第三讲余数问题一、知识概要（1）被除数÷除数＝商……余数（余数一定要小于除数）被除数＝除数×商＋余数，或（被除数－余数）÷商＝除数。

（2）一个数被9除的余数叫做这个数的“九余数”（或“弃九数”）。

求一个数的九余数，就是求这个数各个数位上数字之和的九余数。

例如：求345÷9的余数，就用（3＋4＋5）÷9＝12÷9＝1……3，可知345÷9的余数是3。

（3）如果整数a和b被几除，得到的余数是相同的，那么，我们僦称a和b“同余”。

同余性质有：⑴若a和b同余，c和d同余，则a±c和b±d同余；⑵若a和b同余，c和d同余，则a×c和b×d同余。

二、典型例题精讲1、△□□□□□△□□□□□△□□……这列图形的第310个图是什么图形？识题技巧：这个图形的排列规律是：“△□□□□□”6个为一组依次循环。

求出310的余数，找到排列在第“余数”位的那个图形即是。

解：310÷6＝51（组）……4（个）答：这个图形的第310个图是□。

2、哪些数除以7结果的商和余数都相同？识题技巧：把原题写成□÷7＝□……□的形式，因为“余一定小于除数”，所以，余数有（7-1）种可能。

（根据“知识概要”<1>可解答）解：如表所示。

答：这些数是8、16、24、32、40、48。

3、积的个位是数字几？个19933333 识题技巧：3＝3 （1个3）3×3＝9 （2个3）3×3×3＝27 （3个3）3×3×3×3＝81 （4个3）3×3×3×3×3＝243 （5个3）3×3×3×3×3×3＝729 （6个3）…………………从以上算式不难看出它们的规律：积的个位数字随“×3”个数的增加而按“3、9、7、1”依次循环。

因此，这个题是个“余数问题”。

解：199÷4＝49（组）…………3（个），（3个3相乘积的个位为7）。

答：积的个位数字是7。

4、去年（200年）的“元旦”是星期二，那么今年（2003年）的“元旦节”是星期？识题技巧：<1>“元旦”即1月1日，从2002年元月1日到2003年元月1日共有（365＋1）天，即366天。

<2>星期是7天为一个周期。

<3>按本题的意思，星期的排列规律是：星期二、星期三…………星期一。

解：366÷7＝52（个周期）…………2（天）（排在第2的是星期三）答：2003年的“元旦节”是期三。

5、计算2731596÷7284，并用“九余数”法验算。

识题技巧：“九余数”就是把某一个数的各个数位上的数字加起来，所得的和再除以9而得到的余数。

［也可以这样做：把各个数位上的数加起来之后，如果和仍然还是两位以上的数，那么再继续把和的各个数位的数字加起来，直到和是一位数，这个“一位数”即是“九余数”。

］解： 验算： 9636420 36516 50988 54639 21852 27315963757284 33(和) 21 15 15 6(余数) 3 × 66 1896 ＝ 0 ＋ 6 2731596÷7284＝375 (96)6、幼儿园老师给四个小朋友依次发水果糖，当第三个小朋友拿到7颗糖时，老师已发了多少颗糖？识题技巧：第三个小朋友拿到了7颗，这说明老师循环发了6次多3人（或7次少1人）。

解：6×4＋3＝27（颗）[或7×4－1＝28－1＝27（颗）]答：老师已经发了27颗糖。

三、练习巩固与拓展1、小英同学有一串五彩珠子，是按“红、黄、蓝、绿、紫”的次序排列的，问：<1>第58颗是什么颜色的？<2>第8颗蓝珠子是从头数起的第几颗？<3>第9颗紫珠子与第13颗絲珠子之间有多少颗珠子？2、2003年的“六·一”儿童节是星期日，这一年的10月1日国庆节是星期几？2004年的“元旦节”是星期？3、□÷8＝□……□，余数可能是几？4、□÷□＝□………7，除数最小是几？5、□÷7＝16………□，要使余数最大，被除数是几？6、，积的末位数字是几？个18733337、几？，积的末位数字应该是个30022221、在下面的乘法中，A、B表示不同的数字，试问：A、B各代表哪一个数字？9、钟面上现在是整点，分钟再转100圈，正好是四点整，钟面上现在是几点钟？10、有红、白、黑球具2000个，按“红4个、白3个、黑2个”的顺序循环排列（如下图），最后一个是什么颜色的球？11、星期四，再过25天，第26天是星期几？12、假设所有的自然数排列起来（如下图），120应位于哪一个字母下面？A B C D E F G4636332ABAB1 2 3 47 6 58 9 10 1114 13 1215 16 …………13、在下列这串分数中：个分数是几分之几？）第（是第几个分数？）（、、、、、、、；、、、、；、、、2926615141424344434241313233323121222111 14、张江同学计算一个奥数题，由于粗心，把某数除以23等87余12，余数写多于正确答案10。

你说“某数”是多少？15、某边防部队不分昼夜地轮流站岗，前5天由五个战士每隔2小时依次轮换一次。

以第一个战士开始手，100小时该由第几个战士上班？16、紧接着2063的后面写一串数字，每个数字都是它前面两个数字之积的个位数字，这串数是这样的：206384286884……你算：这串数从头数起第2063个数字是几？17、杨军在外婆家玩了9天，回家后，将这9天的日历撕下来，他惊奇地发现：这9天日历上的数相加刚好是81。

你想：杨军是几号回家，几号去外婆的？他为什么感到“惊奇”？第三讲 练习题答案1、（1）58÷5＝11……3（排在第3位的是“蓝”）故：第58颗是蓝色。

（2）5×8－2＝38（颗）故：第8颗蓝珠子是第38颗。

2、（1）123÷7＝17……4 （排在第4位的是星期三）故：国庆节那天是星期三。

（2）225÷7＝30……5（余数为5，按星期规律排在第五是星期四）故：2004元旦是星期四。

3、余数可能是7、6、5、4、3、2、1、0这八种情况。

4、除数最小是8。

5、当余数为6时，被除数是16×7＋6＝118。

6、187÷4＝46……3（第3个重复出现的是“7”）故：积的末位数字是7。

7、300÷4＝75（余数为0，是排在第四位的重复出现数“6”）故：积的末位数字是68、A 代表5；B 代表6。

9、<1>100÷12＝8……4（小时）<2>4－4=0(即12点)（运用倒推法）故：钟面上现在是12点。

10、2000÷9＝222……2（个）（第2个是“红”）故：最后一个是红球。

11、26÷7＝3（周）……5（天），（第5循环数是“1”）故：第26天是星期一。

12、（提示：循环规律是：7个数为一组依次重复出现在A －G 七个字母下面）120÷7＝17……1（第一个字母是A ）故：120位于A 下面。

13、（提示：分母和分数的出现规律是：分母是1，有分数1个；分母是2，有分数3个；分母是3，有分数5个……分数个数成一个等差数列1、3、5、7、9……。

分母为6，相对应的分数有11个，66排在分母为6这一组中的第6个。

） <1>（9＋1）×5÷2＋6＝31（个） 故：66是第31个分母数。

<2> ∵分数的个数与分母有这样的关系（如下表）∴第29个分数应该是分母是6这一组中的第四个，即64 。

14、∵□÷23＝87……12中的“12”多3 10，∴□＝23×87＋（12－10）＝2003故：“某数”是200315、∵A B C D E （5个战士）1－2 3－4 5－6 7－8 9－10 （时间）11－1213－1415－1617－1819－20………………………………………（每隔10小时1循环）∴100÷10＝10（余数为0或9都是轮为“E”）故：100小时时该由第五个战士上班。

16、（提示：这串数从11位开始，每6个为一个周期循环出现，而且每一位上的数字与余数的对应关系是：）∵2063÷6＝343 (5)故：这串数从头数起第2063个数字是817、设杨军去的那天是K号，则第二天就是（K＋1）号，第三天就是K+K+1+K+2+K+3+K+………+K+8=819K＋（1＋8）×8÷2＝819K＝45K＝5K＋8＝13故：杨军是5号去外婆家的，13号回家。

杨军之所的感到惊奇，是因为他发现9天连续日期的和等于9×9；不仅9天这样，凡是3、5、7、11、13………奇数天连续日期的和等于那个奇数和本身的乘积。

（注意：不是任意奇数天连续日期的和都这样，而是特定的从某天开始。

如本题必须是从5号（从6号就不一定了）开始，到13号这九天日期才是81。

）。