2007——2014高考数学新课标卷（理）函数与导数综合大题【2007新课标卷（海南宁夏卷）】 21．（本小题满分12分） 设函数2()ln()f x x a x =++（I ）若当1x =-时，()f x 取得极值，求a 的值，并讨论()f x 的单调性； （II ）若()f x 存在极值，求a 的取值范围，并证明所有极值之和大于eln 2． 【解析】（Ⅰ）1()2f x x x a'=++，依题意有(1)0f '-=，故32a =．从而2231(21)(1)()3322x x x x f x x x ++++'==++． ()f x 的定义域为32⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∞，当312x -<<-时，()0f x '>；当112x -<<-时，()0f x '<； 当12x >-时，()0f x '>． 从而，()f x 分别在区间31122⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，∞单调增加，在区间112⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调减少． （Ⅱ）()f x 的定义域为()a -+，∞，2221()x ax f x x a++'=+．方程22210x ax ++=的判别式248a ∆=-． （ⅰ）若0∆<，即a <<()f x 的定义域内()0f x '>，故()f x 的极值．（ⅱ）若0∆=，则aa =若a =()x ∈+，2()f x '=．当x =时，()0f x '=，当2x ⎛⎛⎫∈-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∞时， ()0f x '>，所以()f x 无极值．若a =)x ∈+，()0f x '=>，()f x 也无极值．（ⅲ）若0∆>，即a >a <22210x ax ++=有两个不同的实根1x =2x =当a <12x a x a <-<-，，从而()f x '有()f x 的定义域内没有零点， 故()f x 无极值．当a >1x a >-，2x a >-，()f x '在()f x 的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知()f x 在12x x x x ==，取得极值．综上，()f x 存在极值时，a 的取值范围为)+．()f x 的极值之和为2221211221()()ln()ln()ln 11ln 2ln 22ef x f x x a x x a x a +=+++++=+->-=．【2008新课标卷（海南宁夏卷）】 21．（本小题满分12分） 设函数1()()f x ax a b x b=+∈+Z ，，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为y =3． （Ⅰ）求()f x 的解析式：（Ⅱ）证明：函数()y f x =的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；（Ⅲ）证明：曲线()y f x =上任一点的切线与直线x =1和直线y =x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值． 21．解：（Ⅰ）21()()f x a x b '=-+，于是2121210(2)a b a b ⎧+=⎪+⎪⎨⎪-=+⎪⎩，，解得11a b =⎧⎨=-⎩，，或948.3a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，因a b ∈Z ，，故1()1f x x x =+-．（Ⅱ）证明：已知函数1y x =，21y x=都是奇函数． 所以函数1()g x x x=+也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形．而1()111f x x x =-++-． 可知，函数()g x 的图像按向量(11)=，a 平移，即得到函数()f x 的图像，故函数()f x 的图像是以点(11)，为中心的中心对称图形． （Ⅲ）证明：在曲线上任取一点00011x x x ⎛⎫+⎪-⎝⎭，．由0201()1(1)f x x '=--知，过此点的切线方程为2000200111()1(1)x x y x x x x ⎡⎤-+-=--⎢⎥--⎣⎦．令1x =得0011x y x +=-，切线与直线1x =交点为00111x x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，． 令y x =得021y x =-，切线与直线y x =交点为00(2121)x x --，．直线1x =与直线y x =的交点为(11)，． 从而所围三角形的面积为00000111212112222121x x x x x +---=-=--．所以，所围三角形的面积为定值2．【2009新课标卷（海南宁夏卷）】21.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(x 3+3x 2+ax+b)e －x. (1)若a ＝b ＝－3,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)在(－∞,α),(2,β)单调增加,在(α,2),(β,+∞)单调减少,证明β－α＞6.分析:第(1)问考查利用导数求单调区间,属容易题. 第(2)问考查极值点与导函数的关系.解:(1)当a ＝b ＝－3时,f(x)＝(x 3+3x 2－3x －3)e －x,故f′(x)＝－(x 3+3x 2－3x －3)e －x +(3x 2+6x －3)e －x ＝－e －x (x 3－9x)＝－x(x －3)(x+3)e －x. 当x ＜－3或0＜x ＜3时,f′(x)＞0;当－3＜x ＜0或x ＞3时,f′(x)＜0. 从而f(x)在(－∞,－3),(0,3)单调增加,在(－3,0),(3,+∞)单调减少.(2)f′(x)＝－(x 3+3x 2+ax+b)e －x +(3x 2+6x+a)e －x ＝－e －x ［x 3+(a －6)x+b －a ］.由条件得f′(2)＝0,即23+2(a －6)+b －a ＝0,故b ＝4－a.从而f′(x)＝－e －x ［x 3+(a －6)x+4－2a ］.因为f′(α)＝f′(β)＝0,所以x 3+(a －6)x+4－2a ＝(x －2)(x －α)(x －β)＝(x －2)［x 2－(α+β)x+αβ］.将右边展开,与左边比较系数,得α+β＝－2,αβ＝a －2. 故a 4124)(2-=-+=-αβαβαβ.又(β－2)(α－2)＜0，即αβ－2(α+β)+4＜0.由此可得a ＜－6.于是β－α＞6.【2010新课标卷（海南宁夏吉林黑龙江）】 (21)（本小题满分12分）设函数f(x)=21x e x ax ---.（Ⅰ)若a=0,求f(x)的单调区间;（Ⅱ）若当x ≥0时f(x)≥0，求a 的取值范围.21.解：(1)a ＝0时，f (x )＝e x －1－x ，f ′(x )＝e x－1.当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在(－∞，0)单调减少，在(0，＋∞)单调增加． (2)f ′(x )＝e x－1－2ax .由(1)知e x≥1＋x ，当且仅当x ＝0时等号成立． 故f ′(x )≥x －2ax ＝(1－2a )x ，从而当1－2a ≥0，即a ≤12时，f ′(x )≥0(x ≥0)，而f (0)＝0，于是当x ≥0时，f (x )≥0.由e x >1＋x (x ≠0)可得e －x>1－x (x ≠0)，从而当a >12时，f ′(x )<e x －1＋2a (e －x －1)＝e －x (e x －1)(e x －2a )，故当x ∈(0，ln2a )时， f ′(x )<0，而f (0)＝0，于是当x ∈(0，ln2a )时，f (x )<0，综合得a 的取值范围为(－∞，12]．【2011全国新课标卷】 （21）（本小题满分12分）已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。

（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x kf x x x>+-，求k 的取值范围。

（21）解：（Ⅰ）221(ln )'()(1)x x b x f x x x α+-=-+由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点(1,1)，故(1)1,1'(1),2f f =⎧⎪⎨=-⎪⎩即1,1,22b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩解得1a =，1b =。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知ln 1f ()1x x x x=++，所以22ln 1(1)(1)()()(2ln )11x k k x f x x x x x x---+=+--。

考虑函数()2ln h x x =+2(1)(1)k x x --(0)x >，则22(1)(1)2'()k x xh x x -++=。

(i)设0k ≤，由222(1)(1)'()k x x h x x +--=知，当1x ≠时，'()0h x <。

而(1)0h =，故当(0,1)x ∈时，()0h x >，可得21()01h x x>-； 当x ∈（1，+∞）时，h （x ）<0，可得211x - h （x ）>0从而当x>0,且x ≠1时，f （x ）-（1ln -x x +x k ）>0，即f （x ）>1ln -x x +x k.（ii ）设0<k<1.由于当x ∈（1，k-11）时，（k-1）（x 2+1）+2x>0,故'h (x ）>0,而h （1）=0，故当x ∈（1，k -11）时，h （x ）>0，可得211x -h （x ）<0,与题设矛盾。

（iii ）设k ≥1.此时'h （x ）>0,而h （1）=0，故当x ∈（1，+∞）时，h （x ）>0，可得211x- h （x ）<0,与题设矛盾。

综合得，k 的取值范围为（-∞，0]【2012全国新课标卷(宁、吉、黑、晋、豫、新)】 （21）（本小题满分12分）已知函数()f x 满足满足121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+； （1）求()f x 的解析式及单调区间；（2）若21()2f x x ax b ≥++，求(1)a b +的最大值。

【解析】（1）1211()(1)(0)()(1)(0)2x x f x f e f x x f x f e f x --'''=-+⇒=-+令1x =得：(0)1f = 1211()(1)(0)(1)1(1)2x f x f ex x f f e f e --'''=-+⇒==⇔= 得：21()()()12xx f x e x x g x f x e x '=-+⇒==-+()10()x g x e y g x '=+>⇒=在x R ∈上单调递增 ()0(0)0,()0(0)0f x f x f x f x ''''>=⇔><=⇔< 得：()f x 的解析式为21()2xf x e x x =-+且单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞ （2）21()()(1)02x f x x ax b h x e a x b ≥++⇔=-+-≥得()(1)x h x e a '=-+ ①当10a +≤时，()0()h x y h x '>⇒=在x R ∈上单调递增 x →-∞时，()h x →-∞与()0h x ≥矛盾②当10a +>时，()0ln(1),()0ln(1)h x x a h x x a ''>⇔>+<⇔<+ 得：当ln(1)x a =+时，min ()(1)(1)ln(1)0h x a a a b =+-++-≥ 22(1)(1)(1)ln(1)(10)a b a a a a +≤+-+++> 令22()ln (0)F x x x x x =->；则()(12ln )F x x x '=-()00()0F x x F x x ''>⇔<<<⇔>当x =max ()2e F x =当1,a b ==(1)a b +的最大值为2e 【2013全国新课标Ⅱ卷】21．（本小题满分12分） 已知函数．（Ⅰ）设是的极值点，求，并讨论的单调性；（Ⅱ）当时，证明．解：（Ⅰ）'()ln()x f x e x m =-+Q '()x f x e x m∴=-+1x =0Q 是()f x 的极值点 '()f ∴=00 即m-=110 m ∴=1 '()x f x e x ∴=-+11()''()x f x e x ∴=+>+2101 '()f x ∴在(,)-+∞1上单调递增'()f =00Q ',()x f x ∴-<<<100；',()x f x ∴>>00. ∴()f x 在(,)-10上单调递减，在(,)+∞0上单调递增.（Ⅱ）方法一：令()x h x e x =--1 '()x h x e ∴=-1()h x ∴在(,)-∞0上单调递减，在(+)∞0，上单调递增 ()()h x h ∴≥=00 即x e x ≥+1令()ln()g x x x =+-+12 '()x g x x x +∴=-=++11122()g x ∴在(,)--21上单调递减，在(,)-+∞1上单调递增.()()g x g ∴≥-=10 即ln()x x +≥+12 ln()x e x ∴>+2又Q 当m ≤2时，x x m +≥+2 ()()ln ln x x m ∴+≥+2 ()ln xe x m ∴>+即()ln xe x m -+>0 ∴当m ≤2时，()f x >0.方法二：设()()ln xg x e x =-+2 '()xg x e x ∴=-+12()''()x g x e x ∴=+>+2102 '()g x ∴在(,)-+∞2单调递增.而''(),()g g e -=-<=->111100102(,)x ∴∃∈-010使得'()g x =00 ()g x ∴在(,)x -02上单调递减，在(,+)x ∞0上单调递增.min ()(),(,)g x g x x ∴=∈-0010 ()()ln()x g x g x e x ∴≥=-+0002令()ln(),(,)h x x x x =+-+∈-1210 '()x h x x x +∴=-=++11122()h x ∴在(,)-10上单调递增.()()h x h ∴>-=10 即ln()x x +>+12 x e x >+1Q ln()x e x ∴>+2又Q 当m ≤2时，x x m +≥+2 ()()ln ln x x m ∴+≥+2 ()ln xe x m ∴>+即()ln xe x m -+>0 ∴当m ≤2时，()f x >0.【2014全国新课标Ⅱ卷】21．已知函数()2x x f x e e x -=--． （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）设()(2)4()g x f x bf x =-，当0x >时，()0g x >，求b 的最大值；（III ）已知1.4142 1.4143<<，估计ln 2的近似值（精确到0.001）．【解析】 （I ）()120x xf x e e '=+-≥当且仅当0x =时等号成立， ()f x ∴在R 上是增函数；（II ）()()()()()2224484x x x x g x f x bf x e e b e e b x --=-=---+-()()()()()2222422222x x x xx x x x g x e e b e e b e e e e b ----⎡⎤'∴=+-++-=+-+-+⎣⎦⑴当2b ≤时，()0g x '≥，等号仅当0x =时成立，()g x ∴在R 上是增函数，而()00g =，所以对任意0x >，()0g x >；⑵当2b >时，若x 满足222xxe eb -<+<-，即(0ln 1x b <<-时，()0g x '<，()()00g x g <=.综上，b 的最大值是2.（III ）由II 知，(()3ln 221ln 22g b =-+-，当2b =时，(3ln 6ln 202g =->，3ln 20.6928;12>>当14b =+时，(ln 1b -=(()32ln 202g =--<，ln 20.6934<<所以ln 2的近似值为0.693.。