【解析】
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
课 后 作 业
【答案】
菜 单
B
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自 主 落 实圆锥有公共底面，且两圆锥 的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是 3 这个球面面积的 ，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体 16 积较大者的高的比值为________．
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菜
单
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自 主 落 实 · 固 基 础
【解析】 由几何体的三视图可知，该几何体是底面为 直角梯形的直四棱柱(如图所示)．
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在四边形 ABCD 中，作 DE⊥AB，垂足为 E，则 DE＝4， AE＝3，则 AD＝5. 1 所以其表面积为：2× ×(2＋5)×4＋2×4＋4×5＋4×5＋ 2 4×4＝92.
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【答案】
菜 单
92
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(1)(2012· 辽宁高考)一个几何体的三视图如图7－2－5
所示，则该几何体的体积为________．
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菜
单
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该三棱锥的直观图如图所示，
其中AE⊥平面BCD，CD⊥BD，且CD＝4，
BD＝5，BE＝2，ED＝3，AE＝4.
菜 单
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∵AE＝4，ED＝3，∴AD＝5. 又 CD⊥BD，CD⊥AE，则 CD⊥平面 ABD， 故 CD⊥AD，所以 AC＝ 41且 S△ACD＝10. 在 Rt△ABE 中，AE＝4，BE＝2，故 AB＝2 5. 在 Rt△BCD 中，BD＝5，CD＝4，故 S△BCD＝10，且 BC＝ 41.
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菜
单
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1．圆锥的侧面展开图是什么图形？与原几何体有何联
系？
【提示】 圆锥的侧面展开图是扇形，半径为圆锥的母
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线长，弧长为圆锥底面圆的周长．
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8π A. 3
菜 单
B．3π
10π C. 3
D．6π
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由三视图可知，此几何体(如图所示)是底面 1 半径为 1，高为 4 的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的 ， 4 3 所以 V＝ ×π×12×4＝3π. 4
5．(2012·浙江高考)已知某三棱锥的三视图(单位：cm)
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如图7－2－2所示，则该三棱锥的体积是(
)
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A．1 cm3
菜 单
B．2 cm3
C．3 cm3
D．6 cm3
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【答案】
B
菜
单
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1．解答本题的关键是根据三视图得到几何体的直观
图，弄清线面、面面的垂直关系及相应线段的长度． 2．在求多面体的侧面积时，应对每一侧面分别求解后 再相加，对于组合体的表面积应注意重合部分的处理．
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【解析】 由几何体的三视图可 知，该几何体是有三个面为直角三角形 的四面体，如图所示． 三棱锥的底面三角形中直角边长分别为 1 1 1 1，2，高为3，故V＝ S底·h＝ × ×1 3 3 2 ×2×3＝1(cm3)．
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【尝试解答】 如图，设球的半径为 R，圆锥底面半径为 r. 3 2 由题意得πr ＝ ×4πR2. 16 3 2 2 ∴r ＝ R ， 4 根据球的截面的性质可知两圆锥的高 必过球心 O，且两圆锥的顶点以及圆锥与 球的交点是球的大圆上的点，且 AB⊥O1C.
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菜
单
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1．(人教 A 版教材习题改编)已知圆锥的表面积为 a m2， 且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是 ( ) 3πa 2 3πa a 2 3a A. B. C. D. 2 3π 3π 3π
【解析】 设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，由题意 知 2πr＝πl，∴l＝2r， a 2 2 2 则圆锥的表面积 S 表＝πr ＋2πr ＝a，∴r ＝ ，∴2r 3π 2 3πa ＝ . 3π
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菜
单
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2．已知球的半径为 R，球的内接正方体的边长为 2 a，则 R＝ a，这种关系正确吗？ 2 不正确．内接正方体的对角线长等于 3 球的直径，即 3a＝2R，R＝ a. 2 【提示】
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3．以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够 对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中 各元素间的位置关系及数量关系．
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菜
单
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(2012·安徽高考)某几何体的三视图如图7－2－4所示， 该几何体的表面积是________．
正六棱柱的侧面积 S 侧＝6×6×4＝144，底 3 面面积 S 底＝2×6× ×42＝48 3， 4
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【解析】
∴S 表＝144＋48 3＝48(3＋ 3)．
【答案】
A
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菜
单
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3．若一个底面是正三角形的三棱柱 的正视图如图 7－2－1 所示，则其侧面 ．． 积等于( ． A. 3 ) B．2 D．6
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(2)(2012·山东高考)如图7－2－6，正
方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，
F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱
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锥D1－EDF的体积为________．
【思路点拨】 (1)根据三视图得到几何体的直观图，明确
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【思路点拨】
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由球、圆锥的对称性知，两圆锥的顶点
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连线过球心及圆锥底面的圆心，先求圆锥底面的半径，再求
球心与圆锥底面的圆心间的距离，问题可解．
菜
单
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第二节
自 主 落 实 · 固 基 础
空间几何体的表面积与体积
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菜
单
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1．旋转体的表(侧)面积
名称 圆柱(底面半径r， 母线长l) 圆锥(底面半径r， 母线长l) 圆台(上、下底面 半径r，母线长l) 球(半径为R) 侧面积 2πrl π rl _______ π (r1＋r2)l ____________ 表面积 2π r(l＋r) ____________ πr(l＋r) π(r1＋r2)l＋π(r＋r) 4π R _________
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边长的大小．再根据相应公式求解．
(2)原三棱锥的底面面积和高都不易求，转换顶点使三棱锥的
高与底面面积易求．
菜
单
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【尝试解答】 (1)由三视图知，该几何体的上面是一个 高 考 圆柱， 下面是一个长方体． 其中圆柱的底面直径是 2， 高为 1， 体 长方体的长为 4，宽为 3，高为 1，故该几何体的体积为 V＝ 验 · 明 4×3×1＋π×12×1＝12＋π. 考 情 1 1 1 (2)VD1－EDF＝VF－DD1E＝ S△D1DE·AB＝ × ×1 3 3 2 1 ×1×1＝ . 6
在△ABD 中，AE＝4，BD＝5，故 S△ABD＝10. 在△ABC 中，AB＝2 5，BC＝AC＝ 41，则 AB 边上 1 的高 h＝6，故 S△ABC＝ ×2 5×6＝6 5. 2 因此，该三棱锥的表面积为 S＝30＋6 5.
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法． 3．等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥
的底面．①求体积时，可选择容易计算的方式来计算；②利
用“等积法”可求“点到面的距离”．
菜 单
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