定积分
一．定积分的几何意义
①
b
f ( x) 0 时， f (x)dx S
a
b
f ( x) 0 时， f (x)dx S
a
f(x) 有正有负时，
b c d
a f ( x)dx S1, f ( x)dx S2 , f ( x)dx S3
b c
d b c d
f ( x)dx
a
面积和 S1
二．定积分基本性质
①当 a b 时，b
f ( x)dx 0. a
b b
② kf ( x) dx k f (x)dx
a a
b b
f (x)dx f ( x)dx f (x)dx S1 S2 S3.
a b c
b c d
S2 S3
a
f (x)dx f (x)dx f (x)dx
b c
b
[ f ( x) g(x)] dx S
a
b b
③[ f1 ( x) f 2 ( x) f n (x)]dx f1 ( x)dx f 2 (x)dx f n (x)dx
a a a a
b c1 c2 b f ( x)dx
④ f (x)dx f ( x)dx f (x)dx
a a c1 c n
a
⑤若奇函数
⑥若偶函数y f ( x) 在 [a, a]
y f ( x) 在 [a, a]
上连续不断，则 f (x)dx 0
a
a
f (x)dx a
上连续不断，则 2 f ( x)dx
a 0
微分基本定理： 如果 f ( x) 是区间 [ a, b] 上的连续函数，且 F '( x)
f ( x) ，则
b a
b
F (b) F (a) （牛顿—莱布尼兹公式）
f ( x)dx F ( x)
a
1. 直线 x 0, x , y 0 与曲线 y sin x 所围成图形的面积用定积分表示为
2. 用定积分表示抛物线
y x 2 2x 3 与直线 y
x 3 所围成图形的面积为
3. 曲线 y
x 2 1, x 2, x 0, y
0 围成的阴影部分的面积用定积分表示为
4. 由曲线 y x 2
4, x
4, x 0, y 0 和 x 轴围成的封闭图形的面积是（ ）
4
4) dx
4
(x
2
4)dx |
A. ( x 2
B.| 0
4
4 | dx
2
4
4) dx
C. | x 2
D . (x 2
4) dx( x 2 0
2
5. 计算下列定积分
3
1
2
dx
（1）9 x 2
dx
（ 2）4 4x
3
1
2
1 dx 1
（3）（ 4）(2 x e x)dx
1 x( x 1) 0
（5）cos2x
dx 9 （ 6）x(1 x) dx
0 2 1
6. 正方形的四个顶点A( 1, 1), B(1, 1),C (1,1),D ( 1,1)分别在抛物线 y
2 2 x 和 y x
上，如图，若将一质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是7. 已知函数y x2与 y kx 的图象所围成的阴影部分的面积是 4 , 则k
3
8. 求曲线y24x 与直线 y 2x 4 围成的图形面积
9. 已知函数f ( x) x3 ax 2 bx 的图象如图所示，它与直线y 0 在原点处相切，此切线
与函数图象所围区域的面积是27
, 求 a . 4。