一元二次方程知识点小结
1. 一元二次方程的定义及一般形式：
（1） 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数
式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
（2） 一元二次方程的一般形式： 20(0)ax bx c a ++=≠。
其中a 为二次项系数，
b 为一次项系数，
c 为常数项。
注意：三个要点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2；③是整
式方程。
2. 一元二次方程的解法
（1）直接开平方法：
形如2()(0)x a b b +=≥的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得
x a +=或者x a +=∴x a =-±
注意：若b<0，方程无解
（2）因式分解法：
一般步骤如下：
①将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0；
②将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；
③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
④解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。
（3） 配方法:
用配方法解一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的一般步骤
①二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；
②移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；
③配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为
2()(0)x m n n +=≥的形式；
④用直接开平方法解变形后的方程。
注意：当0n <时，方程无解
（4） 公式法：
一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠ 根的判别式：24b ac ∆=-
0∆>⇔方程有两个不相等的实根:x =（240b ac -≥）0∆=⇔方程有两个相等的实根
0∆<⇔方程无实根
3. 韦达定理（根与系数关系）
我们将一元二次方程化成一般式ax 2+bx+c ＝0之后，设它的两个根是1x 和2x ，则
1x 和2x 与方程的系数a ，b ，c 之间有如下关系：
1x +2x ＝b a -
； 1x •2x ＝c a
4.一元二次方程的应用
列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似
①“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；
②“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；
③“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知
数的等式，即方程。
④“解”就是求出说列方程的解；
⑤“答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程。
注意：一元二次方程考点：定义的考察；解方程及一元二次方程的应用。
五．典型例题
1、下列方程中，是一元二次方程的是：（ ） A 、2x +3x +y=0 ； B 、 x+y+1=0 ；
C 、 213122+=+x x ；
D 、0512=++x x
2、关于x 的方程（2a +a －2）2x +ax+b=0是一元二次方程的条件是（ ）
A 、a ≠0 ；
B 、 a ≠－2 ；
C 、 a ≠－2且 a ≠1 ；
D 、a ≠1
3、一元二次方程2x －3x = 4的一般形式是 ，一次项系数
为 。
4、方程2x = 225的根是 。
5、方程32x －5 x=0的根是 。
6、（2x －24x + ） =（x － ）2。
7、一元二次方程a 2x +bx +c=0（a ≠0）有一个根为1，则a+b +c= 。
8、关于x 的一元二次方程m 2x －2x +1= 0有两个相等实数根，则
m= 。
9、已知1x ,2x 是方程22x +3x －4=0的两个根，那么1x + 2x = , 1x
× 2x = 。
10、若三角形其中一边为5cm ，另两边长是01272=+-x x 两根，则三角形面积
为 。
11、用适当的方法接下列方程。
（1）用配方法解方程3x 2－6x+1=0 （2）用换元法解（
1x x +）2+5（1
x x +）－6=0；
（3）用因式分解法解3x （x ）－x ； （4）x －2）2－4＝0．
（5）（2x-1）2 + 3（2x-1）+2=0 （6）用公式法解方程2x （x －3）=x －3
（7）()()2232-=-x x x （8）（2x －3）2－2（2x －3）－3＝0
12.若方程x 2=0的两根是a 和b （a>b ），方程x-4=0的正根是
c ，试判断以a 、b 、c 为边的三角形是否存在．若存在，求出它的面积；若不
存在，说明理由．
13、若两个连续偶数的积是288，求这两个偶数。
14.从一块长80cm ，宽60cm 的长方形铁片中间截去一个小长方形，使剩下的长方形四周宽度一样，并且小长方形的面积是原来铁片面积的一半，求这个宽度？
15、已知关于x 的方程
03522=-++p x x 的一个根是4-，求方程的另一个根和p 的值．
16.已知：关于x 的方程x 2+（8－4m ）x+4m 2=0．
（1）若方程有两个相等的实数根，求m 的值，并求出这时的根．
（2）问：是否存在正数m ，使方程的两个实数根的平方和等于136；若存在，•请求出满足条件的m 值；若不存在，请说明理由．
17.百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？。