极值点偏移问题一、极值点偏移的含义众所周知，函数)(x f 满足定义域内任意自变量x 都有)2()(x m f x f −=，则函数)(x f 关于直线m x =对称；可以理解为函数)(x f 在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若)(x f 为单峰函数，则m x =必为)(x f 的极值点. 如二次函数)(x f 的顶点就是极值点0x ，若c x f =)(的两根的中点为221x x +，则刚好有0212x x x =+，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数)(x f 的极值点为m ，且函数)(x f 满足定义域内m x =左侧的任意自变量x 都有)2()(x m f x f −>或)2()(x m f x f −<，则函数)(x f 极值点m 左右侧变化快慢不同. 故单峰函数)(x f 定义域内任意不同的实数21,x x 满足)()(21x f x f =，则221x x +与极值点m 必有确定的大小关系： 若221x x m +<，则称为极值点左偏；若221x x m +>，则称为极值点右偏.左快右慢（极值点左偏221x x m +<⇔） 左慢右快（极值点右偏221x x m +>⇔）左快右慢（极值点左偏221x x m +<⇔） 左慢右快（极值点右偏221x x m +>⇔） 如函数x exx g =)(的极值点10=x 刚好在方程c x g =)(的两根中点221x x +的左边，我们称之为极值点左偏.二、极值点偏移问题的一般题设形式：1. 若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠，求证：0212x x x >+（0x 为函数)(x f 的极值点）；2. 若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，求证：0212x x x >+（0x 为函数)(x f 的极值点）；3. 若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠，令2210x x x +=，求证：0)('0>x f ； 4. 若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，令2210x x x +=，求证：0)('0>x f .5.()2120x x x ><三、应对极值点偏移问题的若干思路思路一: 对称化构造1、方法概述：（1）求出函数)(x f 的极值点0x ；（2）构造一元差函数)()()(00x x f x x f x F −−+=；或)2()()(0x x f x f x F −−= （3）确定函数)(x F 的单调性；（4）结合0)0(=F ，判断)(x F 的符号，从而确定)(0x x f +、)(0x x f −的大小关系. 口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随. 2、抽化模型答题模板：若已知函数)(x f 满足)()(21x f x f =，0x 为函数)(x f 的极值点，求证：0212x x x <+.（1）讨论函数)(x f 的单调性并求出)(x f 的极值点0x ；假设此处)(x f 在),(0x −∞上单调递减，在),(0+∞x 上单调递增.（2）构造)()()(00x x f x x f x F −−+=；注：此处根据题意需要还可以构造成)2()()(0x x f x f x F −−=的形式.（对结论()2120x x x><，构造()()20x F x f x f x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭），（3）通过求导)('x F 讨论)(x F 的单调性，判断出)(x F 在某段区间上的正负，并得出)(0x x f +与)(0x x f −的大小关系；假设此处)(x F 在),0(+∞上单调递增，那么我们便可得出0)()()()(000=−=>x f x f x F x F ，从而得到：0x x >时，)()(00x x f x x f −>+.（4）不妨设201x x x <<，通过)(x f 的单调性，)()(21x f x f =，)(0x x f +与)(0x x f −的大小关系得出结论；接上述情况，由于0x x >时，)()(00x x f x x f −>+且201x x x <<，)()(21x f x f =，故)2()]([)]([)()(2002002021x x f x x x f x x x f x f x f −=−−>−+==，又因为01x x <，0202x x x <−且)(x f 在),(0x −∞上单调递减，从而得到2012x x x −<，从而0212x x x <+得证.（5）若要证明0)2('21<+x x f ，还需进一步讨论221x x +与0x 的大小，得出221x x +所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为0212x x x <+，故0212x x x <+，由于)(x f 在),(0x −∞上单调递减，故0)2('21<+x x f . 【说明】（1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；（2）此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求)(x f 的单调性、极值点，证明)(0x x f +与)(0x x f −（或)(x f 与)2(0x x f −）的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如0212x x x <+或0)2('21<+x x f 的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题. 口诀为：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随。

例1．解：例2． 已知函数)()(R x xe x f x ∈=−.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若1x ≠2x ，且f(1x )=f(2x ),证明：1x +2x >2.例3．已知函数2()ln f x x x=+， 若1x ≠2x ，且f(1x )=f(2x ),证明：1x +2x >4.证明：例4．已知函数()()()221xf x x e a x =−+−有两个零点.设12,x x 是()f x 的两个零点，证明：122x x +<.解:不妨设12x x <由题意知()()120f x f x ==.要证不等式成立，只需证当121x x <<时，原不等式成立即可.令()()()11F x f x f x =−−+，则()()'11x x F x x e e −+=−，当0x >时，()'0F x <. ()()00F x F ∴<=.即()()11f x f x −<+.令11x x =−，则()()()()()()()2111111112f x f x f x f x f x ==−−<+−=−,即()()212f x f x <−.而()21,21,x x −∈+∞，且()f x 在()1+∞，上递增，故212x x <−，即122x x +<.思路二: 、极值点偏移问题的不等式解法我们熟知平均值不等式：,a b R +∈2112a b a b +≤≤≤+即“调和平均数”小于等于“几何平均数”小于等于“算术平均值”小于等于“平方平均值” 等号成立的条件是a b =.我们还可以引入另一个平均值：对数平均值：ln ln a b a b−− 那么上述平均值不等式可变为：对数平均值不等式a>0,b>0,∀>≠a b a b ln ln 2a b a b a b −+−＜＜以下简单给出证明：不妨设a b >>0，设a bx =，则原不等式变为：2(1)1,ln 1x x x x −∀><<+以下只要证明上述函数不等式即可1用对数均值常数若,ln ln 1212=−−x x x xln ln 2a b a b a b −+−＜＜221021221x x x x x x <>+），（）证明：（,2. 有时用对数不等式时，既需要)()(),()(1212x f x f x f x f +−也要。

3. 含有xe 需要取对数，可用对数不等式 4. 用对数不等式时，需要先证明。

以下我们来看看对数不等式的作用.例1：（2015长春四模题）已知函数()xf x e ax =−有两个零点12x x <，则下列说法错误的是A. a e >B.122x x +>C.121x x >D.有极小值点0x，且1202x x x +<【答案】C【解析】函数()f x 导函数：'()x f x e a =−有极值点ln x a =，而极值(ln )ln 0f a a a a =−<，a e ∴>，A 正确.()f x 有两个零点：110xe ax −=，220x e ax −=，即：11ln ln x a x =+① 22ln ln x a x =+②①-②得：1212ln ln x x x x −=−根据对数平均值不等式：12121212ln ln x x x x x x +−>=>−122x x ∴+>，而1>121x x ∴< B 正确，C 错误而①+②得：12122ln ln 2ln x x a x x a+=+<，即D 成立.例2：(2010天津理)已知函数()xf x xe −=()x R ∈.如果12x x ≠，且()()12f x f x =.证明：122x x +>.【解析】原题目有3问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问：设12()()f x f x c ==，则11x x c e =，22x x c e =，12()x x ≠两边取对数 11ln ln x x c −=① 22ln ln x x c−=②①-②得：12121ln ln x x x x −=−根据对数平均值不等式12121212ln ln x x x x x x +−>=−122x x ∴+>例3：已知函数()ln f x x x =与直线y m =交于1122(,),(,)A x yB x y 两点.求证：12210x x e <<【解析】由11ln =x x m，22ln =x x m，可得：11ln m x x =①，22ln mx x =②①-②得：211212121212ln ln ()ln ln ln ln ln ln −−−−=⇒=−x x x x mx x m x x x x x x ③①+②得：211212(ln ln )ln ln m x x x x x x ++=④根据对数平均值不等式121212()2ln ln +−>≠−x x mx x x x利用③④式可得：121212(ln ln )2ln ln ln ln m x x mx x x x +−>由题于y m =与ln y x x =交于不同两点，易得出则0m < ∴上式简化为:212ln()2ln x x e −⋅<−=∴12210<<x x e例4：（2011辽宁理）已知函数()2ln (2)f x x ax a x=−+−.若函数()y f x =的图像与x 轴交于,A B 两点，线段AB 中点的横坐标为x ，证明：()0'0f x <【解析】原题目有3问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问：设11(,())A x f x ，22(,())B x f x ，12x x <，则1202+=x x x ，2111ln (2)0x ax a x −+−=①2222ln (2)0x ax a x −+−=②①-②得：12121212ln ln ()()(2)()0x x a x x x x a x x −−+−+−−=，化简得：12121210()(2)ln ln x x a x x a x x −=>+−−−③而根据对数平均值不等式：121212ln ln 2x x x xx x −+<−③等式代换到上述不等式12012011()(2)22(2)x x x a x x a ax a +<⇒<+−−−−④根据：002(2)0ax a x −−>（由③得出）∴④式变为：200002(2)10(21)(1)0ax a x x ax −−−>⇒+−>∵0(21)0x +>，∴01x a >，∴0x 在函数单减区间中，即：0'()0f x ∴<例5：（2014江苏南通市二模）设函数()x f x e ax a=−+()a R ∈，其图象与x 轴交于()()12,0,0A x B x 两点，且12x x <.证明：f '<（()f x '为函数()f x 的导函数）.【解析】根据题意：110x e ax a −+=，220x e ax a −+=移项取对数得：11ln(1)ln x x a =−+① 22ln(1)ln x x a=−+②①-②得：1212ln(1)ln(1)x x x x −=−−−，即：1212(1)(1)1ln(1)ln(1)x x x x −−−=−−−根据对数平均值不等式：1212(1)(1)1ln(1)ln(1)x x x x −−−<=−−− 1212(1)(1)1ln(1)(1)0x x x x ∴−−<⇒−−<，①+②得：12122ln ln(1)(1)2ln x x a x x a+=+−−<根据均值不等式：12ln 2x x a +<<∵函数()f x 在(,ln )a −∞单调递减∴f <练习1（天一大联考 2019—2020）21. (12 分） 设函数221)1(ln )(x x k x k x f −−+=. (I)讨论函数)(x f 的单调性；(II)设函数)(x f 的图象与直线y =m 交于),(),,(21m x B m x A 两点，且)<21x x ，求证：0<)2('21x x f +.思路三: 、齐次化构造解极值点偏移在极值点偏移问题中，证明与1212x x x x −或有关的不等式中，常常设t x x t x x =−=1212或进行齐次化构造。