安徽农业大学2004―2005学年第二学期
《线性代数》试卷（A 卷）
考试形式: 闭卷笔试，2小时
一、填空题：（共5小题，每小题3分，共15分）
1．已知矩阵1330,,23_________.2112A B A AB B ⎛⎫⎛⎫
==+-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
则
2．设A 是n 阶方阵，且||A a =，则2A -= . 3．方阵A 满足2A A I 0+-=，则1(A I)-+= .
4. 1α若=（1，3），(2=α2，4），3α=（5，6），则线性321,,ααα__________ .（填相关或无关）
5. 二次型222
123112132233(,,)22444f x x x x x x x x x x x x =+-+++ 对应的矩
阵为 .
二、选择题：（共5小题，每小题3分，共15分）
1．若A ，B ，C 是同阶方阵，且A 可逆，则下面命题正确的是（ ） （A ）若0=AB ， 则0=B （B ）若CB AB =，则C A = （C ）若BC BA =，则C A = （D
）若0=BC ， 则0=C 2．若A 经过初等行变换为B ，则（ ）． （A ）A 的行向量组与B 的行向量组等价 （
B ）A 的列向量组与B 的列向量组等价 （
C ）A 的行向量组与B 的列向量组等价 （
D ）A 的列向量组与B 的行向量组等价
3. 设线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=++-=++=--1
11321
321321x x x x x x x x x λλλ，有唯一解，则λ的值应为（ ）
（A ）0 （B ）1 （C ）-1 （D ）异于0和1±的实数 4．设向量组α,β,γ线性无关， α,β,δ线性相关，则
(A) α必可由β,γ,δ线性表示；(B) β必不可由α,γ,δ线性表示； (C) δ必可由α,β,γ线性表示；(D) δ必不可由α,β,γ线性表示。

5．若A 是n 阶正交且正定的矩阵，则A =（）
(A) 1 （B ）-1 （C ） ±1 （D ）0
三、计算题（共54分）
1．求D=
９
８７６８７６５５４２４
３２１3. (8分)
2．已知111A 011001-⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，且2A AB I -=，求矩阵B ．(10分)
3．求向量组1α=(1,1,2,3),2α=(1,-1,1,1),3α=(1,3,3,5),4α=(4,-2,5,6)的秩和一个极大线性无关组．(10分
4．λ取何值时，线性解方程组12
412341
3421320x x x x x x x x x x λ-+=⎧⎪
-++=⎨⎪-+=⎩,
(1) 无解；(2) 有解，并求其通解．(16分)
5．已知3阶方阵A 的特征值为1,-1,2，求235A A B -=的特征值及相似对角阵．(10分)
四、证明题（共16分）
1． 设A ，B 都是n 阶对称矩阵，证明AB=BA 当且仅当AB 为对称矩阵．(8分)
2.已知),,,(21n n m A ααα =⨯，且方程组0=⨯x A n m 有形如T n x x x ),,,0(2 =的非零解,证明向量组n αα,,2 线性相关．(8分)
安徽农业大学2004―2005学年第二学期 《线性代数》试卷（A 卷）参考答案
一、填空题：（共5小题，每小题3分，共15分）
1．112610-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ 2．(2)n
a -. 3． A . 4. 相关 . 5. 111142124-⎛⎫
⎪ ⎪
⎪
-⎝⎭
. 二、选择题：（共5小题，每小题3分，共15分） 1． A ；2． A ；3. D ；4． C ；5．A
三、计算题（共54分）
1234
0123 (504)
8
12
0510150
................................................8d ---=
------=1、解：分
分
2、解：由2A AB I -=得A(A B)I -=，而A 可逆，所以
1A B A --=1B A A -⇒=-。

………………………………4分
用初等变换法或伴随矩阵法可求得1112A 011001--⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪⎝⎭
，………8分
所以023B 002000-⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭。

……………………………………………10分
3、解：11
1
41114111
41132022602
26~~
2135011300
003156022600
00A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
⎪------ ⎪ ⎪ ⎪
=
⎪ ⎪ ⎪
-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
1234(,,,)2R αααα∴=
……………………………………7分 极大无关组为 12,αα或13,αα或14,αα或23,αα或24,αα或34,αα.…10分
4、解：21011321101011B λ-⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪-⎝⎭
1110111101~32110~01213101101211λλ----⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭
~111010121
300002λ--⎛⎫ ⎪
- ⎪ ⎪-⎝⎭
………………………………………6分 (1) 2λ≠时,()2()3R A R B =≠=,方程组无解.……………9分 (2) 2λ=时,()2()R A R B ==,方程组有解.………………12分
11101
101
1~01213
~01
2130000000000B ---⎛⎫⎛⎫ ⎪
⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝
⎭ 1
34
234
3344223x x x x x x x x x x =-+⎧⎪=-+⎪⎨=⎪⎪=⎩
通解为1212112213
,,100010x k k k k R -⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
……………………16分
5、解：设)0(≠=αλααA ，则αλα22=A ，αλα33=A ，……3分
αλλαα)5()5(2323-=-=A A B ，………………………………5分
令=λ-1,1,2得B 的特征值为：-6.-4.-12。

………………7分
所以B 相似于 ⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---=Λ1246．……………………10分
四、证明题（共16分）
1、证：充分性：因为A 、B 为对称矩阵，AB 也为对称矩阵，
即,,()A A B B AB AB '''===
而(),AB B A AB BA '''==所以……………………………………4分 必要性：因为A 、B 为对称矩阵，AB=BA 即,,()A A B B AB B A BA AB '''''=====
所以AB 为对称矩阵．……………………………………………8分 2、证：因为T n x x x ),,,0(2 =是方程组0=⨯x A n m 的解，所以 022=++n n x x αα ，…………………………………………4分 而0≠x ，因此n x x ,,2 不全为零，
所以向量组n αα,,2 线性相关。

………………………………8分。