第十七章勾股定理一、选择题(每小题4分，共28分)1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则AB的长为()A．3 B．4 C．5 D．62．将下列各组数据中的三个数作为三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是()A.3，4， 5B.1，2， 3C．6，7，8 D．2，3，4图17－Z－13．如图17－Z－1，数轴上点A，B分别对应1，2，过点B作PQ⊥AB.以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是()A. 3B. 5C. 6D.74．如图17－Z－2是甲、乙两张不同的长方形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则()图17－Z－2A．甲、乙都可以B．甲、乙都不可以C．甲不可以，乙可以D．甲可以，乙不可以图17－Z－35．如图17－Z－3，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合．若BC＝5，CD＝3，则BD的长为()A．1 B．2 C．3 D．46．如图17－Z－4，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为()A. 3 B．2 3 C．3 3 D．4 3图17－Z－4图17－Z－57．如图17－Z－5，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，BC边上的中线AD＝4，则△ABC 的面积为()A．30 B．24C．20 D．48二、填空题(每小题4分，共24分)8．平面直角坐标系中，点A(3，－4)到原点的距离为________．9．命题“如果a2＝b2，那么|a|＝|b|”的逆命题是________________________．10．某楼梯的侧面图如图17－Z－6所示，其中AB＝4米，∠BAC＝30°，∠C＝90°，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为________米．图17－Z－6图17－Z－711．如图17－Z－7所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，且AB＝4，BD＝5，则点D到BC的距离为________．12．边长为7，24，25的△ABC内有一点P到三边的距离相等，则这个距离为________．13．如图17－Z－8是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH＝________．图17－Z－8三、解答题(共48分)14．(8分)△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.(1)若a∶b＝3∶4，c＝25，求a，b；(2)若c－a＝4，b＝12，求a，c.15．(8分)如图17－Z－9，已知一平面直角坐标系．(1)在图中描出点A(－2，－2)，B(－8，6)，C(2，1)；(2)连接AB，BC，AC，试判断△ABC的形状；(3)求△ABC的面积．图17－Z－916．(10分)如图17－Z－10是由边长为1的小正方形组成的网格．(1)求四边形ABCD的面积；(2)你能判断AD与CD的位置关系吗？说出你的理由．图17－Z－1017．(10分)如图17－Z－11，小红同学要测量A，C两地的距离，但A，C之间有一水池，不能直接测量，于是她在A，C同一水平面上选取了一点B，点B可直接到达A，C两地．她测量得到AB＝80米，BC＝20米，∠ABC＝120°.请你帮助小红同学求出A，C两地之间的距离．(结果精确到1米，参考数据：21≈4.6)图17－Z－1118．(12分)如图17－Z－12所示，等腰三角形ABC的底边长为8 cm，腰长为5 cm，一动点P在底边上从点B向点C以0.25 cm/s的速度移动，请你探究：当点P运动几秒时，点P与顶点A的连线AP与腰垂直？图17－Z－12详解详析1．C [解析] ∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， ∴AB 为斜边，AB 2＝AC 2＋BC 2. ∵AC ＝3，BC ＝4，∴AB ＝5. 故选C. 2．B 3.B4．A [解析] 图甲可拼成一个边长为2的正方形，如图①.图乙可拼成一个边长为5的正方形，如图②.故选A.5．D 6．D [解析] ∵△ABC 和△DCE 都是边长为4的等边三角形，∴∠DCE ＝∠CDE ＝60°，BC ＝CD ＝4，∴∠BDC ＝∠CBD ＝30°，∴∠BDE ＝90°，∴BD ＝BE 2－DE 2＝4 3.故选D.7．B [解析] 延长AD 到点E ，使DE ＝AD ，连接CE ， ∵D 为BC 的中点，∴DC ＝BD . 在△ADB 与△EDC 中，∵⎩⎨⎧AD ＝DE ，∠ADB ＝∠EDC ，BD ＝DC ，∴△ADB ≌△EDC (SAS)，∴CE ＝AB ＝6， ∠BAD ＝∠E .又∵AE ＝2AD ＝8，AC ＝10，∴AC 2＝AE 2＋CE 2， ∴∠BAD ＝∠E ＝90°，则S △ABC ＝S △ABD ＋S △ADC ＝12AD ·AB ＋12AD ·CE ＝12×4×6＋12×4×6＝24.8．59．如果|a |＝|b |，那么a 2＝b 2 10．(2＋2 3)11．3 [解析] 过点D 作DE ⊥BC 于点E .∵∠A ＝90°，AB ＝4，BD ＝5，∴AD ＝BD 2－AB 2＝52－42＝3.∵BD 平分∠ABC ，∠A ＝90°，∴点D 到BC 的距离＝AD ＝3.12．3 [解析] ∵72＋242＝252，∴△ABC 是直角三角形，根据题意画图，如图所示，连接AP ，BP ，CP .设PE ＝PF ＝PG ＝x ，S △ABC ＝12×AB ×BC ＝84，S △ABC ＝12AB ×x ＋12AC ×x ＋12BC ×x ＝12(AB＋BC ＋AC )·x ＝12×56x ＝28x ，则28x ＝84，x ＝3.13．6 [解析] ∵AB ＝10，EF ＝2，∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，∴四个直角三角形的面积和为100－4＝96.设AE ＝a ，DE ＝b ，则4×12ab ＝96，∴2ab ＝96，a 2＋b 2＝100，∴(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ＝100＋96＝196，∴a ＋b ＝14.又∵a －b ＝2，∴得方程组⎩⎨⎧a ＋b ＝14，a －b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝6.∴AE ＝8，DE ＝6， ∴AH ＝6.14．解：(1)∵Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ∶b ＝3∶4，∴设a ＝3x ，则b ＝4x .∵a 2＋b 2＝c 2，即(3x )2＋(4x )2＝252， 解得x ＝5，∴a ＝3x ＝15，b ＝4x ＝20.(2)∵△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ， ∴a 2＋b 2＝c 2.∵c －a ＝4，b ＝12， ∴c ＝a ＋4，∴a 2＋144＝(a ＋4)2， 解得a ＝16，∴c ＝20. 15．解： (1)如图所示．(2)如图所示，AB ＝62＋82＝10，AC ＝32＋42＝5，BC ＝52＋102＝5 5. ∵102＋52＝(5 5)2， ∴AB 2＋AC 2＝BC 2，∴△ABC 是直角三角形．(3)S △ABC ＝12AB ·AC ＝12×10×5＝25.16．解：(1)四边形ABCD 的面积可看作是边长为5的正方形的面积与四个角上的四个直角三角形的面积之差，于是四边形ABCD 的面积等于52－(12×3×3＋12×2×3＋12×4×2＋12×1×2)＝12.5.(2)AD 与CD 互相垂直．理由如下：连接AC ，在△ADC 中，由于AD 2＝12＋22＝5，CD 2＝22＋42＝20，AC 2＝52＝25，所以AD 2＋CD 2＝AC 2， 即△ADC 是直角三角形，所以AD 与CD 之间是垂直关系．17．解：过点C 作CD ⊥AB 交AB 的延长线于点D ， ∵∠ABC ＝120°，∴∠CBD ＝60°，∴在Rt △BCD 中，∠BCD ＝90°－∠CBD ＝30°，∴BD ＝12BC ＝12×20＝10(米)，∴CD ＝202－102＝10 3(米)， AD ＝AB ＋BD ＝80＋10＝90(米)．在Rt △ACD 中，AC ＝AD 2＋CD 2＝902＋（10 3）2≈92(米)． 答：A ，C 两地之间的距离约为92米． 18．解：应分两种情况：(1)设当点P 运动t (0≤t ≤32)s 时，AP 与腰AC 垂直，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，如图①所示．因为△ABC 为等腰三角形，所以D 为BC 的中点，则BD ＝CD ＝4 cm ，根据勾股定理得AD ＝3 cm.在Rt △ACP 中，AP 2＝CP 2－AC 2＝(8－0.25t )2－52，在Rt △ADP 中，AP 2＝AD 2＋DP 2＝32＋(4－0.25t )2，所以(8－0.25t )2－52＝32＋(4－0.25t )2，解得t ＝7.因此当23点P 运动7 s 时，AP 与腰AC 垂直．(2)设当点P 运动t (0≤t ≤32)s 时，AP 与腰AB 垂直，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，如图②所示．因为△ABC 为等腰三角形，所以D 为BC 的中点，则BD ＝CD ＝4 cm ，根据勾股定理得AD ＝3 cm.在Rt △ABP 中，AP 2＝BP 2－AB 2＝(0.25t )2－52，在Rt △ADP 中，AP 2＝AD 2＋DP 2＝32＋(0.25t －4)2，所以(0.25t )2－52＝32＋(0.25t －4)2，解得t ＝25.因此当点P 运动25 s 时，AP 与腰AB 垂直．综上，当点P 运动7 s 或25 s 时，点P 与顶点A 的连线AP 与腰垂直．。