清华大学本科生期末考试试卷
课程：高等量子力学 考试时间：2006年1月2日
A
一、（40分）对于自由电子，在静止系中自旋向上的正能解波函数的旋量部分为
(1)3212210()p u p N E mc p ip E mc ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟+⎜⎟+⎜⎟⎜⎟+⎝⎠K ，
N =， 0E >（1）写出电子运动的完整波函数(1)0(,)E x t ψ>K
，并归一到体积V ； （2）计算这个解的电荷共轭解2C ψγψ∗=，并诠释其意义；
（3）根据空穴理论说明电荷共轭解和正电子状态的关系。

二、（30分）对于谐振子相干态
20
1|exp(||)|2n n n αα∞=〉=−〉 （1）计算谐振子Hamilton 量在这个态上的能量平均值，空间位置的平均值和动量的平均值；
提示：)x a a +=+，
)p a a +=−−， ||a ααα〉=〉 （2）在时间间隔内，外界对体系产生干扰，作用量为，g 为常数。

由
于(0,)T 2()W g a a +==g ω ，所以在该时间间隔内谐振子的Hamilton 量可忽略。

设t=0时，体系处于相干态|(0)|ψα〉=〉，求T 时体系的态|()T ψ〉。

三、（30分）对于如图所示的原子三能级系统（图略，就是两个低能级能和一个
高能级|发生跃迁的图）
，12|,|g g 〉〉2e 〉1,eg eg ωω分别为|态和态间的跃迁频率，分别代表两束共振激光和原子跃迁耦合的Rabi 频率。

写出体系的Hamilton 量，它应包括原子的能量以及原子与激光的相互作用。

在这里“激光”作为外场，不需要量子化。

证明当e 〉12|,|g g 〉〉221,ΩΩ1eg eg ωω=时，态
2112|||d g g 〉=Ω〉−Ω〉
是Hamilton 量的本征态，它被称为“暗态”，诠释其意义。

提示：对于二能级系统，原子会从|被激发到|，|态发生自发辐射，会放出光子。

而对于三能级系统有两个基态，当原子与激光发生耦合，体系会怎样？（由于记忆有限，提示部分的语句可能叙述得不准确）
g 〉e 〉e 〉第1页/共1页。