工程力学B第二部分：材料力学扭转1、钢制圆轴材料的剪切弹性模量G=80Gpa ，[]=50Mpa,m o 1][='ϕ,圆轴直径d=100mm;求(1)做出扭矩图;(2)校核强度;(3)校核刚度;(4)计算A,B 两截面的相对扭转角. 解：2、图示阶梯状实心圆轴，AB 段直径 d 1=120mm ，BC 段直径 d 2=100mm 。

扭转力偶矩 M A =22 kNm ， M B =36 kNm ， M C =14 kNm 。

材料的许用切应力[ = 80MPa ，（１）做出轴的扭矩图；（２）校核该轴的强度是否满足要求。

解：（1）求内力，作出轴的扭矩图（2）计算轴横截面上的最大切应力并校核强度AB 段：11,max1t T W τ=()333221064.8MPa π1201016-⨯==⨯⨯[]80MPa τ<=BC 段：()322,max332141071.3MPa π1001016t T W τ-⨯===⨯⨯[]80MPa τ<=综上，该轴满足强度条件。

3、传动轴的转速为n =500r/min ，主动轮A 输入功率P 1=400kW ，从动轮B ，C 分别输出功率P 2=160kW ，P 3=240kW 。

已知材料的许用切应力[]=70MP a ，单位长度的许可扭转角[，]=1o/m ，剪切弹性模量G =80GP a 。

(1)画出扭矩图。

(2)试确定AB 段的直径d 1和BC 段的直径d 2；(3)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理为什么 解：（1）m N n P M .7639500400954995491e1=⨯==，m N n P M .3056500160954995492e2=⨯== m N n P M .4583500240954995493e3=⨯==，扭矩图如下 （2）AB 段， 按强度条件：][163max τπτ≤==d T W T t ，3][16τπTd ≥，mm d 2.821070763916361=⨯⨯⨯≥π 按刚度条件：m p d GT GI T 004max1][18032180='≤⨯=⨯='ϕπππϕ，4218032π⨯⨯≥G T d 综合强度和刚度条件得到：mm d 871=BC 段，按强度条件：mm d 3.691070458316362=⨯⨯⨯≥π； 按刚度条件：mm d 0.76108018045833242902=⨯⨯⨯⨯≥π综合强度和刚度条件得到：mm d 762=（3）将主动轮放置中央B 点，受力合力，此时m N T .4583max =弯曲内力4、(1)做出梁的剪力图和弯矩图；(2)求最大剪力maxsF 和弯矩maxM数值。

max s F qa =，2max 1.5M qa =5、(1)做出梁的剪力图和弯矩图；(2)求最大剪力maxsF 和弯矩maxM数值。

max 3s F qa =，2max 2M qa =弯曲应力6、如图所示正方形截面外伸梁，若材料的许用应力[]MPa 10=σ。

（1）试绘制该梁的剪力图和弯矩图。

（2） 按正应力强度条件确定该梁的横截面边长a 。

解：（1）支座反力kN R A 5.8=，kN R B 5.3=，方向均竖直向上。

剪力图和弯矩图如图所示： （2）m kN M •=3max63a W Z =由][maxmax σσ≤=ZW M （计算过程略）得1216.a mm ≥ 7、如图所示外伸铸铁梁的横截面为T 形，载荷及横截面尺寸（注：横截面尺寸单位为mm ）如图所示。

中性轴为z 轴，已知6426.110z I m -=⨯，材料的许用拉应力为[]40t MPa σ=,许用压应力为[]110c MPa σ=。

（1）作出梁的剪力图和弯矩图。

（2）按照正应力条件校核铸铁梁的强度。

（3）若梁上载荷不变，将T 形截面倒置，是否合理，何故 解：（1）求约束力 解得：14.3,105.7A B R kN R kN == 绘出剪力和弯矩图：（2）16.,7.15.B C M kN m M kN m ==;1248,142y mm y mm == 截面B 截面C[]32max67.15100.14238.926.110c t t Z M y MPa I σσ-⨯⨯===<⨯ 故，铸铁梁的强度足够。

若将截面倒置，则B 截面的最大拉应力[]2max 87B t t ZM y MPa I σσ==>，不满足强度要求。

8、T 字形铸铁梁的弯矩图和横截面尺寸如图所示，已知其对中性轴的惯性矩546.0110z I m -=⨯。

铸铁材料的许用拉应力[]40t MPa σ=，许用压应力[]160c MPa σ=。

按照正应力的强度条件校核梁的强度。

如载荷不变，但将T 形导致成为⊥形，是否合理，何故 解：（1）由弯矩图可知，可能的危险截面是B 和C 。

20.B M kN m =，10.C M kN m =（2）强度计算：B 截面（上拉下压）：520725241[]60110max ...σσ-⨯==<⨯t t MPa ，5201575524[]60110max...σσ-⨯==<⨯C C MPa C 截面（上压下拉）：5101575262[]60110max ...σσ-⨯==<⨯t t MPa ， 5107251167[]60110max ...σσ-⨯==<⨯C C MPa ∴安全（3）截面倒置后，由于B 截面52015755239[]60110max ...σσ-⨯==>⨯t t MPa ，所以不安全。

8、槽形截面悬臂梁，现已给出该梁在图示外载作用下的弯矩图（如图所示，图、 中未标明的长度单位为：mm ），已知：I Z = ×10 -4m 4, 脆性材料的许用拉应 力[+] = 35MPa ， 许用压应力[ -] = 120MPa ，试按弯曲正应力强度条件校核该 梁的强度。

解:可能的危险截面是跨度中点截面C30;40C C M KNm M KNm ==左右，1296;154y mm y mm == C 处的左侧截面： C 处的右侧截面： 所以满足强度要求。

弯曲变形9、直角折轴ABC 如图所示。

B 为一轴承，允许AB 轴的端截面在轴承内自由转动，但不能上下移动。

已知N P 60=，Gpa E 210=,E G 4.0=。

试求截面C 的挠度。

附：如左下图所示，悬臂梁A 截面的挠度和转角为：EI 3/PL y 3A -=；EI 2/PL 2A -=θpTlGIφ=解：（1）先AB 段刚化，得3116173.C pL V mm EI=-=- N P 60= m L 3.01= (2)BC 段刚化21205.C AB V L mm φ=•=- m N PL T •==181 10、用叠加法计算下图（1）中B 点的挠度（1） （2）附：如下图（2）所示，悬臂梁A 截面的挠度和转角为：EI 3/PL y 3A -=， EI 2/PL 2A -=θ。

应力状态分析11、已知应力状态单元体如下图所示，采用图解法（即应力圆法）求：（1）画出应力圆，（2）主应力的大小，（3）主平面的方位，（4）并将主应力和主平面的方位标示在主单元体上。

解：120,50,30,30x y xy yx MPa MPa MPa MPa σσττ==-=-= （1） 应力圆，(120,30),(50,30)B B '--， 选“—”代表30MPa (2)（3）()0002230tan 20.3529,9.7212050xyx yταασσ⨯-=-=-==-+主单元体如图所示。

12、已知应力状态单元体如下图所示，采用解析法 求：（1）主应力的大小，（2）主平面的方位，（3）并将主应力和主平面的方位标示在主单元体上。

解：0,80,20x y xy MPa Mpa σστ==-=， 02tan 20.5xyx yτασσ=-=--，0013.3α=-或0076.7α=13、单元体的应力状态如图;（1）求图示30o α=斜截面上的正应力、切应力;（2）主应510BAL=50030C力及主平面所在的方位，并将主应力和主平面的方位标示在主单元体上。

解：100,80,40x y xy MPa MPa MPa σστ==-= （1）计算030σ和030τ（2）可以采用解析法或图解法中的一种来计算，下面采用解析法计算max σ，min σ及主平面方位角主应力分别为：123108.5MPa,0,88.5MPa σσσ===- 计算主平面方位：02240tan 20.4444100(80)xyx yτασσ⨯=-=-=----0012α=-和0000129078α=-+= 主单元体如下：14、已知应力状态单元体如下图所示，采用图解法(即应力圆法)求：（1）画出应力圆，（2）主应力的大小，（3）主平面的方位，（4）并将主应力和主平面的方位标示在主单元体上。

解：0,20,80,20x xy y yx Mpa MPa Mpa στστ===-=-， 得到两点：D 1(0，20)，D 2(-80，-20) 以D 1D 2为直径做应力圆量得主应力为1234.7,0,84.7MPa MPa σσσ∴===- 量得0013.3α=-主单元体如下：组合变形15、图示手摇铰车的轴的直径30d mm =，材料为Q235钢，[]80MPa σ=。

试按第三强度理论求铰车的最大起吊重量P 。

解：轴的受力分析图如下0.5A B F F P ==，弯矩图和扭矩图为弯扭组合变形，横截面为圆形，危险截面为C 截面0.50.40.2c M P P =⨯=，0.18c T P =按第三强度理论[]3r σσ=≤，（计算过程略）可得788P N ≤ 绞车的最大起吊重量为788N 。

16、图示起重架的最大起吊重量（包括走小车等）为P=40kN ，横梁AC 由两根18号槽钢组成，材料为Q235钢，许用应力[]120MPa σ=。

试校核梁的强度。

（附：18号槽钢的横截面面积、惯性矩、抗弯截面系数分别为229.30A cm =，41370y I cm =，3152y W cm =） 解：对梁AC 受力分析，梁AC 的变形为压弯组合变形，当集中力P 作用在跨度中点时梁的跨度中点弯矩为最大值，危险截面为梁跨度中点截面。

危险点为该危险截面的顶边上 静力学平衡方程为：40A R P kN ==，cos 3034.6o Cx A R R kN ==，sin3020o Cy A R P R kN =-=梁的轴力为：34.6N Cx F R kN =-=-梁跨度中点的最大弯矩为： 3.50.535.Cy M R kN m =⨯⨯= 危险点的最大正应力为：33max4634.6103510120229.310215210N y F M MPa A W σ--⨯⨯=--=--=⨯⨯⨯⨯（压应力）最大应力等于许用应力，梁满足强度要求。