机抽取机器 A 生产的管子 18 只, 测得样本方差为 2 s1 0.34(mm 2 ); 抽取机器B生产的管子 13 只, 测 得样本方差为 s2 0.29(mm 2 ). 设两样本相互独
2
立,且设由机器 A 和机器 B 生产的钢管内径分别服 2 2 2 从正态分布 N ( 1 , 1 ), N ( 2 , 2 ), i , i ( i 1,2)
.
1 和 2 均为未知, X Y z 2 （近似)
2 2
2 S12 S 2 . n1 n2
1 2 2 , 但 2 为未知,
2 2
2 2 Sw Sw X Y t ( n n 2) . 1 2 2 n1 n2
( n1 1) S1 ( n2 1) S 2 其中 S . n1 n2 2
2 2 2 w
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5
概 率 论 与 数 理 统 计 课 件
例3 为比较 I, II 两种型号步枪子弹的枪口速 度, 随机地取 I 型子弹10发, 得到枪口速度的平 均值为 x1 500 m/s, 标准差为 s1 1.10 m/s, 随机地取 II 型子弹20发, 得枪口速度的平均值 为 x2 496 m/s, 标准差为 s2 1.20 m/s. 假设 两总体都可认为近似地服从正态分布, 且由生 产过程可认为它们的方差相等. 求两总体均值 差 1 2 的一个置信度为0.95的置信区间. 解 由题意, 两总体样本独立且方差相等(但未知),
即 (4.15, 0.11).
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1 2. 两个总体方差比 2 的置信区间 2
2
概 率 论 与 数 理 统 计 课 件
仅讨论总体均值 1 , 2 为未知的情况.
( n1 1) S1
2
由于
1
2
~ ( n1 1),
2 2
( n2 1) S2
2
2
2 2
概 率 论 与 数 理 统 计 课 件
( n1 1) S1 ( n2 1) S 2 且 s 3.96, n1 n2 2
2 2 2 w
于是 1 2的一个置信水平为 .95的置信区间为 0
1 21 x1 x2 t 0.025 (14) S w ( 2.02 2.13), 8 8
2 2 X Y z 1 2 . 2 n1 n2
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3
( 2) 1 和 2 均为未知,
2 2
概 率 论 与 数 理 统 计 课 件
只要n1和n2都很大(实用上 50即可), 则有
1 2的一个置信度为1 的近似置信区间
§7.5 正态总体均值与方差的区间估计
（二）两个正态总体的情况
概 率 论 与 数 理 统 计 课 件
设 给 定 置 信 度 为 , 并 设 X 1 , X 2 , , X n1 为 1 第 一 个 总 体 ( 1 , 1 )的 样 本 Y1 , Y2 , , Yn2 为 第 二 N ,
X Y z 2
S1 S2 n1 n2
2
2
.
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4
( 3) 1 2 2 , 但 2 为未知,
2 2
概 率 论 与 数 理 统 计 课 件
1 2的一个置信度为1 的置信区间
2 2 X Y t ( n n 2) S w S w . 1 2 2 n1 n2
均未知, 求方差比 1 2 的置信度为 0.90 的置信 区间. 解 n1 18, n2 13, 0.10,
2 2
s 0.34, s 0.29,
2 1 2 2
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12
F0.05 (17, 12) IDF.F(0.95,17,12)=2.58,
1 2 1 x1 x2 t 0.025 ( 28) S w (4 0.93 ), 10 20
即
(3.07, 4.93).
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例4
概 率 论 与 数 理 统 计 课 件
为提高某一化学生产过程的得率, 试图采用
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1 4. 两个总体方差比 2 的置信区间 2
2
概 率 论 与 数 理 统 计 课 件
总体均值 1 , 2 为未知
S2 1 S12 1 1 . , 2 2 S 2 F ( n1 1, n2 1) S 2 F1 ( n1 1, n2 1) 2 2
概 率 论 与 数 理 统 计 课 件
2 S2 1 1 S12 1 1 P 2 2 2 1 , S 2 F1 ( n1 1, n2 1) S 2 F2 ( n1 1, n2 1) 2 2
1 于是得 2 的一个置信度为 1 的置信区间 2
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例6
概 率 论 与 数 理 统 计 课 件
甲、乙两台机床加工同一种零件, 在机床甲
加工的零件中抽取9个样品, 在机床乙加工的零件
中抽取6个样品,并分别测得它们的长度(单位:mm),
由所给数据算得 s1 0.245, s2 0.357, 在置信度
2 2
0.98下, 试求这两台机床加工精度之比 1 2 的置
(1) 1 和 2 均为已知
2 2
概 率 论 与 数 理 统 计 课 件
因 X , Y 分 是 1 , 2 的 偏 计 , 为 别 无 估 所 X Y 是1 2 的 偏 计 , 以 无 估 由X , Y 的 立 及 独 性
2 2 1 2 , X ~ N 1 , , Y ~ N 2 , n1 n2
.
( n 1) S 2 ( n 1) S 2 . , 2 2 ( n 1) 1 ( n 1) 2 2
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概 率 论 与 数 理 统 计 课 件
3. 两个总体均值差 1 2 的置信区间 2 12 2 2 2 1 和 2 均为已知, X Y z 2 n1 n2
2
体都可认为近似地服从正态分布, 且方差相等, 求 两总体均值差 1 2的置信水平为0.95的置 信区间. 解 由题意, 两总体样本独立且方差相等(但未知),
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n1 n2 8, 0.05,
t0.025 (14) IDF.T(0.975,14) 2.1448,
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0.05,
概 率 论 与 数 理 统 计 课 件
n1 10, n2 20,
查 表 得:
t0.025 ( 28) 2.0484,
9 1.102 19 1.202 2 又 sw 1.36607, 28
于是 1 2的一个置信度为0.95的置信区间为
~ 2 ( n2 1),
且由假设知
( n1 1) S1
1
2
与
2 2
( n2 1) S2
2
2 2
2
相互独立,
根据F分布的定义, 知
S1 1
S2 2
~ F ( n1 1, n2 1),
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2 2 S1 1 P F1 ( n1 1, n2 1) 2 F ( n1 1, n2 1) 1 , 2 2 2 S2 2
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2
2 2 1 2 , 可知 X Y ~ N 1 2 , n1 n2
概 率 论 与 数 理 统 计 课 件
或
X Y
1
2
1
2
2
n1

2
~ N 0, 1,
n2
于是得 1 2的一个置信度为1 的置信区间
一种新的催化剂, 为慎重起见, 在试验工厂先进行 试验. 设采用原来的催化剂进行了n1 8 次试验, 得到得率的平均值 x1 91.73. 样本方差 s1 3.89, 又采用新的催化剂进行了n2 8 次试验, 得到得率 的平均值 x2 93.75, 样本方差 s2 2 4.02,假设两总
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小结
概 率 论 与 数 理 统 计 课 件
1. 单个总体均值 的置信区间
(1) 为已知, X z . 2 n ( 2) 2为未知,
2
2. 单个总体方差 2 的置信区间
S2 X t ( n 1) 2 n
信区间. 假定测量值都服从正态分布, 方差分别为
2 12 ,
0.02,
F0.01 (8, 5) IDF.F(0.99,8,5)=10.29,
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F0.99 (8, 5) IDF.F(0.01,8,5)=0.15,
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F0.95 (17, 12) IDF.F(0.05,17,12)=0.42,
1 于是 2 的一个置信度为0.90 的置信区间为 2
2
0.34 1 0.34 1 , 0.45, 2.79. 0.29 2.58 0.29 0.42
2
个 总 体N ( 2 , 2 )的 样 本 X , Y 分 别 是 第 一 、 二 个 ,