e
(3.21)
式中：I 为2阶单位矩阵，
Nl 1 al bl r cl z 2
l, m, n轮换
(3.22)
为三角形环状单元截面的面积，引入
1 rl 1 rm 1 rn zl zm zn
1 2
rm al rn
具有
c0
阶连续性，为协调单元。
Ⅱ、应变应力
空间中每一节点有6个应变分量：
x 0 0 y 0 z
e
0 y 0 x z 0

e
0 0 z N e 0 y x
N i 0 0 N j 0 0 N m 0 0 N l 0 0 N 0 N 0 0 N 0 0 N 0 0 N 0 i j m l 0 0 N i 0 0 N j 0 0 N m 0 0 N l
(3.4)
按节点分块，
N Ni I
NjI
Nm I
xj ai xm xl yj ym yl zj zm zl
1 yj zj zm zn bi 1 y m 1 yn
1 xj ci 1 x m 1 xn
a j , bj , c j , d j
zj zm zn
1 xj d i 1 xm 1 xn
yj ym yn
则为第二行各列元素对应的代数余子式，余类
r r 1 r z 0 rz z 0 0 u w z r
(3.16)
几何方程
(3.17)
物理方程
D

~ u A au
e

得到，
u v w
e
~ A
~ A
au av ~ A aw
e 求逆矩阵后，a 即可由 替换，
u e f v N w
(3.13)
讨论： • 四面体单元与前述三角形单元的推导过程完全相似，尤其 形函数的表述很相似，二者均为常应变单元；
• 在三角形单元中，可以引入面积坐标，从而建立高精度单 元；在四面体单元中，是否可引入体积坐标？建立高精度 的如线性应变的四面体单元？ • 在商业软件中，由CAD、ProE等转换到有限元软件的前 处理程序中，一般只能自动生成4面体单元，包括4节点， 10节点等多种单元。
定义：几何形状对称于某一固定轴；约束条件和外载荷都对 称于这一固定轴；结构的位移、应变、应力都将对称于该 固定轴，则这类特殊的空间问题就称之为轴对称问题。 通常采用柱坐标系 r，，z 描述；对称轴为 z 轴，所 有位移、应力、应变与 方向无关，仅为 r , z 的函数； 任一点只有沿 r 方向的径向位移 ur , z 、沿Z 方向的 轴向位移 wr , z ，没有环向位移。 空间中的轴对称问题一般可归结为准二维问题。
所有 br , cr , d r 均由节点坐标构成，为一常量， B 为常量矩 阵，单元内的应变为常应变分布。
单元内的应力：
e DB e
单元内的应力亦为常应变分布。
(3.10)
Ⅲ、单元刚度矩阵 单元节点力与节点位移之关系，同样可以由虚 位移原理导出。
虚位移原理：当单元在节点力作用下处于平衡状态，给定单 元一约束条件所允许的任意小的虚位移时，节点力在 虚位移上所作之功就等于单元内应力在相应虚应变上 所作之功。
0 i 令： 0 i 0 i 8节点的长方体单元的形函数：
Ni 1 1 0 1 0 1 0 8
(3.14) (3.15)
u e f v N w
3.3 轴对称问题
空间体中，最简单的几何体应该为四面体，弹性体可 以无限制地离散为若干四面体。 四面体单元中最简单的是四节点单元，一种常应变单 元。 考虑任一四面体单元： Ⅰ、取四面体的4个角点为节点，节点编号： i, j, m, l ，右手 法则排序。 空间问题中， 每一节点有3个位移分量。
ui i v i w i
Ⅰ、位移模式
wn
T
仿照平面三角形单元，
u a1 a2 r a3 z (3.20) w a 4 a5 r a 6 z 与平面三角形单元的推导类似，我们可以建立形函数N ， 得到单元内位移：
f
u N l I w
Nm I
N n I
推。
检验： 对任一节点形函数 Ni ，其它节点坐标代入均将导致 Ni 0 ，仅节点本身的坐标代入时 Ni 1；
N
1
4
i
1
收敛性：位移函数是线性的，包含有常数和线性项，即含有 刚体位移，常应变，满足完备性条件； 位移为线性函数，在单元内自然连续；在单元之间的 交界面上，位移仍线性变化，可由节点位移唯一确定，所 以位移在两单元之间的交界面连续。
可导出相应的有限元方程：
P k e
其中，
(3.11) (3.12)
k B DBd
T
由虚功原理将外载荷转换为节点处的等效节点载荷 e Q （等效节点力） ， 考虑体积力 X 、面力 q、集中力 F
Qe N T X d N T qdA N T F
e
B
(3.8)
按节点分块,
B Bi
Bj
Bm
Bl

(3.9)
br 0 1 0 Br 6v c r 0 d r
0 cr 0 br dr 0
0 0 dr 0 cr br
r i, j, m, l
即，
则
rr
1 rl rm rn 阶单位矩阵 同样引入 矩阵：
1 xi 1 x j 1 xm 1 xl yi yj ym yl zi zj zm zl
(3.6)
四面体体积为(节点编号按右手系顺序，其体积恒为正值)：
1 V 6
各节点的形函数可以表示为：
单元应力：
D DB e
同样地，单元内的应力为非常应力分布！
问题：
(3.26)
当三角形环单元一边或一节点与轴心重合时（轴对称 体为实心体时），对应的(3.25)中的 f l , 或 f m , f n 函数将 出现奇异性。
解决方案：将轴心处的单元近似处理为常应变单元。 取 f l 中的 r , z 均为单元形心的坐标，相对单元为一常数。
一般只需在平面内，对结构构造单元网络即可。但是 涉及到积分时，仍然需要对环单元体积作积分。
3.4 三节点三角形环单元
各种环单元中，截面为三角形的三节点环单元为最简 单。单元适应性好，计算也简单。
上图表示：在 单元节点位移：
rz 平面内截面为 lmn
wl um wm un
三角形的环单元。
e ul
1 i, m轮换 N i ai bi x ci y d i z 6v 1 j, l轮换 N j a j b j x c j y d j z 6v
(3.7)
ai , bi , ci , di 分别为 中第一行各列元素对应的代数余子 式，同三角形单元中描述雷同，如：
u a1 a2 x a3 y a4 z v a5 a6 x a7 y a8 z w a a x a y a z 9 10 11 12
(3.2)
矩阵形式：
u v 1 x w
y
z a
a2 a12
3.2 六面体单元
空间问题中常采用六 面体单元，如长方体（正 方体）单元。 取其8个角点为节点， 每一节点3个自由度，则 单元有24个自由度。 同样，可引入局部坐 标系 , , ，以简化运算。
关键问题在于位移模式的选取： U函数中，除了线性项 , , ，常数项 A0 外，可 3项。还需引入一项 ，这里考虑了几 ， 取 ， 何各项同性，取8项含8个待定系数，可由单元节点位移唯 一确定。 同理，对V、W位移函数可取相同类型。
T
(3.3)
a a1
分别将节点位移、节点坐标代入，
ui 1 xi u 1 x j j u m 1 xm u l 1 xl
yi yj ym yl
zi a1 a zj 2 z m a3 zl a 4
1 1 E 1 D 1 1 2 1 0 1
(3.18)
1 2 21

1 0
1 0
(3.19)
由于轴对称体的变形与环向无关，单元形状就可取成 圆环形，其截面可选为三角形或四边形； 取角点为节点时，环单元的节点实际上为一圆周线； 但所有节点力或节点等效外载荷均应理解为：在节点所在 的整个圆周线的总和（不一定为合力！）；同样对节点的 约束也是对整个圆周线而言。
任一点有三个正应变、一个剪应变分量，及对应的应 力分量：
r
z rz

r z rz
弹性理论中的基本方程：
平衡方程
r rz r Xr 0 r z r rz z rz X 0 z z r z
单元的节点位移列阵可按节点号分块：
e i j m l T
(3.1)
单元内的位移模式，为满足完备性条件，至少应取为 坐标的线性函数； 单元共12个节点位移分量，而线性位移函数亦为12个 待定系数，刚好可由节点位移分量位移描述。 位移模式即可由单元节点位移的插值函数构成：