（见下图 1）
“存．在．x1 (a, b) ，存．在．x2 (c, d ) ，使得 f (x1) g(x2 ) 成立”，即在区间 (a, b) 内至．少．有． 一．个．值．f (x) 比函数 g(x) 在区间 (c, d ) 内的一．个．函．数．值．大，即 f (x)max g(x)min .（见下图
“任．意．x1 (a, b) ，对任．意．的 x2 (c, d ) ，使得 f (x1) g(x2 ) 成立”，即 f (x) 在区间 (a, b) 内任．意．一．
1 / 10
个．值．f (x) 比函数 g(x) 在区间 (c, d ) 内的任．意．一个函数值都要大,即 f (x)min g(x)max .
所以
g
x
在
1 2
，2
上的最小值为
g
ln
2
4Байду номын сангаас
4
ln
2
2a
，
由题意可知 4 ln 2 3 a 6 4 4 ln 2 2a ，解得 a 4 , 所以1 a 4 . 2
【点评】（1）存在性问题和任意性问题都是最值关系问题，关键是是什么样的最值关系，所
以务必理解清楚,不能含糊.(2)对于存在性问题和任意性问题的理解可以数形结合理解（见
【方法讲评】
题型一
双存在性问题
使用情景 不等式中的两个自变量属性都是存在性的.
存．在．x1 (a, b) ，存．在．x2 (c, d ) ，使得 f (x1) g(x2 ) 成立” 称为不等式的
双存在性问题，存．在．x1 (a, b) ，存．在．x2 (c, d ) ，使得 f (x1) g(x2 ) 成立，
2 / 10
(a, b) 内至．少．有．一．个．值．f (x) 比函数 g(x) 在区间 (c, d ) 内的一．个．函．数．值．大，即
f (x)max g(x)min .
【例 1】已知函数 f x 4ln x ax a 3 a 0 .
x
（Ⅰ）讨论 f x 的单调性；
（Ⅱ）当
a
1时，设
2
a
1
a
4
，
a
a
增区间为
2
a 1a 4 ，2
a
1
a
4
.
a
a
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
f
x
在
1 2
，2
上的最大值为
f
1 2
4 ln
2
3a 2
6
，
3 / 10
g x 2ex 4 ，令 g x 0 ，得 x ln 2 .
x
1 2
，ln
2
时，
g
x
0
，
g
x
单调递减，
x ln 2 ，2 ， g x 0 ， g x 单调递增，
f (x)min g(x)min . （见下图 3） “存．在．x1 (a, b) ，对任．意．的 x2 (c, d ) ，使得 f (x1) g(x2 ) 成立”，即 f (x) 在区间 (a, b) 内 至．少．有．一．个．值． f (x) 比 函 数 g(x) 在 区 间 (c, d ) 内 的 任．意．一 个 函 数 值 都 要 大 ， 即 f (x)max g(x)max .（见下图 4）
2）
2、双任意性问题
“任．意．x1 (a, b) ，对任．意．的 x2 (c, d ) ，使得 f (x1) g(x2 ) 成立” 称为不等式的双任意 性问题. 任．意．x1 (a, b) ，对任．意．的 x2 (c, d ) ，使得 f (x1) g(x2 ) 成立，即 f (x) 在区间 (a, b) 任．意．一．个．值． f (x) 比 函 数 g(x) 在 区 间 (c, d ) 内 的 任．意．一 个 函 数 值 都 要 小 ， 即 f (x)max g(x)min .
当 x x1 ，x2 时， h x 0 ， f x 单调递增，
当 x x2 ， 时， h x 0 ， f x 单调递减，
所以当
a
0
时，
f
x
的减区间为
0
，3 4
，增区间
3 4
，
.
当 a 1时， f x 的减区间为 0 ， .
当
0
a
1
时，
f
x
的减区间为
0
，2
a
1
a
4
，
g x
2ex
4x
2a
，若存在
x1
，
x2
1 2
，2
，使
f
x1
g
x2
，求
实数 a 的取值范围.（ e 为自然对数的底数， e 271828 ）
当0
a
1 时，
0，
x1
x2
4 a
0
，
x1
x2
a
a
3
0
2 x1
a
1 a
a
4
0
,
x2
2
a 1a 4
0 a
当 x 0 ，x1 时， h x 0 ， f x 单调递减，
第 07 讲：导数中的双变量存在性和任意性问题的处理
【知识要点】 在平时的数学学习和高考中，我们经常会遇到不等式的双变量的存在性和任意性问题，学
生由于对于这类问题理解不清，很容易和不等式的恒成立问题混淆，面对这类问题总是感到 很棘手，或在解题中出现知识性错误. 1、双存在性问题
“．存．在．x1 (a, b) ，存．在．x2 (c, d ) ，使得 f (x1) g(x2 ) 成立”．称为不等式的双存在性问 题，存．在．x1 (a, b) ，存．在．x2 (c, d ) ，使得 f (x1) g(x2 ) 成立，即 f (x) 在区间 (a, b) 内 至．少．有．一．个．值．f (x) 比函数 g(x) 在区间 (c, d ) 内的一．个．函．数．值．小.，即 f (x)min g(x)max .
3、存在任意性问题
“存．在．x1 (a, b) ，对任．意．的 x2 (c, d ) ，使得 f (x1) g(x2 ) 成立” 称为不等式的存在任 意性问题. 存．在．x1 (a, b) ，对任．意．的 x2 (c, d ) ，使得 f (x1) g(x2 ) 成立，即 f (x) 在区 间 (a, b) 内至．少．有．一．个．值．f (x) 比函数 g(x) 在区间 (c, d ) 内的任．意．一个函数值都要小，即
前面的知识要点），也可以这样记忆，双存在性问题两边的最值相反.
解题理论 即 f (x) 在区间 (a, b) 内至．少．有．一．个．值．f (x) 比函数 g(x) 在区间 (c, d ) 内的一．
个．函．数．值．小，即 f (x)min g(x)max .
“存．在．x1 (a, b) ，存．在．x2 (c, d ) ，使得 f (x1) g(x2 ) 成立”，即在区间