一元二次方程⎪⎩⎪⎨⎧*⇒韦达定理根的判别解与解法只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。

)0(02≠=++a c bx“未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”；②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。

例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ()()12132+=+x xB 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。

例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。

1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。

2、若方程()021=--m x m 是关于x 的一元一次方程，⑴求m 的值；⑵写出关于x 的一元一次方程。

3、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。

4、若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ）A.m=n=2B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。

例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。

例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程 必有一根为 。

例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根， 则m 的值为 。

1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。

2、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程311=-+x x 的解相同。

⑴求k 的值； ⑵方程的另一个解。

3、已知m 是方程012=--x x 的一个根，则代数式=-m m 2 。

4、已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 622 。

5、方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为（ ）A 1-B 1C c b -D a - 6、若=•=-+y x 则y x 324,0352 。

()m x m m x ±=⇒≥=,02对于()m a x =+2，()()22n bx m ax +=+等形式均适用直接开方法例1、解方程：();08212=-x ()216252x -=0; ()();09132=--x例2、若()()2221619+=-x x ，则x 的值为 。

）A.12322-=+x xB.()022=-x C.x x -=+132 D.092=+x)()021=--x x x x 21,x x x x ==⇒或0”，()()22n bx m ax +=+，()()()()c x a x b x a x ++=++ ，例1、()()3532-=-x x x 的根为（ ）A 25=xB 3=xC 3,2521==x x D 52=x 例2、若()()044342=-+++y x y x ，则4x+y 的值为 。

变式1：()()=+=-+-+2222222,06b 则a b a b a 。

变式2：若()()032=+--+y x y x ，则x+y 的值为 。

变式3：若142=++y xy x ，282=++x xy y ，则x+y 的值为 。

例3、方程062=-+x x 的解为（ ）A.2321=-=，x xB.2321-==，x xC.3321-==，x xD.2221-==，x x1、下列说法中：①方程02=++q px x 的二根为1x ，2x ，则))((212x x x x q px x --=++② )4)(2(862--=-+-x x x x .③)3)(2(6522--=+-a a b ab a④ ))()((22y x y x y x y x -++=-⑤方程07)13(2=-+x 可变形为0)713)(713(=-+++x x正确的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个2、以71+与71-为根的一元二次方程是（）A ．0622=--x xB ．0622=+-x xC ．0622=-+y yD ．0622=++y y3、⑴写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数： ⑵写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为相反数：4、若实数x 、y 满足()()023=++-+y x y x ，则x+y 的值为（ ）A 、-1或-2B 、-1或2C 、1或-2D 、1或25、方程：2122=+xx 的解是 。

()002≠=++a c bx 222442a ac b a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇒ 在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。

例1、 试用配方法说明322+-x x 的值恒大于0。

例2、 已知x 、y 为实数，求代数式74222+-++y x y x 的最小值。

例3、 已知，x、y y x y x 0136422=+-++为实数，求y x 的值。

1、试用配方法说明47102-+-x x 的值恒小于0。

2、已知041122=---+x x xx ，则=+x x 1 . 3、若912322-+--=x x t ，则t 的最大值为 ，最小值为 。

)04,02≥-≠ac b a 且aac b b x 242-±-=,()04,02≥-≠ac b a 且例1、选择适当方法解下列方程：⑴().6132=+x ⑵()().863-=++x x ⑶0142=+-x x ⑷01432=--x x ⑸()()()()5211313+-=+-x x x x例2、在实数范围内分解因式：（1）3222--x x ； （2）1842-+-x x . ⑶22542y xy x --说明：①对于二次三项式c bx ax ++2的因式分解，如果在有理数范围内不能分解， 一般情况要用求根公式，这种方法首先令c bx ax ++2=0，求出两根，再写成c bx ax ++2=))((21x x x x a --.②分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.⑴求代数式的值； ⑵解二元二次方程组。

例1、 已知0232=+-x x ，求代数式()11123-+--x x x 的值。

例2、已知a 是一元二次方程0132=+-x x 的一根，求1152223++--a a a a 的值。

例3、用两种不同的方法解方程组说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：①先消元，再降次；②先降次，再 消元。

但都体现了一种共同的数学思想——化归思想，即把新问题转化归结为我们已 知的问题.①定根的个数； ②求待定系数的值；③应用于其它。

例1、若关于x 的方程0122=-+x k x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 。

例2、关于x 的方程()0212=++-m mx x m 有实数根，则m 的取值范围是( )A.10≠≥且m mB.0≥mC.1≠mD.1>m例3、已知关于x 的方程()0222=++-k x k x(1)求证：无论k 取何值时，方程总有实数根；(2)若等腰∆ABC 的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求∆ABC 的周长。

例4、已知二次三项式2)6(92-++-m x m x 是一个完全平方式，试求m 的值.例5、m 为何值时，方程组⎩⎨⎧=+=+.3,6222y mx y x 有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？1、当k 时，关于x 的二次三项式92++kx x 是完全平方式。

2、当k 取何值时，多项式k x x 2432+-是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？3、已知方程022=+-mx mx 有两个不相等的实数根，则m 的值是 .4、k 为何值时，方程组⎩⎨⎧=+--+=.0124,22y x y kx y （1）有两组相等的实数解，并求此解；（2）有两组不相等的实数解；（3）没有实数解.5、当k 取何值时，方程04234422=+-++-k m m x mx x 的根与m 均为有理数？例1、关于x 的方程()03212=-++mx x m⑴有两个实数根，则m 为 ,⑵只有一个根，则m 为 。

例2、 不解方程，判断关于x 的方程()3222-=+--k k x x 根的情况。

02=++c bx ax 而言，当满足①0≠a 、②0≥∆时，才能用韦达定理。

ac x x a b x x =-=+2121,例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程07822=+-x x 的两根，则这个直角三 角形的斜边是（ ）A.3B.3C.6D.6例2、已知关于x 的方程()011222=+-+x k x k 有两个不相等的实数根21,x x ，（1）求k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k 的值；若不 存在，请说明理由。

例3、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1）时，小明因看错常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。

你知道 原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？例4、已知b a ≠，0122=--a a ，0122=--b b ，求=+b a变式：若0122=--a a ，0122=--b b ，则ab b a +的值为 。

例5、已知βα,是方程012=--x x 的两个根，那么=+βα34 .1、解方程组⎩⎨⎧=+=+)2(5)1(,322y x y x 2．已知472-=-a a ，472-=-b b )(b a ≠，求ba ab +的值。

3、已知21,x x 是方程092=--x x 的两实数根，求663722231-++x x x 的值。

今天你学习了什么？_______________________________________________遇到了什么困难？_________________________________________________。