t 0
s
证明方法同上。只是要将 s 取极限。
(6)位移定理：
a.实域中的位移定理，若原函数在时间上延 迟 ，则其象函数应乘以 es L[ f (t )] es F (s) 8
b.复域中的位移定理，象函数的自变量延迟a，
原函数应乘以 eat
即： L[eat f (t)] F (s a)
[
M (s) D(s)
(s
p1 )l
] s p1
19
, bli
1 d i M (s) {[
i! ds D(s)
(s
p1)l ]}s p1
b1
(l
1 {d l1 1)! ds
[
M (s) D(s)
(s
p1 )l
]}s p1
系数cl1,, cn ,仍按以前的方法计算
M (s) c j [ D(s) (s p j )]s pj 式中p j ( j l 1,, n)是D(s) 0的其余互异极点。
2.常用函数的拉氏变换
数学知识回顾
(1)例1.求阶跃函数f(t)=A·1(t)的拉氏变换。
F (s) Ae st dt
A e st
A
0
s
0
s
1
单位阶跃函数f(t)=1(t)的拉氏变换为 s 。
(2)例2.求单位脉冲函数f(t)=δ(t)的拉氏变换。
lim lim
F (s) (t)est dt
1
0
0
sa 0 sa
几个重要的拉氏变换
f(t)
F(s) f(t)
F(s)
δ(t) 1
sinwt
w (s2 w2 )
1(t)
1/s
coswt s
(s2 w2 )
t
1 s2
eat sin wt
w
(s a)2 w2
eat
1/(s+a)
eat cos wt
sa (s a)2 w2
2
❖ 3.拉氏变换的基本性质 (1)线性性质
(7)时间比例尺定理
原函数在时间上收缩（或展宽）若干倍，
则象函数及其自变量都增加（或减小）同
样倍数。即：L[ f ( t )] aF (as)
证：
a L[ f ( t )] f ( t )est dt
a 0a
令t / a ,则原式 f ( )esa ad aF(as)
9
0
(8)卷积定理
1
1 (1 1)
(s a)(s b) b a s a s b
则f (t) eat ebt ba
例2：求
F (s)
1 s2 (s 1)
的逆变换。
解：
F (s)
1 s2 (s 1)
1 s2
1 s
1 s 1
f (t) L1[F (s)] t 1 et
13
例3.
F (s)
1 s(s 1)2
则微分方程两边同时取拉氏变换（初始条件不为零）
s2F (s) sf (0) f (0) 4sF (s) 4 f (0) 5F (s) 0
F (s)
s2
s5 4s 5
(s
s5 2)2 1
s23 (s 2)2 1
(s
s
2 2)2
1
(s
3 2)2
1
y e2t cost 3e2t sin t
f (0)
右边 lim[sF (s) f (0)] lim sF (s) f (0)
s0
s0
7
lim f (t) lim sF (s)
t
s0
注：若 t 时f(t)极限 lim f (t) 不存在， t 则不能用终值定理。如对正弦函数和余弦 函数就不能应用终值定理。
(5)初值定理：lim f (t) lim sF (s)
依次类推，可以得到原函数n阶导数的拉氏 变换 L[ f n (t)] snF(s) sn1 f (0) sn2 f (0) f n1(0)
4
(3)积分性质 若 L[ f (t)] F(s)
则
L[ f (t)dt] F (s) f 1(0)
s
s
式中 f 1 (0) 为积分 f (t)dt 当t=0时的值。
1 s
)]s
1
(s2 ) 1
s 1
21
b1
1 (2s3) 2!
s 1
1
c
1 s(s 1)3
s
1
s0
F (s)
1 s
1 (s 1)3
1 (s 1)2
1 s 1
y 1 1 t 2et tet et
2
22
❖ 如果不记公式,可用以下方法求解
F (s)
1 s(s 1)3
a s
b1 (s 1)3
L[af1 (t) bf 2 (t)] aL[ f1 (t)] bL[ f 2 (t)]
原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉 氏变换之和。 (2)微分性质 若 L[ f (t)] F(s) ，则有 L[ f (t)] sF (s) f (0) f(0)为原函数f(t) 在t=0时的初始值。
1 est dt
1 est
0
0 0
0 s
0
lim lim
1 (1 es )
1 (11 s 2s2 ) 1
0 s
0 s
1! 2!
1
e （3）例3.求指数函数f(t)= at 的拉氏变换
F (s) eat est dt e dt (as)t
1
e (sa)t
20
例3 : y(3) 3y 3y y 1, y(0) y(0) y(0) 0 求微分方程.
F (s)
1 s(s 1)3
b3 (s 1)3
b2 (s 1)2
b1 s 1
c4 s
b3
[
s(s
1 1)3
(s
1)3 ]s1
1
b2
d
ds
[
s(s
1 1)3
(s
1)3
]
s1
[d ds
(
证：设 h(t) f (t)dt 则有 h(t) f (t) 由上述微分定理，有
L[h(t)] sL[h(t)] h(0)
L[h(t)] 1 L[h(t)] 1 h(0) 1 L[ f (t)] 1 h(0)
s
s
s
s
1 F (s) 1 f 1(0)
s
s
5
即：
L[
f (t)dt] F (s) f 1(0)
c3
[ (s
1)(s
1 2)(s
3)
(s
3)]s3
1 10
F(s) 1 1 1 1 1 1 6 s 1 15 s 2 10 s 3
f (t) 1 et 1 e2t 1 e3t
6 15 10
17
❖ （2）情况2:F(s)有共轭极点
例2：求解微分方程
y 4y 5y 0, y(0) y(0) 1
0
0
10
t
L[
f (t 1
) f ( )d ] 2
0
[
f (t 1
)1(t
) f ( )d ]e st dt 2
00
f 2 ( )d
f (t 1
)1(t
)e st dt
0
0
令t , 则
t
L[
f (t 1
) f ( )d ] 2
0
f 2 ( )d
f ( )e d s ( ) 1
18
❖ （3）情况3:F(s)有重极点,假若F(s)有L重
极点 p1,而其余极点均不相同。
那么
F (s)
M (s) D(s)
bl (s p1)l
(s
bl 1 p1)l1
s
b1 p1
cl1 cn
s pl1
s pn
式中bl
[
M (s) D(s)
(s
p1 )l
]s p1
bl 1
d ds
3
证：根据拉氏变换的定义有
L[
f
(t)]
f
(t)est dt
s
f
(t)est dt
f
(t )e st
0
0
0
sF(s) f (0)
原函数二阶导数的拉氏变换
L[ f (t)] sL[ f (t)] f (0) s[sF (s) f (0)] f (0)
s2F (s) sf (0) f (0)
s
s
同理，对f(t)的二重积分的拉氏变换为
L[
f
(t)dt 2 ]
1 s2
F(s)
1 s2
f (1) (0) 1 f (2) (0) s
若原函数f(t)及其各重积分的初始值都等于0
则有
L[
f
(t)dtn ]
1 sn
F (s)
即原函数 f(t)的n重积分的拉氏变换等于其象
函数除以 s n 。
6
（4）终值定理 lim f (t) lim sF(s)
b d m r(t) b d m1 r(t) b d r(t) b r(t)
0 dtm
dt 1 m1
m1 dt
m
27
c(t)为系统的输出，r(t)为系统输入，则零 初始条件下，对上式两边取拉氏变换，得 到系统传递函数为：
G(s)
C(s) R(s)
b 0
a
sm sn
b s m1 1
t
s0
原函数的终值等于其象函数乘以s的初值。
证：由微分定理，有 L[ f (t)] f (t)est dt sF (s) f (0)