一、把椅子往地面一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地放稳了，就四脚连线成长方形的情形建模并加以说明。

（15分） 解：一、模型假设：1. 椅子四只脚一样长，椅脚与地面的接触可以看作一个点，四脚连线呈长方形。

2. 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断，地面可以看成一张光滑曲面。

3. 地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。

（3分） 二、建立模型：以初始位置的中位线为坐标轴建立直角坐标系，用θ表示椅子绕中心O 旋转的角度，椅子的位置可以用θ确定：()f θ记为A 、B 两点与地面的距离之和 ()g θ记为C 、D 两点与地面的距离之和由假设3可得，()f θ、()g θ中至少有一个为0。

由假设2知()f θ、()g θ是θ的连续函数。

（3分） 问题归结为：已知()f θ和()g θ是θ的连续函数，对任意θ，()()0f g θθ=，且设()()00,00g f =>。

证明存在0θ， 使得()()000f g θθ== （3分） 三、模型求解： 令()()()h f θθθ=－g 若()()000f g =，结论成立若()()000f g 、不同时为，不妨设()()00,00g f =>，椅子旋转()180π或后，AB 与CD 互换，即()()0,0g f ππ>=，则()(0)0,0h h π><。

（3分）由f g 和的连续性知h 也是连续函数。

根据连续函数的基本性质，必存在()000θθπ<<使000()0,()()h f g θθθ==即。

最后，因为00()()0f g θθ=，所以00()()0f g θθ==。

（3分）图 5二、给出7支队参加比赛的循环比赛赛程安排，要求各参赛队的每两场比赛之间的休息场次尽可能均衡，并列出表格说明。

解：设(1,2,7)i A i =表示7支参赛队。

根据单循环赛的要求，得到7支队的比赛总场次为：27762121C ⨯==⨯（场），总轮次为7轮，且每一轮都有一支队轮空。

具体如下： （2分）1A 23A A 45A A 67A A 12A A 34A A 56A A 7A 1A 35A A 27A A 46A A 13A A 52A A 74A A 6A 1A 57A A 36A A 24A A 15A A 73A A 62A A 4A （4分）场队 队 次 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 休息场次 休息总场次 A1 1 8 18 15 11 4 2+3+2+3+2 12 A2 1 5 21 9 17 13 3+3+3+3+3 15 A3 852 12 20 162+2+3+3+3 13 A4 18 21 2 6 14 10 3+3+3+3+2 14 A5 15 9 12 63 192+2+2+2+3 11 A6 11 17 20 14 3 7 3+3+2+2+2 12 A74 13 16 10 19 72+2+2+2+210 （4分）从以上的表格可以看出各参赛队的每两场比赛之间的休息场次是比较均匀的。

（2分） 三、假设人口的增长服从这样的规律:t 时刻的人口为()x t ,t 时刻的单位时间的增量与()m x x t -成正比(其中的m x 为最大人口容量),试建立模型求解并作出解的图形. 解：由t 时刻的单位时间的增量与()m x x t -成正比，即有()m x r x x =-( )m r x 其中比例系数为固有增长率,为最大人口容量。

（3分）令0(0)x x =得到0(),(0)m dx x r x x x x dt ==-= （2分）解得图10()rt m m x x x x e -=-- （3分）其图象为图1 （2分）四、学校共500名学生，其中118人住在A 宿舍，167人住在B 宿舍，215人住在C 宿舍，学生们要组织一个由20人组成的委员会，使用下述方法分配各宿舍的委员数（1）按比例分配方法； （2）Q 值法。

如果委员人数由20人增至21人，各宿舍的委员人数将如何变化？由上表可知，依惯例法，20人时，三个宿舍分别为5人，7人，8人；21人时为5人，7人，9人。

（5分）Q 值法分配：20人时先A 宿舍4人，B 宿舍6人，C 宿舍8人，剩下2个名额根据Q 值法：第19个名额222118167215696,664,642456789Q Q Q ======⨯⨯⨯A B C有Q Q Q >>A B C则应当把第19个名额分给A 宿舍。

（4分） 第20个名额211846456Q '==⨯A ，其他Q 值不变。

有Q Q Q '>>B C A，则应当把第20个名额分给B 宿舍。

即三个宿舍分别为5人，7人，8人。

（2分）21人时先A 宿舍4人，B 宿舍7人，C 宿舍9人，剩下1个名额根据Q 值法：222118167215696,498,5134578910Q Q Q ======⨯⨯⨯A B C有Q Q Q >>A C B则应当把最后1个名额分给A 宿舍。

即三个宿舍分别为5人，7人，9人。

（4分） 五、长l 、吃水深度h 的船以速度v 航行，若不考虑风的影响，那么航船受的阻力f 除依赖于船的诸变量,,l h v 以外，还与水的参数——密度ρ、粘性系数μ，以及重力加速度g 有关，其中粘性系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度（即vv x∂∆=∂）和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘性系数。

用量刚分析方法给出阻力f 与这些物理量之间的关系。

解：一、有关的物理量为船长l ，吃水深度h ，船速v ，阻力f ，水的密度ρ，粘性系数μ和重力加速度g 。

二、各物理量的量纲（2分）123211[],[],[],[],[],[],[]l L h L v LT f LMT L M g LT vf S L MT xρμμ------======∂=⇒=∂ （2分） 三、关系式(),,,,,,0f l h v g ϕρμ= 由此得到量纲矩阵A111131110001102001012L A MT f l h v gρμ--⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪----⎝⎭ ()3R A ⇒= （4分）得到A 的4个基本解()()()()12340110000010200101011101202100T TT Ty y y y ⎧=-⎪⎪=-⎪⎨=-⎪⎪=---⎪⎩ （4分）()11221322141234,,,0,lh lv g lv fl v ππρμπρπππππ------⎧=⎪=⎪⇒⎨=⎪⎪=⎩Φ=Φ为未定函数（*） 由（*）式可得()()222241234123,,,,,,f l v l v ρπρπππππππ==ψ=ψψ其中为未定函数。

3分) 六、建立不允许缺货的存储模型：设生产能力无限，一次性的订货费为1c 元，每天每吨货物的储存费为2c 元，每天货物的需要量为r ，确定最佳订货周期*T 和每次订货量*Q 。

解：由已知可得：不允许缺货的存储模型，一个周期内的总费用()C T 为()C T ＝订货费＋储存费 (3分)t 时刻的储存量()q t 为(),q t Q rt Q Q rT =-=其中为总的储存量,且从而一个周期内总的储存量为01()2T q t dt QT =⎰ （3分） 则总费用为2121211()22C T c c QT c c rT =+=+ （3分）于是每天的平均费用()C T 是1212()()22c c rT C T C T c c r T T ==+≥ （3分） 当且仅当12122,2c c rT c T T c r ==即时，()C T 才能取到最小值，此时 122c r Q c = 所以，最佳订货周期*122c T c r= （3分）图2七、建立不允许缺货的生产销售模型。

设生产速率为常数k ，销售速率为常数r ，k r >。

在每一个生产周期内，开始的一段（00t T ≤≤）一边生产一边销售，后来一段时间()0T t T ≤≤只销售不生产，画出贮存量()q t 的图形。

设每次生产的开工费为1c 元，单位时间每件产品的储存费为2c 元，试以每天费用最小为原则确定最佳周期。

讨论kr 和r k ≈的情况。

解：由右图可知：00();0()();k r t t T q t b r t T T t T -≤≤⎧=⎨--≤≤⎩ 其中0()b k r T =- 总的贮存量Q 为0011()()22TQ q t dt bT k r T T ===-⎰ （3分）则每一个周期内每天平均费用c 为212100()()1()22c c c k r c T c c k r T T T T T T -⎡⎤==+-=+⎢⎥⎣⎦（3分） 而00r kT rT T T k =⇒=1212()2()2c c r k r c c r k r c T T kk--⇒=+≥当且仅当1212(-)22(-)c c r k r c k T T T k c r k r ==时，即时，每天费用最省，即最佳周期为*122(-)c kT c r k r =（3分）① 当kr 时，得*112222,c k c k r k T c rk c r -≈≈=则 （1分） ② 当r k ≈时，得*1220,()c kk r T c r k r -→=→∞-则 （1分）图4k-rr图: (4分)八、某公司有三个工厂生产某种商品并运往四个调拨站。

工厂1，2，3每月分别生产12、17、11批商品，而每一个调拨站每月均需接受10批商品。

各厂至各调拨站的运输距离（公里）如下表所示。

已知每批商品的运费为100元加上每公里0.50元。

问应如何调运使总运费最少？解：设ij x 表示从第i 个工厂每月运往第j 个调拨站的批量，目标是获得总运费最小的调运方案。

根据假设条件，各工厂到各调拨站每批商品的运费可总结为下表：根据单位运费可得目标函数的解析表达式为111213142122232431323334500750300450650800400600400700500550z x x x x x x x x x x x x =+++++++++++（3分）综合可得其规划模型为111213142122232431323334500750300450650800400600400700500550Min z x x x x x x x x x x x x =+++++++++++s.t . 1112131421222324313233343112171110,1,2,3,41,2,3;1,2,3,4ij i ij x x x x x x x x x x x x x j x j =⎧⎪+++=⎪⎪+++=⎪+++=⎨⎪⎪==⎪⎪===⎩∑非负整数，i （8分，每个约束1分）。