泛函分析课程总结论文第一部分：知识点体系第七章：度量空间和赋范线性空间度量空间：把距离概念抽象化，对某些一般的集合引进点和点之间的距离，使之成为距离空间，这将是深入研究极限过程的一个有效步骤。

泛函分析中要处理的度量空间，是带有某些代数结构的度量空间，例如赋范线性空间，就是一种带有线性结构的度量空间。

一、度量空间的进一步例子 1、度量空间的定义定义1.1 设X 为一个集合，一个映射X X R ⨯→d ：.若对于任何x,y,z 属于X ，有1°d(,)0x y ≥，且d(,)0x y =当且仅当x y =（非负性）； 2°(,)(,)d x y d y x =（对称性）；3°(,)(,)(,)d x y d x z d z y ≤+ （三角不等式） 则称d 为集合X 的一个度量，同时称(),X d 为一个度量空间（课本第二章第一节中已经讲解了度量空间的定义，第七章第一节接着讲解度量空间，下面介绍六种度量空间。

）2、常见的度量空间 例2.1 离散的度量空间设 x 是任意的非空集合，对 x 中的任意两点 ，令 称为离散的度量空间。

例2.2 序列空间S令S 表示实数列（或复数列）的全体，对S 中的任意两点令 称为序列空间。

例2.3 （3）有界函数空间B(A ）,x y X ∈1,(,)0,if x yd x y if x y ≠⎧=⎨=⎩(,)X d 1212(,,...,,...),(,,...,,...),n n x y ξξξηηη==1||1(,)21||i i i i i id x y ξηξη∞=-=+-∑(,)S d设A 是一个给定的集合，令B(A)表示A 上有界实值（或复值）函数全体，对B(A)中任意两点x,y ，定义例2.4 可测函数空间设M(X)为X 上实值（或复值）的勒贝格可测函数全体，m 为勒贝格测度，若，对任意两个可测函数 及 由于 ，所以这是X 上的可积函数。

令例2.5 C[a,b]空间令C[a,b] 表示闭区间[a,b]上实值（或复值）连续函数全体，对 C[a,b]中任意两点x,y ，定义例2.6 2l .记{}221k k k l x x x ∞=⎧⎫==<∞⎨⎬⎩⎭∑，设{}2k x x l =∈，{}2k y y l =∈，定义1221(,)()k k k d x y y x ∞=⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦∑，则d 是2l 上的距离（可以证明d <∞），2l 按(),d x y 成为度量空间.（在第二章第二节的理论基础上，进一步导入度量空间的相关概念。

）二、度量空间中的极限、稠密集、可分空间 1、收敛点列设是（X ，d ）中点列，如果存在 ，使 则称点列 是（X ，d ）中的收敛点列，x 是点列 的极限。

收敛点列性质：（1）在度量空间中，任何一个点列最多只有一个极限，即收敛点列的极限是唯一的。

（2）M 是闭集的充要条件是M 中任何收敛点列的极限都在M 中。

2、收敛点列在具体空间中的意义1°nR 为n 维欧氏空间，()()()12(,,,),1,2,,m mmm n x m ξξξ==………为n R 中的点列，()12,,n n x R ξξξ=∈…,，不难证明 ()()(),0,1mm i i d x x m i n ξξ→⇔→→∞≤≤.2°[],C a b 空间中，设{}n x 及x 分别为[],C a b 中点列及点，则(),0n n d x x x x →⇔→一致收敛.3°序列空间S 中，设()()()12(,,,),1,2,m mmm n x m ξξξ==………及(,)sup |()()|t Ad x y x t y t ∈=-()m X <∞()f t ()g t |()()|11|()()|f t g t f t g t -<+-|()()|(,)1|()()|Xf tg t d f g dt f t g t -=+-⎰(,)max |()()|a t bd x y x t y t ≤≤=-{}n x x X ∈lim (,)0n n d x x →∞={}n x {}n x()12,,,n x ξξξ=…,?分别为S 中点列及点，则(),0m d x x →⇔m x 依分量收敛于x .4°可测函数空间()M X .设{}n f 及f 分别为()M X 中的点列及点，则(),0n n d f f f f →⇔⇒（可测）.3、稠密集，可分空间1°设X 是度量空间，E 和M 是X 中的两个子集，令 表示M 的闭包，如果 ，那么称集M 在集E 中稠密。

4、等价定义：如果E 中任何一点x 的任何邻域都含有集M 中的点，就称M 在E 中稠密。

对任一，有M 中的点列 ，使得 2°当E=X 时，称集M 为X 的一个稠密子集。

3°如果X 有一个可数的稠密子集时，称X 为可分空间。

（根据度量空间和直线上函数连续性的定义，第三节继续导入度量空间中映射连续性的概念。

）三、连续映射1、度量空间中的连续性设 X=(X,d)，Y=（Y ，d ） 是两个度量空间，T 是X 到Y 中的映射, 如果对于任意给定 ，存在 ，使对X 中一切满足的x ，成立 则称T 在连续。

我们也可以用集显来定义映射的连续性连续性的极限定义设T 是度量空间(X,d)到（Y ，d ） 中的映射，那么T 在 连续的充要条件为当时，必有 2、连续映射如果映射T 在X 的每一点都连续，则称T 是X 上的连续映射。

称集合为集合M 在映射T 下的原像。

定理：度量空间X 到Y 的映射T 是X 上的连续映射的充要条件为Y 中任意开集M 的原像 是X 中的开集。

3.判断映射连续性共有如下四种方法：1°（定义法）设()(),,,d Y Y dX =X =是两个度量空间，T 是X 到Y 中映射，0x ∈X，如果对于任意给定的正数ε，存在正数0δ>，使对X 中一切满足()0,d x x δ<的x ，有 ()0,d Tx Tx ε<，则称T 在x 连续.E M ⊂x E ∈{}n x ()n x x n →→∞0,x X ∈0ε>0δ>0(,)d x x δ<0(,)d Tx Tx ε<0x 0,x X ∈0()n x x n →→∞0()n Tx Tx n →→∞{|,}x x X Tx M Y ∈∈⊂1T M -2°（邻域法）对Tx 的每个ε一邻域，必有0x 的某个δ一邻域V 使TV U ⊂，其中TV 表示V 在映射T 作用下的像，则称T 在x 连续. 3°（极限法）定理3.1 设T 是度量空间(),d X 到度量空间(),Y d 中的映射，那么T 在0x ∈X 连续的充要条件为当()0n x x n →→∞时，必有()0n Tx Tx n →→∞.4°（开集法）定理3.2 度量空间X 到Y 中的映射T 是X 上连续映射的充要条件为Y 中任意开集M 的原像1T -M 是X 中的开集.（在这个定理中把开集改为闭集后定理仍然成立）四、柯西点列和完备度量空间 1、柯西点列设 X=(X,d)是度量空间， 是X 中点列，如果对任何事先给定的，存在正整数，使当n ，m>N 时，必有 则称 是X 中的柯西点列或基本点列。

总结：在实数空间当中，柯西点列一定是收敛点列；但是在一般的度量空间当中，柯西点列不一定收敛，但是每一个收敛点列一定是柯西点列。

2、完备的度量空间如果度量空间(X,d)中每一个柯西点列都在(X,d)中收敛，则称(X,d)是完备的度量空间。

例：1、[a,b]C 是完备度量空间2、2l 是完备度量空间3、n R 是完备的度量空间注意：1、Q 全体按绝对值距离构成的空间不完备2、柯西点列不一定收敛，但是度量空间中每一个收敛点列都是柯西点列3、实系数多项式全体[,]P a b ，[,]P a b 作为[a,b]C 的子空间不是完备度量空间3、子空间完备性定理完备度量空间X 的子空间M ，是完备空间的充要条件是：M 是X 中的闭子空间。

五、度量空间的完备化{}n x 0ε>()N N ε=(,)n m d x x ε<{}n x1、等距同构映射 设(X,d)， 是两个度量空间，如果存在X 到 的保距映射T ，即 ，则称 (X,d) 和 等距同构，此时 T 称为X 到 上的等距同构映射。

六、压缩映射原理及其应用作为完备度量空间概念的应用，我们介绍巴纳赫的压缩映射原理，它在许多关于存在唯一性的定理（例如微分方程，代数方程，积分方程等）的证明中是一个有力的工具。

在介绍压缩映射原理前，我们来介绍压缩映射以及不动点 1、压缩映射设X 是度量空间，T 是X 到X 中的映射，如果存在一个数a ，0<a<1,使得对所有的x,y 属于X ，成立 则称T 是压缩映射。

几何意义：压缩映射就是使映射后距离缩短a 倍的映射。

2、不动点设X 为一个集合，T 是X 到X 的一个映射，如果 ，使得 ，则称x*为映射T 的不动点。

3、压缩映射定理设X 是完备的度量空间，T 是X 上的压缩映射，那么T 有且只有一个不动点。

注意：a.完备度量空间中的压缩映射必有唯一的不动点。

b.完备性是保证映射的不动点的存在，至于不动点的唯一性，并不依赖于X 的完备性。

压缩映射具有连续性，即对任何收敛点列必有七、线性空间1、定义：设X 是一非空集合，在X 中定义了元素的加法运算和实数（或复数）与X 中元素的乘法运算，满足下列条件：（一）关于加法：(1)交换律（2）结合律（3）有零元（4）有负元，（二）关于数乘：（1）分配律（2）结合律（3）x X ∀∈，均有1xx =，满足这样性质的集合X 称为线性空间。

例：1、nR 按自身定义的加法和数乘成线性空间2、[a,b]C 按自身定义的加法和数乘成线性空间3、空间(0)plp >按自身定义的加法和数乘成线性空间八、 赋范线性空间和巴拿赫空间 1、赋范线性空间设X 是实（或复）的线性空间，如果对于每个向量，有一个确定的实数，记为 与之对应，并且满足： 1° 且 等价于x=0(,),X d X (,)(,)d Tx Ty d x y =(,),X d X (,)(,)d Tx Ty d x y α≤*x X ∈**Tx x =0()n x x n →→∞0()n Tx Tx n →→∞x X ∈x 0x ≥0x =2° 其中 a 为任意实（或复）数；3° 则称 为向量 x 的范数，称X 按范数成为赋范线性空间。

注：范数类似于普通向量的长度2、关于极限的定义（依范数收敛）设是X 中一点列，如果存在 ，使 则称 依范数收敛于 x ，记为 或3、赋范线性空间的性质1°赋范线性空间不仅是线性空间，也是一个度量空间。