__________．15．在(0)na x a x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，且所有 项的系数和为256，则含6x 的项的系数为_________． 16．如图所示，在平面四边形中，，，，，则四边形的面积的最大值是 .三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin 3b C c B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （I ）求角B 的大小； （II ）若1132a c +=，ABC V 3，求b . 18．（12分）近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重. 大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病。

为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如在的列联表:已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为35. （Ⅰ）请将右面的列联表补充完整； 患心肺疾病 不患心肺疾病 合计 男 5 女 10 合计50（Ⅱ）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关?说明你的理由；（Ⅲ）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患胃病.现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行其他方面的排查，记选出患胃病的女性人数为ξ，求ξ的分布列以及数学期望. 下面的临界值表供参考:()2P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 其中n a b c d =+++）19．（12分）在五面体ABCDEF 中，AB CD EF P P , 222CD EF CF AB AD =====,60DCF ∠=o ，AD CD ⊥，平面CDEF ⊥平面ABCD .（I ） 证明: 直线CE ⊥平面ADF ；（II ） 已知P 为棱BC 上的点，试确定P 点位置，使二面 角P DF A --的大小为60o .20．（12分）已知函数().xf x e =（I ）讨论函数()()g x f ax x a =--的单调性； （II ）证明：()3ln f x x x x++>.21．（12分）已知圆()22:11M x y ++=，圆()22:19N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C . （I ）求C 的方程；（II ）若直线()1y k x =-与曲线C 交于,R S 两点，问是否在x 轴上存在一点T ，使得当k 变动时总有OTS OTR ∠=∠？若存在，请说明理由.（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系xOy 中，曲线cos ,:sin x t C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，0t >）.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线:cos 4l πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（I ）若l 与曲线C 没有公共点，求t 的取值范围；（II ）若曲线C 上存在点到l t 的值.23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知函数()21,f x x x =-∈R , (I)解不等式()1f x x <+ (II)若对于,x y ∈R ,有111,2136x y y --≤+≤,求证:()1f x <.数学参考答案1．A 2．A3．C4．C5．A6．B7．C8．A9．A10．B11．C 12．D13．814．115．8.16．.17．（1）∵sin sin 3b C c B π⎛⎫=-⎪⎝⎭∴由正弦定理得：sin sin sin sin 3B C C B π⎛⎫=-⎪⎝⎭∵0C π<< ∴sin 0C > ∴sin sin 3B B π⎛⎫=-⎪⎝⎭∴13sin sin 2B B B =∴tan 3B =- ∵()0,B π∈ ∴23B π= （2）由1123sin sin 3223ABC S ac B ac π====△4ac = ∴113462a c ac a c ⎛⎫+=+=⨯= ⎪⎝⎭∴()222222cos 36142b a c ac B a c ac a c ac =+-=++=+-=-=18．（Ⅰ）列联表补充如下 患心肺疾病 不患心肺疾病 合计 男 20 5 25 女 10 15 25 合计302050（Ⅱ）∵()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++∴()2250201551025253020K ⨯-⨯=⨯⨯⨯()225010025231258.3337.879252530203K ⨯⨯⨯⨯-==≈>⨯⨯⨯∵()27.8790.005P K ≥=∴有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关 （Ⅲ）根据题意，ξ的值可能为0，1，2，3()37310350120C P C ξ===， ()1237310631120C C P C ξ===， ()2137310212120C C P C ξ===， ()3331013120C P C ξ===ξ分布列如下:123P724 2140 740 1120则721719012324404012010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 19．（1）∵CD EF P , ∴2CD EF CF ===∴四边形CDEF 为菱形,∴CE DF ⊥∵平面CDEF ⊥平面ABCD ，平面CDEF ⋂平面ABCD CD =,∵AD CD ⊥∴AD ⊥平面ACDEF ∴CE AD ⊥,又∵AD DF D ⋂=∴直线CE ⊥平面ADF（2）∵60DCF ∠=o ,∴DEF V 为正三角形，取EF 的中点G ,连接GD ,则GD EF ⊥ ∴GD CD ⊥,∵平面CDEF ⊥平面ABCD ,GD ⊂平面CDEF ，平面CDEF ⋂平面ABCD CD =,∴GD ⊥平面ABCD ∵AD CD ⊥∴,,DA DC DG 两两垂直以D 为原点，,,DA DC DG 的方向为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系∵2CD EF CF ===, 1AB AD ==,∴((0,3,0,13E F -由（1）知(0,3CE =-u u u v 是平面ADF 的法向量∵(3DF =u u u v ,()1,1,0CB =-u u u v 设()(),,001CP aCB a a a ==-≤≤u u u v u u u v ，则(),2,0DP DC CP a a =+=-u u u v u u u v u u u v．设平面PDF 的法向量为(),,n x y z v =∵0,0n DF n DP u u u v u u uv v v ⋅=⋅=,∴()020y ax a y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，令y =，则)2,x a z a =-=-∴))2,n a a =--v∵二面角P DF A --为60o ,∴cos ,n CE n CE n CE⋅==u u u v v u u uv v u u u v v12=，解得23a = ∴P 点靠近B 点的CB 的三等分点处20．（1）解：()()(),1axxg x f ax x a e x a g x ae =--=-='--，①若0a ≤时，()()0,g x g x '<在R 上单调递减；②若0a >时，当1ln x a a<-时，()()0,g x g x '<单调递减；当1ln x a a>-时，()()0,g x g x '>单调递增；综上，若0a ≤时，()g x 在R 上单调递减；若0a >时，()g x 在1,ln a a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减；在1ln ,a a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；（2）证明：要证()3ln f x x x ++>()ln 30xx x e +->， 由（1）可知当1a =时，10x e x --≥，即1x e x ≥+，当10x +>时，上式两边取以e 为底的对数，可得()ln 1(1)x x x +≤>-， 用1x -代替x 可得ln 1(0)x x x ≤->，又可得11ln1(0)x x x ≤->，所以1ln 1(0)x x x≥->，()1ln 3113x x x e x x x ⎛⎫+->-+++- ⎪⎝⎭()222211x x x =++-=+-(()22110≥-=≥，即原不等式成立.21．解：（1）得圆M 的圆心为()1,0M -，半径11r =；圆N 的圆心()1,0N ，半径23r =.设圆P 的圆心为(),P x y ，半径为R .因为圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，所以12124PM PN R r r R r r +=++-=+=由椭圆的定义可知，曲线C 是以,M N 为左右焦点，长半轴长为2顶点除外），其方程为()221243x y x +=≠-（2）假设存在(),0T t 满足OTS OTR ∠=∠.设()()1122,,,R x y S x y 联立()221{34120y k x x y =-+-=得()22223484120kxk x k +-+-=，由韦达定理有21222122834{41234k x x k k x x k +=+-=+①，其中0∆>恒成立，由OTS OTR ∠=∠（显然,TS TR 的斜率存在），故0TS TR k k +=，即12120y yx t x t+=--②， 由,R S 两点在直线()1y k x =-上，故()()11221,1y k x y k x =-=-代入②得：()()()()()()()()()()121212************k x x t x x t k x x t k x x t x t x t x t x t ⎡⎤-+++--+--⎣⎦==----即有 ()()12122120x x t x x t -+++=③将①代入③即有：()()222228241823462403434k t k t k t k k --+++-==++④，要使得④与k 的取值无关，当且仅当“4t =”时成立，综上所述存在()4,0T ，使得当k 变化时，总有OTS OTR ∠=∠22．解：（1）因为直线l的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即cos sin 2ρθρθ+=， 所以直线l 的直角坐标方程为2x y +=；因为,x tcos y sin αα=⎧⎨=⎩（α参数，0t >）所以曲线C 的普通方程为2221x y t+=，由2222,1,x y x y t+=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得，()2221440t y y t +-+-=， 所以()()22164140tt ∆=-+-<，解得0t <<t的取值范围为(.（2）由（1）知直线l 的直角坐标方程为20x y +-=， 故曲线C 上的点()cos ,sin t αα到l的距离d =，故d=t =.又因为0t >，所以t =.23．解：(1)不等式f (x )＜x +1,等价于|2x ﹣1|＜x +1,即﹣x ﹣1＜2x ﹣1＜x +1, 求得0＜x ＜2,故不等式f (x )＜x +1的解集为(0,2). (2)111,2136x y y --≤+≤因为, 所以f (x )=|2x ﹣1|=|2(x ﹣y ﹣1)+(2y +1)|≤|2(x ﹣y ﹣1)|+|(2y +1)|≤21·3+16＜1.。